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高中数学人教B版（2019）必修第二册期中复习题
一、单选题
1．“”是“幂函数在上单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若 ， ， ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为 ，1个感染者平均会接触到 个新人 ，这 人中有 个人接种过疫苗( 称为接种率)，那么1个感染者可传染的新感染人数为 .已知新冠病毒在某地的基本传染数 ，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（　　）
A．30% B．40% C．50% D．60%
4．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲 乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要（　　）
A．43小时 B．46小时 C．47小时 D．49小时
二、多选题
6．已知定义域为A的函数，若对任意的且，有，则称函数为“定义域上的凹函数”，以下函数是“定义域上的凹函数”的有（　　）
A． B．
C． D．，
三、填空题
7．已知，，则　 　；　 　．
8．计算： 　 　， 　 　．
9．设函数 ，则方程 的解为　 　
10．方程 的解为　 　.
11．若函数 （ ，且 ）的值域为 ，则实数a的取值范围是　 　.
12．若函数 （ 且 ）的图象经过不等式组 所表示的平面区域，则 的取值范围是　 　．
四、解答题
13．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照 ， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）估计这批苹果的重量的平均数．
（2）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案：
方案一：所有苹果混在一起，价格为1元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克，重量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费．
分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入．
14．PM2.5是指大气中直径≤2.5微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标．当PM2.5日均值在0～35（单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在35～75时空气质量为良，超过75时空气质量为污染．某旅游城市2016年春节7天假期里每天的PM2.5的监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）以上述数据统计的相关频率作为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；
（Ⅱ）某游客在此春节假期间有2天来该市旅游，已知这2天该市空气质量均不为污染，求这2天中空气质量都为优的概率．
15．某校高二（22）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：
试根据图表中的信息解答下列问题：
（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；
（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3份进行交流，若在交流的试卷中，成绩位于[70，80）分数段的份数为ξ，求ξ的分布列．
16．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）令
①判断函数在上的单调性（不必说明理由）；
②是否存在，使得函数在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．
17．某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以幂函数解析式为，所以幂函数在上单调递增，满足充分性；
因为幂函数在上单调递增，
所以，满足必要性；
所以“”是“幂函数在上单调递增”充要条件。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确的选项。
2．【答案】D
【解析】【解答】考虑中间值 ，根据指数函数的单调性，得 ，即 ；
根据幂函数的单调性，得 ，即 ；
根据对数函数的单调性，得 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】 利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较大小，可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】为了使1个感染者传染人数不超过1人，只需要 ，
所以 ，即 ，
，解得
则该地疫苗的接种率至少为60%
故答案为：D
【分析】 由题意，列出不等式 ，利用对数的运算性质求出R0，代入不等式中求解，即可得到答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：当x≤0时，有e-x-2≥e0-2=-1成立，
当x<0时，要使ax(lnx-1)≥-1，
当a=0时，f(x)=0≥-1成立，
当a>0时，f'(x)=a(1+lnx-1)=alnx，
由f'(x)>0得x>1；由f'(x)<0得0则f(x)在（0,1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
所以f(x)≥f(1)=-a≥-1，则a≤1
综上，0≤a≤1
故答案为：C
【分析】根据分段函数的定义，结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可
5．【答案】B
【解析】【解答】由题意，甲按A，C，B的顺序工作，所需时间最短，
最短时间为： 小时，
故选：B
【分析】甲按A，C，B的顺序工作，乙就不会中途没事情做，所需时间最短.
6．【答案】A,B,C
【解析】【解答】由题设，定义域上的凹函数是指上任意两点连线上的中点都在函数图象的上方即可，
对于A，函数图象如下，显然任意两点两线的中点在图象上方，符合；
对于B，函数图象如下，显然任意两点两线的中点在图象上方，符合；
对于C，函数图象如下，显然任意两点两线的中点在图象上方，符合；
对于D，函数图象如下，存在两点两线的中点在图象下方，不符合；
故答案为：ABC
【分析】由题设定义域上的凹函数是函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方，结合二次函数、指对数函数及正弦函数的图象判断即可得答案.
7．【答案】log32；2
【解析】【解答】因为，则，故.
