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第九章 统计（知识归纳+题型突破）
题型八：条形图、扇形图、折线图
例题1．（2024·四川攀枝花·统考二模）
1．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（ ）
A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
例题2．（2021·全国·校联考模拟预测）
2．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
指数值
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是（ ）
A．这天中指数值的中位数略大于
B．这天中的空气质量为优的天数占
C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
例题3．（2021下·江苏宿迁·高一统考期末）
3．中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（ ）
A．成绩是49分或100分的职工人数是0
B．成绩优良的人数是35人
C．众数是75
D．平均分约为75.5分
例题4．（2023上·全国·高三专题练习）
4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 .
巩固训练
（2023·四川达州·统考一模）
5．将某年级600名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加社会实践活动，每个人只能到一个社区.经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则分到戊社区参加活动的学生人数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）
6．年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：
下列说法错误的是（ ）
A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高
B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元
C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录
D．年月该市星级酒店平均房价约为元
（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）
7．为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ）
A．游客中，青年人是老年人的2倍多
B．老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
（2021·高一课时练习）
8．（多选）如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是（ ）
A．成绩是75分的人数为20
B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C．成绩落在内的人数为35
D．成绩落在内的人数为20
题型九：平均数、众数、中位数
例题1．（2022下·高一课时练习）
9．若某同学连续次考试的名次（次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ）
A．甲同学：平均数为，方差小于
B．乙同学：平均数为，众数为
C．丙同学：中位数为，众数为
D．丁同学：众数为，方差大于
例题2．（2023·高一单元测试）
10．一次测试成绩满分为150分，设n名学生的得分分别为，为名学生中得分至少为分的人数，记为名学生的平均成绩．则（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）
11．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
例题4．（2022·高一课时练习）
12．甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果（单位：h）如下：
甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；
乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；
丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20．
(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数．
(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间？
(3)如果你是顾客，宜选择哪个厂商的产品？为什么？
巩固训练
（2022·北京·高三强基计划）
13．已知5个数据恰为互不相同的质数，且平均值为13，则它们的中位数（ ）
A．最小为5 B．最小为7
C．最大为13 D．最大为17
（2022上·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）
14．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是 ．
（2023·全国·高一课堂例题）
15．某公司全体职工的月工资如下：
月工资/元 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
人数 1（总经理） 2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6
(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数．
(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？
(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．
（2019上·宁夏银川·高二宁夏长庆高级中学校考阶段练习）
16．银川市展览馆22天中每天进馆参观的人数如下：
180 158 170 185 189 180 184 185 140 179 192
185 190 165 182 170 190 183 175 180 185 148
计算参观人数的中位数、众数、平均数、标准差（保留整数部分）．
题型十：平均数、众数、中位数的估计值
例题1．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）
17．众数 平均数 中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数 众数和中位数的大小关系是（ ）（由小到大排列）
A．众数中位数平均数
B．平均数众数中位数
C．中位数平均数众数
D．众数平均数中位数
例题2．（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）
18．某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．a的值为0.035
B．估计这100名学生成绩的众数是75
C．估计这100名学生成绩的平均数为78
D．估计这100名学生成绩的中位数为
例题3．（2024上·北京石景山·高三统考期末）
19．某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）.
例题4．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）
20．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在至之间；女性身高普遍在至之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在至之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，其中．
(1)求直方图中的值；
(2)估计这个阵营女子身高的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)请根据频率分布直方图估计阅兵阵营中女子身高的中位数．
巩固训练
（2024·重庆·统考一模）
21．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）

A． B．
C． D．
（2024·全国·高三专题练习）
22．（多选题）为了了解某校高三年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论正确的是（ ）．
A．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次
B．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次
C．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人
D．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人
（2022上·新疆吐鲁番·高二校考期末）
23．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的众数为 ．
（2024上·江西吉安·高一统考期末）
24．为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同字，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
(1)求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；
(2)用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．
题型十一：总体百分位数
例题1．（2023·河南·统考模拟预测）
25．为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100 名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100 分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55 百分位数为（ ）

A．65 B．72 C．72.5 D．75
例题2．（2023·广东·校联考二模）
26．某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（ ）
A．47 B．45 C．53 D．60
例题3．（2023·吉林长春·统考一模）
27．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（ ）

A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75
C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6
巩固训练
（2023上·四川成都·高二成都实外校考阶段练习）
28．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023上·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）
29．已知一组数据：7，7，8，9，5，4，9，10，7，4，则（ ）
A．平均数为8 B．众数为7 C．极差为6 D．第75百分位数为9
（2023·上海宝山·统考一模）
30．在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是
题型十二：方差、标准差的应用
例题1．（2024·广东·高三学业考试）
31．某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．

(1)分别求甲、乙跳远成绩的平均数；
(2)通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．
例题2．（2023上·陕西榆林·高三陕西省子洲中学校考期中）
32．（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.
（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
例题3．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）
33．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；
(2)根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．
巩固训练
（2023上·四川绵阳·高二统考期中）
34．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下.甲：82，81，79，78，95，88，93，84 ；乙：92，95，80，75，83，80，90，85.
(1)求甲的第60百分位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学数据特征的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.
