资源简介

2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
题组一　点到直线的距离公式及其应用
1.(2024北京大兴期中)点P(0,1)到直线x-y-1=0的距离等于(　　)
A.　　　　D.2
2.若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(　　)
A.(1,2)　　　　 B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)　　　　D.(2,1)或(-1,2)
3.(多选题)(2024浙江S9联盟期中)已知A(-1,-2),B(2,4)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(　　)
A.-4　　　　B.3　　　　C.-2　　　　D.1
4.(2024辽宁抚顺德才高级中学期中)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.2　　　　B.
5.(2022江西宜春天立学校检测)若直线l:y=k(x+2)上存在两个与原点间的距离等于1的点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-2,2)　　　　B.(-)
C.(-1,1)　　　　D.
6.(2024海南期中)已知A(3,3),B(2,-5),C(-2,-7),设△ABC的边BC上的高所在直线为l,则点P(0,-1)到l的距离为　　　　.
题组二　两条平行直线间的距离公式及其应用
7.(2024吉林四平第一高级中学月考)两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+6=0间的距离为d,则a,d的值分别为(　　)
A.6,
8.(2024湖北部分省级示范高中期中)设P,Q分别为直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
9.(2022湖北大冶一中月考)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　)
A.x-2y-13=0　　　　B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0　　　　 D.x-2y-6=0
10.一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为　　 .
11.(2024广东茂名期中)已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取一点A,在l2上任取一点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2间的距离;
(2)求直线l3的方程.
能力提升练
题组　距离公式的综合应用
1.(2024河南南阳第一中学期中)若点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M与原点间的距离的最小值为(　　)
A.3
2.(2024广东清远四校联考)已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(4,3),记M到l的距离为d,则d的取值范围为(　　)
A.[0,8)　　　　B.[0,8]
C.[0,2]
3.(2024辽宁东北育才学校月考)在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.(2024重庆南开中学月考)已知直线l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线l3垂直于l1,l2,垂足分别为A,B,若C(-4,0),D(4,0),则|CA|+|AB|+
|BD|的最小值为(　　)
A.
C.2　　　　D.8
5.已知直线l1:2x-y+2=0与l2:x+2y+1=0相交于点P,过点Q(1,1)的直线l与l1,l2分别交于点M,N,写出一个使“”成立的直线l的方程:　　　　　.
6.(2023山东菏泽郓城一中期中)已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是.
(1)求实数a的值;
(2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
7.(2024山东泰安第一中学检测)已知直线l的方程为(2-m)x+(2m
+1)y+3m+4=0(m∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为多少
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.
答案
2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
1.C 2.C 3.AC 4.B 5.D 7.B 8.A 9.A
1.C　所求距离为.
2.C　设点P的坐标为(x,5-3x),则由点到直线的距离公式,得,即|4x-6|=2,所以4x-6=±2,所以x=1或x=2,所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
3.AC　由题意得,所以|a+1|=|2a+5|,解得a=-2或a=-4.故选AC.
4.B　|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,
∴|PQ|min=.故选B.
5.D　由题意得原点到直线l的距离小于1,所以<1,解得-.
6.答案　2
解析　由题意得kBC=,则kl=-2,又直线l过点A(3,3),所以直线l的方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0,所以P(0,-1)到l的距离d=.
7.B　由题意得2×(-3)-(-1)×a=0,解得a=6.
将其代入ax-3y+6=0中,化简得2x-y+2=0.
所以d=.故选B.
8.A　易知直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0平行,所以|PQ|的最小值就是两条平行直线间的距离,为=3.故选A.
9.A　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以,又m>0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7,且c≠-3),则2,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0.故选A.
10.答案　x-2y+c=0(c<-2或c>8)(写出符合条件的一条直线方程即可)
解析　因为所求直线与直线x-2y+3=0平行,所以设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).因为所求直线与直线x-2y+3=0间的距离大于,所以,解得c<-2或c>8.故与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为x-2y+c=0(c<-2或c>8).
11.解析　(1)易知l1与l2平行,所以直线l1与l2间的距离d=.
(2)因为l3与l2平行,所以可设l3的方程为2x+3y+C=0(-8由题意及(1)知l3与l1间的距离为,
所以,解得C=5或C=31(舍去),
所以l3的方程为2x+3y+5=0.
能力提升练
1.A 2.C 3.C 4.C
1.A　由题意知l1∥l2,点M在直线l1与l2之间且在与直线l1,l2距离
相等的直线上,设其方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,解得c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M与原点间的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,为.
2.C　若直线l过点M(4,3),则点M到直线l的距离d=0.
直线l的方程(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0可化为m(x+y-3)+2x-y-3=0.
令故直线l过定点(2,1),记为A.
易知当直线l与直线MA垂直时,M到l的距离最大,为|MA|=,此时kMA==1,所以kl=-=-1,无解,所以0≤d<2.故选C.
3.C　直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.
作出点P满足的图形如图所示.
旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.
所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.
4.C　由两条平行直线间的距离公式得|AB|=2.
设直线l3的方程为x+y=2m(m∈R).
由所以A(m-1,m+1).
同理,得B(m+1,m-1).
所以|CA|+|AB|+|BD|=.
易知表示动点(m,m)(记为M)到定点(-3,-1)(记为E)与(3,1)(记为F)的距离的和.
显然动点M(m,m)在直线y=x上,点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x的两侧,所以|ME|+|MF|≥|EF|=2,即的最小值为2,故|CA|+|AB|+|BD|的最小值为2.故选C.
5.答案　x=1(或3x-4y+1=0)
解析　由所以P(-1,0),所以kPQ=,所以直线PQ的方程为y=(x+1),即x-2y+1=0.
设点M,N到直线PQ的距离分别为d1,d2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则M(1,4),N(1,-1),所以d1=,所以,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1).
由所以M,
所以d1=.
同理,得N,
所以d2=.
所以,解得k=,
所以直线l的方程为y-1=(x-1),即3x-4y+1=0.
综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.
6.解析　(1)由题意得,解得a=±3.
(2)由题意及(1)得a=3,所以l1:2x-y+3=0.
假设能找到满足题意的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
若点P满足条件②,则,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若点P满足条件③,则,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P是第一象限的点,∴3x0+2=0不符合题意,舍去.
由不符合题意,舍去.
由
∴满足题意的点P的坐标为.
7.解析　(1)证明:将直线l的方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0整理,得2x+y+4+m(-x+2y+3)=0(m∈R).
令
所以直线l过定点(-1,-2).
(2)记(-1,-2)为P.由题意得,点Q与定点P(-1,-2)之间的距离就是点Q到直线l的距离的最大值,为.
因为kPQ=,所以直线l的斜率为-,即-,解得m=,所以当m=时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为2.
(3)设直线l的方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A,B(0,k-2),所以S△AOB=≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以
△AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为2x+y+4=0.

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