资源简介

第十一章　解三角形（知识归纳+题型突破）
1.了解余弦定理的推导过程．
2.掌握余弦定理的几种变形公式及其应用．
3.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．
4.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
5.理解测量中的有关名词、术语的确切含义．
6.会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、角度等问题．
7.能够运用正、余弦定理解决三角形中的面积等综合问题．
1．余弦定理
文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A b2＝c2＋a2－2ca cos B c2＝a2＋b2－2ab cos C
对余弦定理的理解
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
（3）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
2．余弦定理的变形
cos A＝；cos B＝；cos C＝．
出现以下两种情况可以考虑用余弦定理解答．
（1）已知一个三角形的两边及其夹角；
（2）条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等．
3．三角形的元素与解三角形
（1）三角形的元素
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．
（2）解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
4．正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字叙述 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等
5．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝.
（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
（4）＝2R.
6．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
①已知三角形的任意两角和一边，求其他两边和另一角．
②已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角．
7．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
8.解三角形应用题的基本步骤
（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在同一个三角形中，建立一个解三角形的数学模型．
（3）求【解析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解．
（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
9．三角形的面积公式
（1）S＝a·ha＝b·hb＝c·hc（ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高）.
（2）S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sinB．
（3）S＝（a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）.
（4）三角形的面积公式S＝ab sin C与原来的面积公式S＝a·h（h为a边上的高）的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高h.
题型一　已知两边及一角解三角形
【例1】
1．在中，,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2 D．3
思维升华
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
（1）已知两边及其夹角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三边，再利用余弦定理的变形公式及三角形内角和定理求其余两角．
（2）已知两边和其中一边的对角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，运用方程的思想求出第三边，这样可直接判断取舍．　
巩固训练
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，，则b＝（　　）
A．4 B．3
C．2或4 D．2或3
4．在中，已知，，，求.
题型二　已知三边（三边关系）解三角形
【例2】
5．在△ABC中，已知，则最大角与最小角的和为
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于（ ）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
思维升华
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的变形公式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的变形公式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　
巩固训练
7．在中，若，求的最大内角的余弦值．
题型三　判断三角形的形状
【例3】
8．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
9．在中，若，试判断的形状．
思维升华
（1）判断三角形形状的基本思想和两条思路
（2）判断三角形形状时经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.　
巩固训练
10．在中，已知，则为（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题型四　余弦定理的综合应用
【例4】
11．已知中，三个内角，，所对的边分别是，，．
（1）证明：；
（2）若，，______，求的周长．
（在①②，③这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答）
思维升华
在利用余弦定理解决综合问题时，如果是实际问题，应该首先抽象出数学模型，也就是转化到哪些三角形中，再利用余弦定理解决问题．　
巩固训练
12．已知A船在灯塔C北偏东处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 km.
题型五　已知两角及一边解三角形
【例5】
13．在中，已知，解这个三角形．
思维升华
已知三角形的两角和任意一边解三角形的思路
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．　
巩固训练
14．在，角的对边分别为若，则最短边长等于( )
A． B． C． D．
15．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.
题型六　已知两边及其中一边的对角解三角形
【例6】
16．已知△ABC中的下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，.
思维升华
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角．
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．　
巩固训练
17．已知中，，求.
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（　　）
A． B．
C．或 D．或
19．已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题型七　判断三角形的形状
【例7】
20．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
思维升华
判断三角形形状的两种途径
[注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．　
巩固训练
21．已知分别是的三个内角所对的边，满足，则的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
22．在三角形中，若，试判断三角形的形状.
题型八　正弦定理的综合应用
【例8】
23．如图，已知一艘船以的速度往北偏东的岛行驶，计划到达岛后停留后继续驶往岛，岛在岛的北偏西的方向上.船到达处时是上午10时整，此时测得岛在北偏西的方向，经过到达处测得岛在北偏西的方向，如果切正常的话，此船约何时能到达岛？（，）
思维升华
利用正弦定理解决综合问题时，如果是实际问题，应首先转化为解三角形的问题，然后再分析清楚在哪个三角形中，是利用正弦定理还是利用余弦定理解决问题．　
巩固训练
24．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若________，________，求的面积.