（2023上·四川成都·高二统考期中）
35．某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
（2023·全国·高一随堂练习）
36．为了解两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）：
轮胎；
轮胎．
(1)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的平均数和中位数；
(2)分别计算两种轮胎行驶的最远里程的极差和标准差；
(3)根据以上数据，你认为哪种轮胎性能更加稳定？
题型十三：平均数、方差、标准差性质
例题1．（2023·全国·模拟预测）
37．已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差
例题2．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）
38．已知样本数据和样本数据满足，则（ ）
A．的平均数小于的平均数
B．的中位数小于的中位数
C．的标准差不大于的标准差
D．的极差不大于的极差
例题3．（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）
39．设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是 ．
巩固训练
（2023·全国·校联考模拟预测）
40．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为 .
（2022上·江西宜春·高二校考期末）
41．若一组数据的方差为10，则另一组数据的方差为 ．
（2020·高一课时练习）
42．已知的平均数为3，标准差为2，求的平均数与方差.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.
【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；
对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；
2017年，；2018年，；
2019年，；2020年，；
2021年，；2022年，；
则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法正确，C说法错误；
对于D，由，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确.
综上，说法错误的选项为C.
故选：C
2．B
【分析】通过表格可知，数值越大，说明空气污染越严重，质量不好，数值越小空气质量越好.体现在图标上就是点的位置越高空气污染越严重，点的位置越低空气质量越好.可以通过将点计数来确定中位数的大概位置，以及空气质量为优的天数.
【详解】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点，
因此两者均值大于但小于150,A错;
空气质量为优的有天，占，B正确;
10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错;
10月上旬的空气质量指数值在以下的多，
中旬的空气质量指数值在以上的多，
上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错.
故选：B.
【点睛】对表格和图表的解读是做题的关键，通过对A,B,C,D的逐项判断来选出正确答案.
3．ABD
【分析】根据频率分布折线图，利用频率、频数与样本容量的关系，分析各个选项．
【详解】成绩49分不属于，内，
成绩是49分的职工人数是0，故A选项正确，
由题意可得，，
成绩优良的人数为，故B选项正确，
由于频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，不能判断众数是75，故C选项错误，
由图可知平均分，故D选项正确．
故选：ABD．
4．200，20
【分析】
根据扇形图和条形图计算样本容量及高中生近视人数即可.
【详解】该地区中小学生总人数为，则样本容量为，
其中抽取的高中生近视人数为.
故答案为：200；20.
5．C
【分析】
根据两个统计图计算出分配到乙和丁社区的学生数，从而计算出分到戊社区的学生数.
【详解】由题意得，分配到乙社区的学生数为，
分配到丁社区的学生数为，
故分到戊社区参加活动的学生数为.
故选：C
6．D
【分析】
根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确；
对于B选项，由图可知个数据的平均数为
，故B正确；
对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确；
对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误．
故选：D.
7．ACD
【分析】
根据题意结合统计图表逐项分析判断.
【详解】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的，
满意的中年人占总人数的，
满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；
总满意率为，故D正确.
故选：.
8．CD
【分析】根据折线图提供的数据及概率的意义判断各选项．
【详解】成绩落在内的人数为，不能说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确；
从频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在内的人数和成绩落在内的人数相等，所以B错误；
成绩落在内的人数为，所以C正确.
故选：CD．
9．A
【分析】根据定义，结合各组的情况，举出特例排除错误选项；对正确选项，计算即可做出判断.
【详解】对于甲同学，平均数为，方差小于，设甲同学三次考试的名次分别为、、，
若、、中至少有一个大于等于，则方差为，与已知条件矛盾，
所以，、、均不大于，满足题意；
对于乙同学，平均数为，众数为，则三次考试的成绩的名次为、、，
即必有一次考试为第名，不满足题意；
对于丙同学，中位数为，众数为，可举反例：、、，不满足题意；
对于丁同学，众数为，方差大于，可举特例：、、，则平均数为，
方差为，不满足条件.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下两点：
（1）在判断选项不成立时，可通过举反例来否定；
（2）在判断A选项时，可、、中至少有一个大于或等于，利用反证法来推导.
10．A
【分析】
由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为分的人数分别为：2，2，，2，2．一共有150个“2”，计算的值，再对照选项证明选项A正确即可得到答案.
【详解】
利用特殊法解决．
假设，这2名学生的得分分别为150，150．
则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：，
即这2名学生中得分至少为分的人数分别为：
2，2，，2，2．一共有150个“2”，
从而得分的同学会被记次，所有的和恰好是所有人得分的总和，
即，
从而．
．
对照选项，只有（A）正确．
选项A的正确性证明如下：
由题得学生的总得分里有个1，个2，个3，，个149，个150，
所以
，所以.
故选：A．
11．8（答案不唯一）
【分析】
设第8次射击的结果是x环，由平均数可得，再分类讨论并结合第75%分位数求出x范围作答.
【详解】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，
由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，
由，解得，无解，
所以，此人第8次射击的结果可能是8环.
故答案为：8
12．(1)甲厂数据的平均数、众数、中位数分别是:12，9，10；乙厂数据的平均数、众数、中位数分别是:13.6,12,12.5；丙厂数据的平均数、众数、中位数分别是:13.4，8，12；
(2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间,乙厂用众数作为该电子产品的待机时间丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间；
(3)我会选乙厂的产品，理由见解析.
