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第十章 三角恒等变换（知识归纳+题型突破）
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2.能利用公式进行计算、化简及求值．
3.理解两角和与差的正弦公式的推导过程．
4.能够运用两角和与差的正弦公式解决求值、化简等问题．
5.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
6.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
7.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
8.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题．
9.了解积化和差公式及其推导过程．
10.了解和差化积公式及其推导过程．
11.了解半角公式及其推导过程．
1．两角和与差的余弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角差的余弦 cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β C（α－β） α，β∈R
两角和的余弦 cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β C（α＋β）
2.两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正弦 sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β S（α＋β） α，β为任意角
两角差的正弦 sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β S（α－β）
3.两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan （α＋β） ＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）
两角差的正切 tan （α－β） ＝ T（α－β） α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）
4.两角和与差的正、余弦公式推导tan （α＋β）与tan （α－β）:
提示：tan（α＋β）＝＝
＝＝.
tan（α－β）＝＝
＝＝.
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
名称 公式 推导 记法
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S（α＋β）S2α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C（α＋β）C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2α C2α
正切 tan2α＝ T（α＋β）T2α T2α
6．积化和差公式
（1）sin αcos β＝[sin （α＋β）＋sin （α－β）]；
（2）cos αsin β＝[sin （α＋β）－sin （α－β）]；
（3）cos αcos β＝[cos （α＋β）＋cos （α－β）]；
（4）sin αsin β＝－[cos （α＋β）－cos （α－β）]．
一是注意公式的推导过程；二是简记为“积化和差，系数半拉，前面是和，后面是差”
7．和差化积公式
（1）sin α＋sin β＝2sin cos ；
（2）sin α－sin β＝2cos sin ；
（3）cos α＋cos β＝2cos cos ；
（4）cos α－cos β＝－2sin sin ．
8．半角公式
（1）sin ＝±；
（2）cos ＝±；
（3）tan ＝±＝＝．
题型一　两角和与差的余弦公式的简单应用
【例1】
1．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
思维升华
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的和与差，正用公式直接求解．
（2）在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
巩固训练
2．化简下列三角函数的值：
(1)；
(2).
题型二　利用两角和与差的余弦公式给值求值
【例2】
3．（1）已知，求和的值．
（2）已知，且，，求的值．
思维升华
给值求值问题的解题策略
（1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
（2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
巩固训练
4．已知，且，求的值.
5．已知，，，求与的值．
题型三　利用两角和与差的余弦公式给值求角
【例3】
6．，，，为锐角，求.
思维升华
解给值求角问题的一般步骤
（1）根据条件确定所求角的范围．
（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
（3）结合三角函数值及角的范围求角．
巩固训练
7．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
题型四　利用两角和与差的正弦公式给角求值
【例4】
8．求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3).
思维升华
解决给角求值问题的方法
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
巩固训练
9．的值是 .
10．= .
题型五　利用两角和与差的正弦公式给值求值
【例5】
11．已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
思维升华
给值（式）求值的解题策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
巩固训练
12．已知，都是锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
题型六　辅助角公式
【例6】
13．的值为( )
A．0 B． C． D．
14．已知中，，则的最大值为 ．
思维升华
辅助角公式及其运用
（1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝sin （α＋φ）（或a sin α＋b cos α＝cos （α－φ））将形如a sin α＋b cos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
（2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
巩固训练
15．化简 .
16．已知则的大小关系为
题型七　正切公式的活用
【例7】
17．求值：
(1)；
(2)；
(3).
思维升华
公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略
（1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan ；＝tan ．
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式．
巩固训练
18． ．
题型八　给值求角（值）
【例8】
19．已知，其中
（1）求；
（2）求的值.
思维升华
解决给值求角（值）问题的常用策略
（1）关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
（2）关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
巩固训练
20．已知，，求.
题型九　三角恒等式的证明
【例9】
21．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
思维升华
对于三角恒等式的证明主要是观察等式的特点，可以由等式的一边证到另一边，也可以由两边证明得到同一结果．　
巩固训练
22．已知，求证：.
题型十　正用、逆用二倍角公式给角求值
【例10】
23．求下列各式的值.
(1);
(2);
(3);
(4).