题型九　测量距离问题
【例9】
25．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C间的距离是 海里．
思维升华
测量距离问题的解题思路
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．　
巩固训练
26．要测量河对岸两点之间的距离，选取相距的，两点，并测得，，，，则（　　）
A．2 B．
C．3 D．
27．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离．
题型十　测量高度问题
【例10】
28．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.
思维升华
测量高度问题的解题思路
这里要解决的主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．　
巩固训练
29．如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为 m.
题型十一　测量角度问题
【例11】
30．如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间．
思维升华
测量角度问题的基本思路
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．　
巩固训练
31．若点在点的北偏东，点在点的南偏东，且，则点在点的（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
题型十二　三角形中的几何计算
【例12】
32．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积.
思维升华
三角形中几何计算问题的解题思路
（1）正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
（2）此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．　
巩固训练
33．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．D
【详解】由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
3．C
【分析】
根据余弦定理，即可求解.
【详解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
故选：C.
4．或
【分析】
根据余弦定理，列式求解.
【详解】
由余弦定理，得，
所以，即，
由,解得或.
5．B
【分析】先根据余弦定理求中间角，再根据三角形内角关系得结果.
【详解】因为，所以最大角与最小角的和为
因为
故选:B
【点睛】本题考查利用余弦定理求角，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．B
【分析】根据余弦定理，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.
【详解】因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以.
因为A三角形的内角，所以A＝60°.
故选：B
7．
【分析】
由三边的比例，得最大内角，余弦定理求余弦值.
【详解】
因为，不妨设，，，
显然，所以的最大内角为，
则.
8．B
【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案.
【详解】由题知：设的三边分别为，，，
因为，所以角为最大的角.
因为，，
所以为锐角，故三角形为锐角三角形.
故选：B
9．为直角三角形
【分析】解法一：根据正弦定理边化角以及两角和的余弦公式变形可得答案.
解法二：将已知等式变形为，把余弦定理代入化简即可．
解法三：依题意可得，再由射影定理可得.
【详解】解法一：因为，
由正弦定理可得，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，则.
所以为直角三角形.
解法二：因为，
所以，
由余弦定理并整理得
，
所以．
所以，故是直角三角形．
解法三：因为，
所以，
∴，
∵，
∴，所以，故是直角三角形．
10．A
【分析】
根据题意，由余弦定理代入计算即可得到，从而得到结果.
【详解】
由余弦定理可得，又，
则，化简可得，所以，且，
所以为等边三角形.
故选：A
11．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）由余弦定理化角为边化简已知等式即可求解．
（2）若选①．由（1）化简已知等式可得，结合，可得的值，进而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周长；
若选②．由（1）化简已知等式可得，结合，可得的值，进而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周长；
若选③．由（1）化简已知等式可得，结合，可得的值，进而利用余弦定理可得，解方程可得的值，即可得解三角形的周长；
【详解】解：（1）证明：由题意得，
所以，得证．
（2）方案一：若选①．因为，
所以，
由（1）可知，，即，
因为，
所以．
在中，由余弦定理，得：，即，
解得，或（舍，
所以，即的周长为20．
方案二：若选②．因为，
所以，
由（1）中的证明过程同理可得，，
所以，即，
因为，
所以．
余下解法同方案一．
方案三：若选③．因为，
所以，
由（1）中的证明过程同理可得，，
所以，即，
因为，所以．
余下解法同方案一．
12．
【分析】
根据题中边角关系，再利用余弦定理求解即可.
【详解】由条件知，，
设，则由余弦定理知，
因为，所以.
故答案为：
13．答案见解析
【分析】
根据题意，结合正弦定理与余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为，所以，
由可得，
又，
所以.
14．C
【分析】先求得，根据大边对大角得知边最小，再由正弦定理求解即可.
【详解】解：在中，，故，
因为大边对大角，所以中，边最小.
在中，由正弦定理得.
故选：C.
15．B=30°，，，.
【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定、的大小，应用正弦定理求即可.
【详解】由且，即，可知：.
∴，
由正弦定理，
∴，.