【分析】（1）直接利用平均数、众数、中位数的定义即可求解；
（2）由平均数、众数、中位数的大小进行比较后即可下结论；
（3）比较甲、乙、丙的数据下结论.
【详解】（1）根据平均数的计算公式可知：
甲厂数据的平均数是；
乙厂数据的平均数是；
丙厂数据的平均数是.
甲厂,乙厂,丙厂的众数分别是9,12，8.
甲厂数据的中位数为，乙厂数据的中位数为,丙厂数据的中位数为.
（2）甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间.
（3）我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大,众数最大,中位数最大，所以待机时间更长些,稳定性也较好
13．BC
【分析】
由题设条件可得符号条件的两组解，故可得正确的选项.
【详解】这5个质数的和为65，考虑质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，…
显然这5个数都为奇数，因此它们的中位数不可能为5，故A错误；
是符合题意的解，于是中位数的最小值为7．故B正确；
又，于是中位数小于17，故D错误；
又是符合题意的解，于是中位数的最大值为13．
如果把5个数由小到大排列，
若13为第二个数，则第一个数最大为11，13后面第小的三个数为17，19，23，这五个数之和大于65，矛盾，故13不可能为第2个数，
同理13也不可能为倒数第二个或最后一个数，否则与平均数为13矛盾，
故符合条件的5个数只有两个故C正确.
故选：BC.
14．12或13
【分析】
根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.
【详解】依题意，平均数=中位数=众数=，所以偏态系数为，数据分布对称，
因为存在众数且众数唯一，
所以当有两个8时，可设这个整数为，
且，
所以，解得；
当有三个8时，可设这个整数为或，
且，，
且，所以5，6，7，8，8，8，9，13 ，满足题意，.
所以可能成为样本数据中的最大整数是12或13.
故答案为：或13.
15．(1)众数是2000，中位数2250，平均数为
(2)众数及中位数较能反映月工资水平的实际情况
(3)答案见解析
【分析】
（1）根据平均数和中位数及众数计算公式计算即可；
（2）根据已知工资的实际情况结合众数和中位数定义较能反映实际情况；
（3）根据平均数和中位数及众数定义结合实际情况判断即可.
【详解】（1）
在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000．
把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是．
这组数据的平均数为．
我们把这组数据的众数、中位数、平均数表示在图6.4-1中．

（2）由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况．
（3）
公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；
普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；
应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．
16．中位数181，众数185，平均数177，标准差13
【分析】将数据从小到大重新排列，根据公式即可求解.
【详解】将已知数据从小到大重新排列得：
140,148,158,165,170,170,175,179,180,180,180，
182,183,184,185,185,185,185,189,190,190,192，
所以中位数为，
众数为185，
平均数为：
(140+148+158+165+170+170+175+179+180+180+180+182+183+184+185+185+185+185+189+190+190+192) ≈177
标准差为
【点睛】此题考查求数据的中位数，众数，平均数和标准差，关键在于熟记公式，准确计算.
17．A
【分析】
根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论.
【详解】
众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.
因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾，
所以平均数大于中位数，在第三 四列的位置，因此有众数<中位数<平均数.
故选：A.
18．ABD
【分析】
根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据中位数的求法判断D.
【详解】
由题意知，解得，故A正确；
估计这100名学生成绩的众数是，故B正确；
估计这100名学生成绩的平均数为，故C错误；
设这100名学生成绩的中位数为m，所以，，解得，故D正确．
故选：ABD．
19．
【分析】
由频率分布直方图中总面积为可计算出，由频率分布直方图中平均数的计算方式计算平均数即可估计全校学生的平均成绩.
【详解】由频率分布直方图中总面积为，
即，
解得，
，
故可估计全校学生的平均成绩为.
故答案为：；.
20．(1)，；
(2)
(3)
【分析】
（1）根据频率和为1，即可求解；
（2）根据频率分布直方图，结合平均数的计算公式，即可求解；
（3）结合中位数公式，即可求解.
【详解】（1）
由频率分布直方图可知，
，且，
解得：，；
（2）这个阵营女子身高的平均值为
（3）
前3组的频率和为，
所以中位数为.
21．D
【分析】
首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可.
【详解】由题意得，解得，
因为，，则，
则样本数据的75%分位数位于，则，解得，
因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，
故选：D.
22．ABC
【分析】
根据频率分布直方图中的中位数，众数的算法，以及频率与频数的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题图可知，第一组数据的频率为，第二组数据的频率为，
第三组数据的频率为，所以中位数在第三组，
设中位数为x，则由，解得，所以A正确．
因为最高矩形是第三组，所以众数的估计值是27.5次，所以B正确．
其中1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，
所以超过30次的人数约有，所以C正确．
由1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，
所以少于20次的人数约有，所以D错误．
故选：ABC.
23．##
【分析】根据频率分布直方图频率最高一组数据的中点值即为众数，计算可得.
【详解】由频率分布直方图可知，频率最高的一组数据为：,
所以众数为.
故答案为：.
24．(1)，220
(2)37
(3)49.5
【分析】
（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1求，然后用总人数乘以频率即可估计；
（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；
（3）由百分位数的定义直接列方程求解即可.