故答案为：log32，2
【分析】首先由指对互化公式整理化简原式，再由对数的运算性质计算出结果即可。
8．【答案】5；2
【解析】【解答】 ；
．
故答案为5；2．
【分析】根据指数式及对数运算性质进行运算即可得到结果．
9．【答案】x=2
【解析】【解答】由题意得 ，即 ，
解得 或 ，由函数定义域可知 .
故答案为： .
【分析】转化条件得 ，即可得解.
10．【答案】
【解析】【解答】解：解方程 ，可得 ，
所以 ， 解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解.
11．【答案】（1，+∞）
【解析】【解答】函数 的图象开口朝上且对称轴为 ，且顶点为 ，
若 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，不合题意；
若 ， ，
当 时， ，
当 时， ，符合题意；
综上， ，
故答案为：（1，+∞）。
【分析】利用二次函数图象的开口方向结合对称性，从而判断出二次函数的单调性，从而求出二次函数的值域，再利用指数型函数的单调性，从而求出指数型函数的值域，从而求出分段函数的值域，再利用已知条件分段函数 （ ，且 ）的值域为 ， 从而求出实数a的取值范围。
12．【答案】
【解析】【解答】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由 解得 则 ，当函数 的图象经过 点时， ，根据对数函数的图象与性质可知，要使得函数 的图象经过不等式组所表示的平面区域，则实数 的取值范围是 ．
故答案为：(0，].
【分析】作出平面图区域，当函数图象过其中点A时，a的值是a的最大值，从而得互a的范围.
13．【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 ．
50个苹果重量的平均数为 ，
故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6．
（2）解：若采用方案一，估计销售收入约为 （元）．
若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为
（千克），
重量不小于160克的苹果的总重量约为
（千克），
估计销售收入约为 （元）
因此，方案一的销售收入更高．
【解析】【分析】 (1)根据题意由频率分布直方图能求出这批零件长度的平均值.
(2)由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e.从这5个零件中随机抽取2个，利用列举法能求出抽取的零件中恰有1个是第1组的概率，计算出结果即可.
14．【答案】解：（Ⅰ）由题中茎叶图数据中7天有2天超过75，
则该市某天空气质量为污染的概率 ．
（Ⅱ）由题得，有5天空气质量不为污染，其中3天优设为A1、A2、A3，2天良设为B1、B2．
则从这5天中随机抽取2天，共有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、
（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）10个基本事件．
其中这2天中空气质量都为优的基本事件共有（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3个
所以这2天中空气质量都为优的概率为
【解析】【分析】（Ⅰ）由茎叶图数据中7天有2天超过75，由此能求出该市某天空气质量为污染的概率．（Ⅱ）由题得，有5天空气质量不为污染，其中3天优设为A1、A2、A3，2天良设为B1、B2．利用列举法能求出这2天中空气质量都为优的概率．
15．【答案】解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，
频率为0.008×10=0.08，
参赛人数为 =50人，
分数在[70，80）上的频数为
50﹣（4+14+8+4）=20人；
（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比，
又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，
由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，
分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人；
根据题意知ξ=0，1，2，3；
，
，
，
；
分布列如下：
ξ 0 1 2 3
p
【解析】【分析】（I）由茎叶图中的数据求出分数在[50，60）上的频数、频率，求出样本容量，再计算分数在[70，80）上的频数值；（II）按分层抽样原理，利用抽样数之比等于相应频率之比，
求出各分数段抽取的人数，得ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列．
16．【答案】（1）解：是奇函数；
证明如下：由解得或，
所以的定义域为，关于原点对称．
，故为奇函数．
（2）解：，
①在上单调递减．
②假设存在，使在的值域为．
由①知，在上单调递减．则有，．
所以是方程在上的两个不相等的实数根，
即，令，则，
即直线与函数的图象在上有两个交点，
如图所示：
所以，．
【解析】【分析】(1)求出定义域，再求出，根据函数奇偶性的定义即可证出．
(2) ①易知，由复合函数的单调性法则可知在上单调递减；②根据在上单调递减，结合题意得到，然后得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在上有两个交点，观察图象，可求出的范围．
17．【答案】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，
其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=，解得a=3；
（2）由（1）知，f（t）=；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f（t）=；（3）服药一次治疗有效的时间范围为 ．
【解析】【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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