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专题10 概率与统计
(
命题方向
)
概率与统计 统计（客观题）
排列与组合
二项式定理
概率（客观题）
概率与统计综合（解答题）
(
模拟演练
)
统计（客观题）
1．（2024·山东菏泽·一模）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【解析】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；
平均数为，可能变，故B错；
中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；
方差为，有可能变，故D错.
故选：C
2．（2024·山东潍坊·一模）某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A． B．人年龄的平均数为
C．人年龄的分位数为 D．人年龄的方差为
【答案】ACD
【解析】因为这人年龄的极差为，即，解得，故A正确；
所以这人年龄分别为、、、、、，
则人年龄的平均数为，故B错误；
又，所以人年龄的分位数为从小到大排列的第个数，即，故C正确；
又人年龄的方差，故D正确.
故选：ACD
3．（2024·山东泰安·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
【答案】BC
【解析】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；
对C， 设数据的平均数为，
由平均值性质可知：样本数据的平均数为，
解得，故C正确；
对D，由题意可知，解得或，
则或，故D错误.
故选：BC
4．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
【答案】BCD
【解析】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
5．（2024·山东临沂·一模）下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
B．已知随机变量，若，则
C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件
【答案】BCD
【解析】对于A：若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为，故A错误；
对于B：如，则，又，即
则，故B正确；
对于C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，
则，
即也变成原来的倍，故C正确；
对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，
事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个，
事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个，
所以，，
又包含的基本事件有个，所以，
所以，则、互为独立事件，故D正确；
故选：BCD
6．（2024·山东日照·一模）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的分位数为 ．
【答案】7
【解析】因为该组数据共6个，且，
所以这组数据的分位数为第三位数，即为7.
7．（2024·山东济宁·一模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ．
【答案】11
【解析】由题意得小明同学第一题得6分；
第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；
第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；
由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，
所以中位数为
排列与组合
8．（2024·山东日照·一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．38种 D．45种
【答案】B
【解析】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，
剩余的2人，2部影片进行全排列，故共有种情况，故选B
9．（2024·山东烟台·一模）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
【答案】B
【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为，故选B
10．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【解析】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种
若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种；
则总共有16种，故选B.
11．（2024·山东临沂·一模）将1到30这30个正整数分成甲 乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数，
即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数，
依题意可得甲组的中位数为或，
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能大于；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能小于；
综上可得不同的分组方法数是种，故选B
12．（2024·山东潍坊·一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
【答案】
【解析】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，
故一共有种排法．
二项式定理
13．（2024·山东青岛·一模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
【答案】D
【解析】通项公式为，当时，，
所以项的系数为80.故选D
14．（2024·山东济宁·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．30 D．60
【答案】B
【解析】，
则展开式中含有的项为，
故的展开式中的系数为.故选：B.
15．（2024·山东聊城·一模）设，其中，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
在所有的展开项中，只有不能被7整除，
故，其中，故选D
16．（2024·山东菏泽·一模），的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】的展开式中含项为，
故，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A
概率（客观题）
17．（2024·山东滨州·一模）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题意，，，，，
所以事件与相互独立，则与也相互独立，
，故选A.
18．（2024·山东临沂·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件为“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，事件为“任意调查一名学生，该学生近视”，则，，
所以，
则．故选：C
19．（2024·山东青岛·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件与是互斥事件 B．事件与是对立事件
C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立
【答案】AB
【解析】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确；
对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误；
对于D：，
则，即事件与不相互独立，D错误；
故选：AB.
20．（2024·山东济宁·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．已知随机事件，满足，，则
【答案】BC
【解析】对A：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，
若的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误；
对B：随机变量服从二项分布，若，，
则，解得，故B正确；
对C：随机变量服从正态分布，若，
则，故，C正确；
对D：，，则，
又，故，D错误.
故选：BC.
21．（2024·山东日照·一模）从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（ ）
A．是锐角的概率为 B．是直角的概率为
C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为
【答案】ACD
【解析】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，共有种情况，
设与直线垂直，因为，则直线，
其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方，
一半在下方，
要想为锐角，则点应在直线下方，
其中满足要求的有28个点，
故是锐角的概率为，A正确；
B选项，过点作直线⊥，
则点落在直线上，满足为直角，
其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即，
落在上的点的坐标有，共6个，
故是直角的概率为，B错误；
C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，
根据点的坐标特征，应落在上，
满足要求的点有，共7个，
故是锐角三角形的概率为，C正确；
D选项，直线的方程为，，
设直线，设直线与直线的距离为，
则，
令，解得，
故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，
即，
满足要求的点有，
，
，
共个，
的面积不大于5的概率为，D正确.故选ACD
22．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】BCD
【解析】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，
则基本事件总数为，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36种情况，
满足事件的有，，，，，，，，，
，，共种，其概率，故A错误；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故；
满足事件的有，，共个，所以，故B正确；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故，
满足事件的有，，， ，，，
，，，共个，所以，
所以事件与事件相互独立，故C正确；
满足事件的有，，，，，，，共种，
所以，则，故D正确.
故选：BCD
23．（2024·山东聊城·一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ）
A．，
B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
【答案】BCD
【解析】对A：由，，则，，故A错误；
对B：由，，则，则，
，故有，，
则，则，
即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，
故B正确；
对C：，则从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，
这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为，
故C正确；
对D：，又，
故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，
该生测试成绩及格的概率为，该生测试成绩优秀的概率为，
则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为，
故D正确.
故选：BCD.
概率与统计的综合（解答题）
24．（2024·山东青岛·一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
的可能取值为：0，1，2
则
所以的分布列为：
0 1 2
25．（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
【解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：，则，
所以.
（2）由（1）可知：，
则，可得，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可得；
所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大.
26．（2024·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
【解】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：
.
②依题意，，，
显然，则，
所以.
（2）由定义及全概率公式知，
.
27．（2024·山东临沂·一模）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8 第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；
(2)甲 乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
【解】（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为，上三级台阶的概率为，
且的可能取值为，
可得，则有：
，
，
所以的分布列为：
6 7 8 9
的数学期望.
（2）因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，
可知不能获得奖品的概率为，
所以甲 乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率.
28．（2024·山东菏泽·一模）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．
(1)求盒中2号球的个数；
(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
【解】（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，，n，
则取到异号球的概率，
，即．解得．
所以盒中2号球的个数为4个．
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，
则可能的取值为0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列为
X 0 100 600
P 0.2 0.4 0.4
的均值为，
若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，
记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，
．
Y的分布列为
Y 0 500 600
P 0.5 0.1 0.4
的均值为，
因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．
29．（2024·山东泰安·一模）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖．
(1)求在1次游戏中，获奖的概率；
(2)求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
【解】（1）设“在1次游戏中摸出个红球”为事件，
设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥，
，，
所以在1次游戏中，获奖的概率.
（2）依题意，所有可能取值为，由（1）知，
，，
，
，，
所以的分布列为：
2 5 8
数学期望.
30．（2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
0 1 2
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
31．（2024·山东济宁·一模）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
【解】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，
显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
.
32．（2024·山东烟台·一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答 抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分 40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲 乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲 乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲 乙两人在各环节 各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲 乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
【解】（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，
所以得分大于100分的概率.
（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率.
（3）的可能取值为2，3，4，5，
由抢答任意一题甲得15分的概率为，得抢答任意一题乙得15分的概率为，
，，
，
，
所以的分布列为：
2 3 4 5
数学期望.
33．（2024·山东聊城·一模）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.