【详解】（1）∵，∴，
估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）．
（2）由题意知，平均时长为（min）．
（3）∵，．
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在之间，
设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，
则，解得，
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．
25．D
【分析】根据频率分布直方图先估算出第数所在区间为，然后即可求出.
【详解】由题中频率分布直方图知区间，，三个区间频率为，
所以第数所在区间为，且设为，则，解得，故D正确.
故选：D.
26．AC
【分析】先对已知的6个数据从小到大排序，分，，三种情况讨论，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案.
【详解】将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为.
又，，
若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和，；
若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和，.
所以，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是和50，或50和，则，解得或53.
故选：AC.
27．ABC
【分析】
利用平均数和百分位数的的定义逐项判断即可.
【详解】
对于A，由饼图可知，平均数为：故A正确；
对于B，，故中位数在这一组，设中位数为，
则，解得，故B正确；
对于C，，故第40百分位数在这一组，
设第40百分位数为，则，解得，故C正确；
对于D，上四分位数即第75百分位数，，故第75百分位数在这一组，
设第75百分位数为，则，解得，故D错误；
故选：ABC
28．B
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数，,
故第60百分位数为从小到大第5个数 ，又众数为4，
故 ，
故该组数据的平均数为，
故选：B
29．BCD
【分析】利用平均数定义判断A；利用众数定义判断B；利用极差定义判断C；利用百分位数定义判断D.
【详解】对于A，数据的平均数为，故A错误；
对于B，众数为7，故B正确；
对于C，极差为，故C正确；
对于D，，这组数据从小到大排列为4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，
所以第75百分位数为9，故D正确，
故选：BCD.
30．
【分析】
求解个数据的第百分位数即第项与第项数据的平均数.
【详解】，
由茎叶图知从小到大排列第项数据为，第项数据为，
则该样本的第百分位数是与的平均数，即，
故答案为：.
31．(1)，；
(2)甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．
【分析】（1）利用平均数的定义直接求解即可；
（2）利用方差公式求出甲、乙两名运动员的方差，利用方差越小数据越稳定判断即可
【详解】（1）根据题意可知，
．
（2），
．
，，
甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．
32．（1）甲同学的平均分为13，方差为4；乙同学的平均分为13，方差为；乙同学的成绩较稳定；
（2）29.2
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，结合方差的意义进行分析判断；
（2）将总体平均分代入总体方差公式即可求得总方差.
【详解】（1）设甲同学的平均分为，方差为；乙同学的平均分为，方差为；
，
，
，
，
因为，
所以乙同学的成绩较稳定.
（2）由题意，样本平均数为，
所以样本方差为：.
33．(1)甲、乙的平均数都为100，方差分别为55.25，29.5
(2)乙的人民满意度比较好
【分析】
（1）利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；
（2）根据方差的性质进行求解即可.
【详解】（1），
，
，
；
（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好
34．(1)84
(2)选派甲参加比赛，理由见解析.
【分析】
（1）根据百分位数的定义求解；
（2）根据平均数和方差求解.
【详解】（1）把甲的成绩按照从小到大顺序排列可得：
78,79,81,82,84,88,93,95，
因为，
所以甲的第60百分位数为第五个数，即为84.
（2）
，
因为，，所以甲的成绩更稳定，应该选派甲参加比赛.
35．(1)极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；
(2)；，；
(3)推广品种水稻更合适．
【分析】
（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，
（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，
（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.
【详解】（1）
由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）
由题意：，
，
，
；
（3）
结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
36．(1)轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：；
轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：.
(2)轮胎行驶的最远里程的极差为：，标准差为：；
轮胎行驶的最远里程的极差为：，标准差为：.
(3)
【分析】（1）根据题中数据，利用平均数和中位数的定义即可求出结果；
（2）根据题中数据，利用极差和标准差的定义即可求出结果；
（3）根据（1）和（2）的数据，根据数字特征即可作出判断.
【详解】（1）轮胎行驶的最远里程的平均数为：, 中位数为：；
轮胎行驶的最远里程的平均数为：,
中位数为：.
（2）轮胎行驶的最远里程的极差为：，
标准差为：
轮胎行驶的最远里程的极差为：，
标准差为：
（3）由于和的最远行驶里程的平均数相同，而轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以轮胎性能更加稳定.
37．AC
【分析】由样本特征数的概念进行判断.
【详解】不妨令．
对于A选项，当时，，，…，的中位数为，，，…，的中位数为，可知当时，中位数相等，故A正确；
对于B选项，，，…，的极差为，，，…，的极差为，因为，所以，故B错误；
对于C选项，设，，…，的平均数为，即，
所以，，…，的平均数为，由可知，当时，两组数据的平均数相等，故C正确；
对于D选项，设，，…，的标准差为，，，…，的标准差为，
则，，
因为，所以，则，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误．
故选：AC
38．CD
【分析】A选项，设的平均数为，求出的平均数为，无法确定的大小，故无法确定与的大小关系；B选项，设的中位数为，得到的中位数为，不确定的大小，故无法确定与的大小关系；C选项，设的平均数为，标准差为，求出的方差为，因为，所以，C正确；D选项，设的极差为，求出的极差为，从而得到D正确.