16．(1)三角形无解
(2)答案见解析
【分析】
利用正弦定理即可解三角形.
【详解】（1）
因为，所以，所以三角形无解．
（2）
因为，所以，因为c＞a，所以C＞A.所以.
所以，.
17．答案见解析
【分析】
利用正弦定理求解即可.
【详解】
因为，所以.
又，
所以或.
当时，.
当时，.
综上：或.
18．C
【分析】
根据正弦定理，即可求解.
【详解】
因为，，，
所以由正弦定理可得，又，，
所以,,所以或.
故选：C．
19．C
【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可．
【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，
半径为2的圆与BA有两个交点，
所以只需满足，即，解得.
故选：C
20．A
【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
故选：A.
21．C
【详解】由正弦定理得：,又，
所以有，即.
所以是等边三角形.
故选C
22．等腰三角形或直角三角形
【解析】根据正弦定理，把边化角，可得结果.
【详解】因为，
所以
，
由正弦定理可知，
所以，
即，
又，所以，
于是，
因此或，
即或，
故三角形是等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属基础题.
23．11点34
【分析】利用正弦定理先后在三角形中分别求得，再根据船速，即可求得结果.
【详解】在中，，，，
根据正弦定理得：，所以.
在中，，，，
根据正弦定理得：，
所以，
，
，
所以船约在11点34到达岛.
【点睛】本题考查利用正弦定理处理距离问题，属基础题.
24．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）用边化角和三角形内角和知识化简可得，再由，即可求A；
（2）方案一：选条件①和②，先用正弦定理求，再由余弦定理求，用三角形面积公式即可求解；方案二：选条件①和③，用余弦定理求出，判断出三角形形状，即可求面积．
【详解】（1）∵，又由正弦定理得
，又，
∴，
即
整理得，即，
又，∴；
（2）方案一：选条件①和②，
由正弦定理，得
由余弦定理，得
解得，所以的面.
方案二：选条件①和③，
由余弦定理，得，
即，解得．∴，∴，为直角三角形，
所以的面积．
【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式，属于常规题.
25．
【详解】因为,所以,由正弦定理知，解得，故填．
26．B
【分析】
在中计算，在中根据正弦定理计算，在中利用余弦定理计算出.
【详解】
根据题意，作出如下图形：
由于中，，，
则，所以，
在中，，，所以，
由正弦定理可得：，且，
则，解得：，
在中，由余弦定理得:，且，
所以，故
故选：B
27．
【分析】
根据几何图形，再结合正弦定理，即可求解.
【详解】
，
因为，所以，
在△ABD中，，，
所以，
所以
在Rt△DBC中，.
所以C，D之间的距离为.
28．
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
29．##
【分析】
通过做辅助线，延长CD交过A，B的水平线于点E，F，进一步可以推导出得到AC＝AB，再利用正弦定理可解三角形.
【详解】
延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.
所以AC＝AB＝40 m，
在△ACD中，由正弦定理，得，
即，解得.
故答案为：.
30．缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时.
【分析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得∠BCD，得，由速度公式可得时间．
【详解】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，
则海里，BD=20t海里．
在中，由余弦定理，有
则.
又，，
∴∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上．
∴∠CBD=90°+30°=120°，在中，由正弦定理得，，
，
∴∠BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．
又在中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，.
，解得，
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．
31．B
【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．
【详解】解：由，又，∴，
而，∴.∴点在点的北偏西.
故选：B.
32．(1)，
(2)
【分析】（1）在和中分别根据边的余弦定理可得，进而求得和；
（2）根据三角形的面积公式求解和的面积和即可
【详解】（1）由题设及余弦定理得
，故，解得，故，，故.
（2）由题意，，故四边形ABCD的面积，即四边形ABCD的面积为
33．（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正余弦平方和为1的性质将余弦化为正弦，再由正弦定理角化边可得，进而利用余弦定理可得解；
（2）由正弦定理可得，进而可得，利用三角恒等变换化简结合三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）因为，
故，
由正弦定理可得，，
由余弦定理得，，又因为，
故.
（2）因为，，则有，
，其中，
故的最大值为.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理解三角形及三角恒等变换，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