(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2秒机器人位于区域的概率；
(3)求经过秒机器人位于区域的概率.
【解】1）经过2秒机器人可能位于的区域为、，，
经过3秒机器人可能位于的区域为，，，，，；
（2）若经过2秒机器人位于区域，则经过1秒时，机器人必定位于，
有三个相邻区域，故由的概率为，
有两个相邻区域，故由的概率为，
则经过2秒机器人位于区域的概率为；
（3）机器人的运动路径为
，
设经过秒机器人位于区域的概率，
则当为奇数时，，
当为偶数时，由（2）知，，由对称性可知，
经过秒机器人位于区域的概率与位于区域的概率相等，亦为，
故经过秒机器人位于区域的概率为，
若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为，
若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为，
若第秒机器人位于区域，则第秒机器人位于区域的概率为，
则有，即，
令，即，即有，
即有，则，
故有、、、，
故，
即，
综上所述，当为奇数时，经过秒机器人位于区域的概率为，
当为偶数时，经过秒机器人位于区域的概率为.专题10 概率与统计
(
命题方向
)
概率与统计 统计（客观题）
排列与组合
二项式定理
概率（客观题）
概率与统计综合（解答题）
(
模拟演练
)
统计（客观题）
1．（2024·山东菏泽·一模）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差
2．（2024·山东潍坊·一模）某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A． B．人年龄的平均数为
C．人年龄的分位数为 D．人年龄的方差为
3．（2024·山东泰安·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
4．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
5．（2024·山东临沂·一模）下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
B．已知随机变量，若，则
C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件
6．（2024·山东日照·一模）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的分位数为 ．
7．（2024·山东济宁·一模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ．
排列与组合
8．（2024·山东日照·一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．38种 D．45种
9．（2024·山东烟台·一模）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
10．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
11．（2024·山东临沂·一模）将1到30这30个正整数分成甲 乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·山东潍坊·一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
二项式定理
13．（2024·山东青岛·一模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
14．（2024·山东济宁·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．30 D．60
15．（2024·山东聊城·一模）设，其中，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．（2024·山东菏泽·一模），的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
概率（客观题）
17．（2024·山东滨州·一模）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A． B． C． D．1
18．（2024·山东临沂·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山东青岛·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件与是互斥事件 B．事件与是对立事件
C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立
20．（2024·山东济宁·一模）下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．已知随机事件，满足，，则
21．（2024·山东日照·一模）从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（ ）
A．是锐角的概率为 B．是直角的概率为
C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为
22．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
23．（2024·山东聊城·一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ）
A．，
B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
概率与统计的综合（解答题）
24．（2024·山东青岛·一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
25．（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
26．（2024·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
27．（2024·山东临沂·一模）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8 第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；
(2)甲 乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
28．（2024·山东菏泽·一模）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．
(1)求盒中2号球的个数；
(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
29．（2024·山东泰安·一模）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖．
(1)求在1次游戏中，获奖的概率；
(2)求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
30．（2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
31．（2024·山东济宁·一模）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
32．（2024·山东烟台·一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答 抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分 40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲 乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲 乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲 乙两人在各环节 各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲 乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
33．（2024·山东聊城·一模）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，. 一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.

(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2秒机器人位于区域的概率；
(3)求经过秒机器人位于区域的概率.

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