【详解】A选项，设的平均数为，即，
又，
所以，
因为无法确定的大小，故无法确定与的大小关系，A错误；
B选项，设的中位数为，又，单调递增，
所以与的大小排列顺序不变，故的中位数为，
但不确定的大小，故无法确定与的大小关系，B错误；
C选项，设的平均数为，标准差为，
则，
由A选项可知，的平均数为，
所以的方差为
，
故的方差为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故的标准差不大于的方差，C正确；
D选项，设的极差为，又，单调递增，
所以与的大小排列顺序不变，故的极差为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故的极差不大于的极差，D正确.
故选：CD
39．
【分析】
根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】
数据，，，的平均数为，方差为，
所以，，即，
则，
因为，所以，
因函数在上单调递减，
故当时，的最大值是．
故答案为：．
40．11
【分析】
样本数据的平均数结合方差公式可得，于是，结合平均数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，
又，
则有，解得，
则样本数据、、、、的平均数为；
故答案为：11．
41．40
【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.
【详解】由题意设的平均数为，则的平均数为，
由题意的方差为，
从而的方差为.
故答案为：40.
42．平均数为17，方差为100
【解析】根据平均数和方差的性质直接求解即可得到结果.
【详解】由题意得：的平均数，标准差，则方差
由平均数性质知：的平均数为
由方差性质知：的方差为
【点睛】本题考查平均数与方差的性质的应用问题，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第九章 统计（知识归纳+题型突破）
（1）理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数法的一般步骤.
（2）理解分层随机抽样的概念，学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本.
（3）区分简单随机抽样与分层随机抽样，并会选择适当方法进行抽样.
（4）掌握分层随机抽样在实际生活中的应用.
（5）能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.
（6）能用样本估计总体的取值规律.
（7）能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
1.简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（）个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法.
2.分层抽样
（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.
（2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的.
（3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 .
3.频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；
（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积.
各个小长方形面积的总和等于1.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标
平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和
方差和标准差反映了数据波动程度的大小.
方差：；
标准差：.
5.百分位数
（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数.
（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（3）四分位数
常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
题型一：随机数表法
例题1．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）
1．现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（ ）
32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145
A．5 B．44 C．165 D．210
例题2．（2023·全国·高三专题练习）
2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是(　　)
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A．07 B．25 C．42 D．52
例题3．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期末）
3．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为 .
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
巩固训练
（2022下·江西南昌·高一南昌二中阶段练习）
4．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．01 B．02 C．14 D．19
（2022下·贵州贵阳·高三阶段练习）
5．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07
C．32 D．43
题型二：简单随机抽样的概率
例题1．（2023上·全国·高三专题练习）
6．某校要从高一、高二、高三共2 019名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 019名学生中剔除19名，再从剩下的2 000名学生中按分层抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（ ）
A．都相等且为 B．都相等且为
C．不完全相等 D．均不相等
例题2．（2022上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）
7．白沙中学高一、高三、初一学生的人数之比为，从中随机抽取400名学生参加军训结业演练，若每人被抽取的概率都是0.2，则该高一年级的人数为（ ）
A．1000 B．900 C．800 D．700
例题3．（2023下·江西景德镇·高一统考期中）
8．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ．
巩固训练
（2023·全国·高一专题练习）
9．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2021上·高一单元测试）
10．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
（2021上·高一课时练习）
11．在总数为的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则的值为 .
（2022上·上海黄浦·高二校考期末）
12．一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ．
题型三：简单随机抽样估计总体
例题1．（2022上·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）
13．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（ ）
A．320石 B．160石 C．80石 D．60石
例题2．（2022下·高一课时练习）
14．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2021·高一课时练习）
15．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的 情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：
（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？
要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此估计这800人中闯过红灯的人数？
巩固训练
（2022·高一课时练习）
16．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为（ ）
A．4000 B．3000 C．1500 D．750
（2023上·上海浦东新·高二统考期末）
17．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有 人.
（2022·高一课时练习）
18．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为 .
题型四：分层抽样
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）
19．如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
例题2．（2024上·陕西汉中·高一统考期末）
20．已知某校高三年级共1600人，其中实验班400人，为了解学生的学习状况，高三年级组织了一次全员数学测验，现将全部数学试卷按班级分层抽取64份进行研究，则样本中实验班的试卷份数为（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
例题3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）
21．某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28 B．36 C．52 D．64
巩固训练
（2024上·四川凉山·高二统考期末）
22．某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
（2024上·江西景德镇·高一统考期末）
23．某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是 ．
（2024上·广西桂林·高一统考期末）
24．某公司生产、、三种型号的新能源汽车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则种型号的新能源车应抽取 辆.
题型五：分层抽样的样本平均数
例题1．（2023上·四川成都·高二统考期中）
25．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（ ）
A．74 B．129 C．136 D．138
例题2．（2023上·上海闵行·高二校考期末）
26．某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7.3；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8，则所有样本数据的方差为 .（结果精确到小数点后三位）
例题3.（2019·高一单元测试）
27．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001-900.
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差.