思维升华
给角求值问题的两类解法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
巩固训练
24．求下列各式的值.
(1);
(2).
题型十一　正用、逆用二倍角公式给值求值
【例11】
25．已知 ，
（1）求 的值； （2）求 的值.
思维升华
三角函数求值问题的一般思路
（1）一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
（2）注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin ＝sin ＝2sin cos .
巩固训练
26．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2020·高考江苏卷）
27．已知 =，则的值是 .
题型十二　三角函数式的化简与证明
【例12】
28．（1）已知，求的值.
（2）证明：，.
思维升华
三角函数式的化简与证明
（1）化简的方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ.
（2）证明三角恒等式的方法
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
巩固训练
29．为第三象限的角，则 （数值）．
30．求证：.
题型十三　积化和差公式的应用
【例13】
31．化简求值：（1）；
（2）．
思维升华
在利用积化和差公式解决问题时，要注意特殊角的运用，从而简化运算，减少运算量．
巩固训练
32．已知，，求，的值．
题型十四　和差化积公式的应用
【例14】
33．化简下列各式：
（1）；
（2）．
思维升华
利用和差化积公式化简时，要注意观察角和三角函数名称的变化，不同名的必须化成同名的，然后再利用和差化积公式解决问题．
巩固训练
34．证明下列恒等式.
(1);
(2).
题型十五　半角公式的应用
【例15】
35．已知为钝角，为锐角，且，，求的值．
思维升华
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
巩固训练
36．已知，，求的值.
题型十六　与三角函数性质有关的问题
【例16】
37．已知函数.
（I）求的最小正周期和最大值；
（II）求在上的单调递增区间．
思维升华
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
↓
↓
巩固训练
38．已知函数，则f(x)（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根据题意，结合两角和与差的三角函数公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由
.
（4）解：由
，
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数及两角差的余弦公式化简求值；
（2）根据两角和的余弦公式求值.
【详解】（1）
（2）.
3．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，求得，，再结合两角和与差的余弦公式，即可求解；
（2）根据题意，求得，，结合，即可求解.
【详解】解：（1）因为，可得，
又因为，可得，
所以，
.
（2）因为，所以，
由，，可得，，
所以
.
4．
【分析】根据同角三角函数基本关系式及两角差的余弦公式可得结果.
【详解】因为，所以,因为，
所以，又，
，
所以
，
故的值为.
5．，.
【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得、，再由、结合两角和差的余弦公式展开计算即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以，
，
所以，
．
6．
【分析】首先求出，，再根据求出，即可得解.
【详解】因为，为锐角，所以，
又，，所以，，
所以
，
所以.
7．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简求值；
（2）利用两角差的正弦公式化简求解；
（3）根据两角和及诱导公式化简即可求值.
【详解】（1）
（2）
.
（3）
.
9．
【分析】用诱导公式化为同角，然后逆用两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故答案为：．
10．
【分析】由题意利用两角和差正余弦公式化简所给的三角函数式即可.
【详解】由题意可得：
.
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，两角和差正余弦公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．（1）；（2）.
【分析】（1）由平方关系以及两角和的正弦公式求解即可；
（2）由平方关系得出，由结合两角差的正弦公式，即可得出的值.
【详解】解：（1）因为，，所以
所以.
（2）因为，所以
又因为，所以
所以
.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和与差的正弦公式的应用，属于中档题.
12．（1）；（2）.
【解析】（1）由是锐角，求得.再利用商数关系得解
（2）由求得，再进行角的拆分
故 利用正弦两角和公式得解.
【详解】（1）∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，∴，，
∴，
∴
.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦，以及平方关系的应用，注意角的范围和角之间的关系，属于中档题.
13．B
【分析】根据辅助角公式和三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】根据辅助角公式，可得
故选：B．
14．1
【分析】根据三角形内角和关系结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性分析求解.
【详解】因为，可得，且，
则
，
因为，可得，
当，即时，取得最大值1.
故答案为：1.
15．
【分析】
根据题意，利用两角差的正弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】
由.
故答案为：.
16．
【分析】利用辅助角法转化为正弦型函数，再利用正弦函数的单调性比较.
【详解】,,
,
因为在上是增函数，
所以
所以.