例题4．（2023上·河南安阳·高一校联考期末）
28．某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数．
(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数．
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481
2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322
8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943
(2)已知甲班的样本平均数为，方差为，两班总的样本平均数为，方差为．
（i）求乙班的样本平均数和方差；
（ii）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．（如果，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异）
巩固训练
（2023上·四川成都·高二统考期中）
29．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）
30．某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.2 B．均值为7.2
C．方差为19.56 D．方差为20.56
（2024上·浙江宁波·高二余姚中学校联考期末）
31．用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
(2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．
（2022·高一单元测试）
32．某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题．答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
(1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6名观众的编号．
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
(2)某期节目的10名答题选手中6人选择“科技”类题目，4人选择“文艺”类题目．其中选择“科技”类的6人得分的平均数为7，方差为；选择“文艺”类的4人得分的平均数为8，方差为．求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
（2024上·云南昆明·高二校考期末）
33．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．
(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？
题型六：频率分布表
例题1．（2022·高一课时练习）
34．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，具体数据如下：
12 14 16 17 17
19 20 20 21 22
23 23 23 24 24
25 25 26 27 27
28 29 30 32 34
试估计这批棉花的质量情况．
例题2．（2022·高一课前预习）
35．调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高一男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
巩固训练
（2022·高二课时练习）
36．某市今年4月（共计30天）对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）．
61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95
91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45
(1)制作频率分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)根据国家标准，污染指数在时，空气质量为优；在时，为良；在时，为轻微污染；在时，为轻度污染．请对该市的空气质量给出一个简短的评价．
（2021·高一课时练习）
37．有一个容量为100的样本，数据分组及各组的频数如下：，6；，16；，18；，22；，20；，10；，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)估计总体中在的数据所占的百分比．
题型七：频率分布直方图
例题1．（2022上·高一单元测试）
38．下面是一次考试几个班同学的数学成绩（单位:分，满分为150分）:
121，111，128，98，118，124，137，125，121，140，
129，122，101，103，134，126，129，132，99，132，
141，125，122，120，139，106，142，119，134，119，
122，126，114，141，132，125，111，145，110，123，
118，127，129，141，103，117，116，131，134，143，
113，142，125，136，119，110，107，124，137，100，
115，144，96，138，120，121，140，115，123，142，
119，133，120，146，119，144，119，122，119，136，
137，132，112，133，134，117，127，133，126，127，
141，119，131，131，123，128，133，126，129，134，
127，133，121，135，107，132，121，137，118，117，
107，133，131，131，125，126，140，127，114，136，
118，138，127，143，81，140，135，137，142，136，
139，124，138，119，122，136，141，119，118，114.
(1)你觉得怎样直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如哪个分数段的人数比较多，哪个分数段的人数比较少）
(2)画出频率分布直方图，看这次考试的整体分布，能说明哪些问题
例题2．（2023下·广东江门·高一统考期末）
39．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：
83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，
74，94，84，101，93，85，97，84，85，104

(1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差；
(2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图．
分组 频数 频率
合计
巩固训练
（2023·全国·高一随堂练习）
40．一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度．他随机抽取了60株此类植物，测得它们生长1年之后的高度如下（单位：cm）：
73 84 91 68 72 83 75 58 87 41
48 61 65 72 92 68 73 43 57 78
80 59 84 42 67 49 64 73 51 65
63 82 90 54 63 76 61 68 66 78
55 81 94 79 45 67 70 98 76 72
72 91 86 75 76 50 69 69 56 74
(1)完成下表：
高度分组/cm 频数 频率
(2)根据上表画出相应的频率分布直方图和频率折线图，并描述此类植物生长1年之后的高度分布情况．
（2023下·山西晋中·高一校考阶段练习）
41．某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：
40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组 频数 频率
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
由随机数表抽样方法可知答案.
【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240，且要去掉重复数字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210.
故选：D
2．D
【详解】依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，选D
3．05
【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.
【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.
【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.
4．A
【详解】分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
详解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于33的编号
去除重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，04；
则第5个个体的编号为01．
故选A．
点睛：本题主要考查简单随机抽样的应用问题，正确理解随机数法是解题的关键，是基础题．
5．D
【分析】根据随机数表的取法，从第1行第5列的数开始两个两个的读数，不大于50的保留，大于50的去掉，保留到第5个即得．
【详解】由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于50的跳过、重复的不选取)，前5个个体编号为08，12，14，07，43.故选出来的第5个个体的编号为43.
故选：D．
【点睛】本题考查随机数表，掌握随机数表取数规则即可．
6．A
【分析】
根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都是相等的，从而求解.
【详解】
根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，
所以每个个体被抽到的概率都等于，故A项正确.
故选：A.
7．B
【分析】
利用分层抽样中的比例求解即可.
【详解】因为高一、高三、初一的人数之比为，从中抽取400名学生作为样本，
所以高一年级抽取的人数为：，
又每人被抽取的概率为0.2，则该高一年级的人数有.
故选：B
8．
【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案.
【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则，
即，则在整个抽样过程中，
每个个体被抽取到的概率为.
故答案为：.
9．D
【分析】
由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a，b的值.
【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，
故选：D.
10．ABC
【分析】
根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，即可求解.
【详解】
在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为，
所以.
故选：ABC.
11．150
【分析】
由已知条件利用概率的定义直接求解．
【详解】
∵对于总数为的一批零件，抽取一个容量为30的样本，
每个零件被抽到的可能性均为，
∴，
解得．
故答案为：．
12．
【分析】
根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论
【详解】
因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．
由层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，
所以总体中的个体数为．
故答案为：.
13．B
【分析】
利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可估算.
【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有石，
则，解得，
所以估计这批米内所夹的谷有石.
故选：B.
14．C
【分析】用样本估计总体，计算即可得.
【详解】设总人数为，则，
故选：C.
15．80
【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问400次，在被询问的400人中有200人学号是奇数，比200人多出来的人数就是400人中闯过红灯的人数，从而估计出800人中有过闯过红灯的人数．
【详解】解：要调查800名学生，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，
∴第一个问题可能被询问400次，
∵在被询问的400人中有200人学号是奇数，而有240人回答了“是”，
∴估计有个人闯过红灯，即在400人中有40个人闯过红灯，
∴根据概率的知识来估计这800人中有过闯过红灯的人数为80．
16．C
【分析】根据简单随机抽样估计总体，列出方程即可得解.
【详解】设该自然保护区中天鹅的数量为m，则，解得．
故选：C
17．
【分析】
根据题意可知，随机抽查比例是，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句也说不出的人数，按比例计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出，
又抽查比例为，
所以，该校高二年级的400名学生中共有人对“二十四节气歌”一句也说不出.
故答案为：
18．0.6##
【分析】先求出投中的平均次数，即可得出所求.
【详解】10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6.
故答案为：0.6.
19．B
【分析】
根据青年教师的比例计算即可．
【详解】
青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．
故选：B．
20．B
【分析】
直接根据分层抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样可知，样本中实验班的试卷份数为份.
故选：B.
21．A
【分析】
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可得解.
【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为，
女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多.
故选：A.
22．C
【分析】利用分层抽样的概念，对抽出的15人按比例分配即可．
【详解】由题：，故 “史地政”组合中选出的同学人数为4人，
故选：C．
23．30
【分析】
由题意可先计算抽样比，再由抽样比求出结果．
【详解】由题意知，抽取的比例为，则中级教师抽取人.
故答案为：30
24．6
【分析】
根据分层抽样的定义即可得到答案.
【详解】根据分层抽样定义得得种型号的新能源车应抽取，
故答案为：6.
25．D
【分析】
直接由总样本方差公式计算求解即可.
【详解】设甲班平均成绩为，方差为，乙班平均成绩为，方差为，
总体平均成绩为，方差为，
由题知，
则由总样本方差公式，
可得甲，乙两班全部同学的成绩的方差为.
故选：D
26．
【分析】
根据所有样本数据的方差公式进行求解即可.
【详解】设所有样本数据的平均数为，
所以所有样本数据的方差为，
故答案为：
27．（1）667；（2）平均数为7.2，方差为3.56.
【分析】（1）根据题意读出编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．
（2）记样本中8个A题目成绩分别为，，…，，2个B题目成绩分别为，.
分别计算出样本的平均数和方差，即可得到900名考生选做题得分的平均数与方差．
【详解】（1）根据题意，读出的编号依次是512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876.
故中位数为.
（2）记样本中8个A题目成绩分别为，，…，，2个B题目成绩分别为，.
由题意可知，，
，，
故样本平均数为
样本方差为
.
故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
【点睛】本题考查随机数表法抽样应用问题，也考查了分层抽样和平均数、方差的计算问题，属于基础题．
28．(1)31.5；
(2)（i）81；56；（ii）有明显差异.
【分析】
（1）利用分层抽样求出甲班抽取的学生数，再读取编号并求出中位数.
（2）（i）利用分层随机抽样的平均数和方差的公式计算即得；（ii）计算并比较得解.
【详解】（1）
根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为，
在随机数表中依次读取的编号为，48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，
编号从小到大依次为，13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，
所以抽出的学生编号的中位数为．
（2）
（i）依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式，
得，因此，
，即，解得，
所以，.
（ii）因为，
因此，所以两班学生的英语成绩有明显差异．
29．AD
【分析】
根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】
依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故选：AD
30．BC
【分析】
利用平均数公式和总体方差与部分方差的公式进行求解.
【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为
，A错误，B正确；
CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为
，
C正确，D错误.
故选：BC
31．(1)84
(2)96人；
(3)平均数和方差分别为72.5和148．
【分析】
（1）求出第80百分位数一定位内，利用百分位数的公式计算出答案；
（2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数；
（3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案.
【详解】（1）在内的成绩占比为，
在内的成绩占比为，
因此第80百分位数一定位内．
因为，所以估计第80百分位数约是84．
（2）成绩不低于80分的频率为，
所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：，
所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人；
（3）设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为，
．
．
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
32．(1)42
(2)平均数为，方差为
【分析】（1）根据随机数表法取出10个数据，即可求得第6名观众的编号；
（2）利用平均数和方差的定义及计算公式，即可求得对应的样本平均数和方差，得到答案.
【详解】（1）由题意 ，根据随机数表进行抽取的规则，
可得抽取的10个编号分别为，
所以抽取的有效编号第6个为.
（2）解：记选择“科技”类的6人的成绩为，选择“文艺”类的4人的成绩为，
由题题得，，
所以样本平均数为，
样本方差为
.