17．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据两角和的正切公式求解；
（2）由特殊角的三角函数值及两角差的正切公式求解；
（3）两角和的正切公式变形求解.
【详解】（1）.
（2）原式.
（3）因为，
所以，
所以.
18．.
【解析】直接逆用差角的正切公式计算求解.
【详解】原式．
故答案为：
【点睛】本题主要考查差角的正切公式的逆用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
19．（1）7；（2）.
【解析】（1）根据题中条件，由两角差的正切公式，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先求出，再由角的范围，即可得出结果.
【详解】（1）把代入
.
（2）把代入
，
又所以，
所以
20．.
【分析】根据给定条件结合角的变换，利用差角的正切公式直接计算作答.
【详解】依题意，，
所以.
21．（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）利用两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式，化简证得等式成立.
（2）利用两角和与差的正切公式，化简证得等式成立.
【详解】（1）左边右边.
（2）左边右边.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
22．证明见解析
【分析】先分析题目中出现的角度有,即可找到关系
,再进行化简运算即可.
【详解】由,故
,
合并同类项有,
所以,
左边上下同除以有,即.
证毕.
【点睛】三角函数的内容主要观察角度的关系,找到合适的变形与公式,本题需要考虑到
,有一定的难度.
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
利用三角函数的二倍角公式，结合诱导公式转化计算即可得解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）
.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦的倍角公式和两角差的正弦公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由正切的倍角公式，可得.
（2）解：由
.
25．（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据同角三角函数的基本关系可得，再由商数关系可求.最后由二倍角公式可求 的值；
（2）由二倍角公式可求 的值，再由两角差的余弦公式可求 的值.
试题解析：
（1）由题意得 ，∴
∴
（2）∵ ，
∴
26．D
【详解】试题分析：∵，，∴，∴，
∴．
考点：平方关系、倍角关系．
27．
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
28．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用三角函数诱导公式及同角三角函数的关系进行化简求值；（2）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系对左边式子进行化简，即可证明等式成立.
【详解】（1）
.
（2）
（因为）
（因为），故等式成立.
【点睛】本题考查同角三角函数的关系、三角函数诱导公式、二倍角公式，属于中档题.
29．0
【分析】利用二倍角公式及三角函数在各象限的符号进行化简求值.
【详解】因为为第三象限的角，所以，
则.
故答案为：0
【点睛】本题考查二倍角公式、三角函数在各象限的符号，属于基础题.
30．证明见解析
【分析】
根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证.
【详解】
证明：左边＝＝右边．
31．（1） （2）
【解析】（1）利用积化和差公式化简整理即可得到结果；
（2）利用积化和差公式化简整理即可得到结果.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查利用积化和差公式化简求值的问题，考查学生对于基础公式的掌握和应用情况.
32．；
【解析】利用积化和差公式直接求解即可得到结果.
【详解】
【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础公式应用问题.
33．（1）（2）
【解析】（1）利用和、差角的余弦公式，以及和差化积公式即可化简；
（2）把与结合在一起利用和差化积公式即可化简.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查的是和、差角的余弦公式以及和差化积公式的应用，考查学生的分析解决问题的能力，是中档题.
34．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和差化积公式化简整理即可得到结果；
（2）利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果.
【详解】（1）
；
（2）
.
35．
【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系可求出，然后根据两角差的余弦公式可求得，根据角的范围以及降幂公式即可求解.
【详解】因为为钝角，为锐角，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
36．
【分析】由的范围确定和的范围，再利用降幂公式求得和，进而求得，结合二倍角的正切公式求解即可
【详解】因为，
所以，，
所以.
又，所以，
整理得，
解得或.
又，所以，
所以.
【点睛】本题考查降幂公式的使用，正切角的二倍角公式的使用，同角三角函数的求法，属于中档题
37．（I）的最小正周期为，最大值为；（II）．
【详解】试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式，化简，即可求解的最小正周期和最大值；（II）由递增时，求得，即可得到在上递增．
试题解析：
（I）的最小正周期为，最大值为1；
（II） 当递增时，，
即,
所以，在上递增
即在上的单调递增区间是
考点：三角函数的图象与性质．
38．A
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式即可判断.
【详解】
故f(x)是奇函数.
故选：A.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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