33．(1)不能，因为题目没有给出男、女生的样本量
(2)均值为166，方差为46.2
【分析】
（1）由于不知道男、女生的样本量，故无法得到总样本的均值和方差；
（2）根据男、女样本量按比例分配，得到总样本的均值，再根据公式得到总样本的方差.
【详解】（1）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．
（2）总体样本的均值为，
总体样本的方差为．
34．答案见解析
【分析】利用样本数据制作频率分布表，根据样本的频率分布估计这批棉花的质量情况．
【详解】这里的总体是某棉纺厂一批棉花的棉花纤维的长度情况，我们要利用通过抽样获得的25根棉花纤维的长度来估计总体的分布情况．由于题目中的数据很难看出任何规律，因此我们通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布．这组数据的最小值为12，最大值为34，故极差为22，可选取组距为5，将其分为5组．其频率分布表如下：
棉花纤维长度分布区间 频数 频率
[10，15） 2 0.08 0.016
[15，20） 4 0.16 0.032
[20，25） 9 0.36 0.072
[25，30） 7 0.28 0.056
[30，35] 3 0.12 0.024
从上表中可以估计总体的大致分布情况．比如，该棉纺厂一批棉花的棉花纤维的长度在[15，30）范围内的频率最大，不足15 mm和大于30 mm的频率相对较小．
35．(1)频率分布表见解析
(2)频率分布直方图见解析
【分析】（1）先求极差，分组，然后列表统计即可；
（2）根据频率直方图的作图方法直接作图即可.
【详解】（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，频率分布表如下：
分组 频数 频率
[150.5,154.5) 1 0.025
[154.5,158.5) 5 0.125
[158.5,162.5) 5 0.125
[162.5,166.5) 10 0.250
[166.5,170.5) 13 0.325
[170.5,174.5) 4 0.100
[174.5,178.5) 1 0.025
[178.5,182.5] 1 0.025
合计 40 1.000
（2）频率分布直方图如下．
36．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题中所给的数据，完成频率分布表；根据频率分布表，画出频率分布直方图；
（2）依据所给数据和标准，对该市的空气质量给出一个简短评价，答案不唯一.
【详解】（1）分析给出数据可知数据最小为45，最大为103，考虑到取整十数据区间分组，比较合适，故分为7组：
45，49∈[41，51)，有2个；56∈[51，61)，有1个；61，64，67，70∈[61,71)，有4个；71，75，75，76，77，79∈[71,81)，有6个；81，81，81，82，82，83，85，86，86，88∈[81,91)，有10个；91，91，91，92，95∈[91,101)，有5个；101，103∈[101,111)有2个.
频率分布表
分组 频数 频率 分组 频数 频率
[41，51) 2 [81，91) 10
[51，61) 1 [91，101) 5
[61，71) 4 [101，111) 2
[71，81) 6
频率分布直方图
（2）答对下述两条中的一条即可:
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；
有26天处于良的水平，占当月天数的；
处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有
15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.
说明该市空气质量有待进一步改善.
37．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据频数计算频率，即可得到频率分布表；
（2）根据频率分布表即可估计总体中在的数据所占的百分比．
【详解】（1）样本的频率分布如下：
分组 频数 频率
6 0.06
16 0.16
18 0.18
22 0.22
20 0.20
10 0.10
8 0.08
合计 100 1．00
（2）从频率分布表可估计总体中在的数据所占的百分比为．
38．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）数据比较多的时候，常借助频率分布表或频率分布直方图进行表示.
（2）利用频率分布表和频率分布直方图的特征即可得出结论.
【详解】（1）数据比较多的时候，要想获得数据的大致分布情况，
最好借助我们学过的图表，比如频率分布表、频率分布直方图.
（2）列频率分布表如下：
成绩分组（分） 频数 频率
合计
画频率分布直方图，如图所示：

通过频率分布直方图我们可以看到，
大部分同学的成绩集中在分数段内，
说明本次考试成绩难度不大，而个别同学成绩较低，
可能学习上遇到了困难，应该引起关注.
39．(1)中位数为90；极差为33.
(2)答案见解析
【分析】
（1）由中位数和极差的计算方法计算即可；
（2）由绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤进行绘制即可.
【详解】（1）
将样本数据由小到大排序，结果如下：
74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.
由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为.
由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为.
（2）
由（1）中对数据排序可得频率分布表如下：
分组 频数 频率
2 0.1
13 0.65
5 0.25
合计 20 1
由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下:
分组
故频率分布直方图如图所示：

40．(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）根据所给数据及频数、频率的概念求解；
（2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图，结合图形得出高度分布情况.
【详解】（1）
高度分组/cm 频数 频率
5 0.083 0.0083
8 0.133 0.0133
16 0.267 0.0267
17 0.283 0.0283
8 0.133 0.0133
6 0.100 0.0100
（2）由上表可得频率分布直方图：

频率折线图如图：

超过50%的此类植物在生长1年后的高度在cm之间，其中50cm以下，90cm以上所占比例相对较小.
41．(1)图表见详解
(2)9000
【分析】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.
(2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.
【详解】（1）频率分布表如下：
分组 频数 频率
2 0.10 5
4 0.20 10
10 0.50 25
4 0.20 10
合计 20 1.00 50
频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．

（2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为．
所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．
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