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第十三章 立体几何初步（知识归纳+题型突破）
题型十六 线面平行性质定理的应用
【例16】
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．
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2．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，点M在侧棱上且.若平面，试确定实数t的值.

题型十七 直线与平面垂直的定义
【例17】
3．直线平面，直线，则与不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
4．如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空( )
①三角形的两边
②梯形的两边
③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
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对线面垂直定义的理解
（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
（2）由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
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5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．下列命题中，正确的序号是 ．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
题型十八 直线与平面垂直的判定
【例18】
7．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面.
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（1）线线垂直和线面垂直的相互转化
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
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8．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
题型十九 线面垂直的性质定理的应用
【例19】
9．如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
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（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
（2）直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP α；
④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.
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10．在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；
(2).
题型二十　直线与平面所成的角
【例20】
11．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
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12．如图所示，在中，斜边，它在平面上的射影长为4，，求与平面所成角的正弦值．
题型二十一 两个平面平行的判定
【例21】
13．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
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证明两个平面平行的方法
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可.
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
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14．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ平面PBC.
题型二十二 两个平面平行的性质定理的应用
【例22】
15．如图所示，两条异面直线与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是的中点，求证：平面α.

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应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行 线线平行，体现了转化思想.与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.
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16．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.
（1）求证：；
（2）已知，求的长.
题型二十三 二面角的概念及其大小的计算
【例23】
17．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
18．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
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（1）求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
（2）作出二面角的平面角的方法,
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，∠AOB为二面角α a β的平面角.
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，∠AFE为二面角A BC D的平面角.
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.如图所示，∠AOB为二面角α l β的平面角
[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
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19．若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为 .
题型二十四 利用定义证明平面与平面垂直
【例24】
20．如图，在四面体中，，．求证：平面平面．
题型二十五 利用判定定理证明平面与平面垂直
【例25】(2020·高考江苏卷)
21．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
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证明平面与平面垂直的两种常用方法
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直.
（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
　
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22．如图所示，四边形为正方形，平面，，．证明：平面平面．
题型二十六 面面垂直的性质定理的应用
【例26】
23．已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
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应用面面垂直的性质定理应注意的问题
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
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24．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，求证：AE平面BCD.
题型二十七 直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的计算
【例27】
25．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
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直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积、表面积的求法技巧
（1）直棱柱、正棱锥和正棱台的表面积是各个面的面积之和.
（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理.
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26．如图，正四棱台，它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．
题型二十八 圆柱、圆锥和圆台的侧面积的计算
【例28】
27．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
28．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.
（1）求圆台的母线长.
（2）求圆台的表面积.
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圆柱、圆锥和圆台的侧面积或表面积的求法技巧
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
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29．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.

题型二十九 柱、锥、台的体积
【例29】
30．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥A－A1BD的体积及高.
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求几何体体积的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解.
（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
[提醒]求几何体的体积时，要注意利用几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积.
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31．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为 (　　)
A．cm3 B．cm3
C．cm3或cm3 D．192cm3
32．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .

题型三上 球的表面积与体积
【例30】
33．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积.
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球的体积与表面积的求法及注意事项
（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
（3）由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
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34．球的体积是，则此球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
35．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
36．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为 .
题型三十一 组合体的体积
【例31】
37．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
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求组合体的体积的步骤
（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量.
（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积.
（3）计算求值：根据设计的计算方法求值.　
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(2020·高考江苏卷)
38．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
39．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．证明见详解
【分析】
连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证.
【详解】连接交于点，连接，
因为ABCD是平行四边形，所以为中点，
又M是PC的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以

2．
【分析】连接交于点，交于点，连接，首先设菱形的边长为，表示出，然后由线面平行的性质、截平行线段成比例即可求解.
【详解】如图，连接交于点，交于点，连接，易知为的中点．

因为分别为正三角形的边上的中线，
所以为正三角形的中心．
设菱形的边长为，
则，.
因为平面，平面，平面平面，
所以.
所以.
即，所以实数的值为.
3．A
【分析】根据线面垂直的性质可以得到，从而可得正确的选项.
【详解】因为平面，直线，由线面垂直的性质可以知道，
故选：A．
【点睛】本题考查线面垂直的性质，注意空间中线面垂直与线线垂直的相互转化，本题属于容易题．
4．A
【分析】
由线面垂直的判定定理逐一判断.
【详解】
①中的两边必相交，③中的两直径必相交，由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面；
对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．
故选：A.
5．B
【分析】
利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断B，利用或与异面判断C，与可能平行、相交、异面，判断D.
【详解】
对A，，，则可能平行，A错；
对B，，，由线面垂直的性质可得，B正确；
对C，，，则， 与异面；C错，
对D ，，，与可能平行、相交、异面，D错，.
故选：B.
6．③④
【分析】对①④，根据线面垂直的性质判定即可；
对②③，根据线面垂直的判定确定平面α内与直线l垂直的直线满足的条件即可
【详解】对①，根据线面垂直的判定可知①错误；
对②③，当直线l不垂直于平面α时，α内的直线只需垂直于直线l与其在α内的投影直线所确定的平面即可与l垂直，故②错误，③正确；
对④，根据线面垂直的性质，若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有的直线都垂直，故④正确
故答案为：③④
7．证明见解析
【分析】
先通过证明平面，得到，再得到，即可证明线面垂直.
【详解】
由题意可知，平面，又平面，所以，
又，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以，
因为为的中点，，
在中，，所以，
所以，即，
而，面，
故有平面.
8．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）由平面得，结合得出平面P，于是，又，根据线面垂直判定定理得结果；（2）由（1）易得，又得出平面，进而可得结果．
【详解】证明 (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM，
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.又NQ 平面ANQ.
∴PB⊥NQ.
【点睛】破解线面垂直关系的技巧：(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.
(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.
【详解】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）连接，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直的判定定理证明面，即可得出结论.
【详解】（1）
如图，连结，在正方体中，
因为，为棱的中点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）在正方体中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
11．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接CO，由题意可得△ACO为等边三角形，即得CD⊥AO，再由题意得PD⊥CD，即证得CD⊥平面PAB
（2）由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，在三角形中结合各边长解三角形即可求出结果
【详解】(1)证明：连接CO，
由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD 平面PAB，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，
得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
【点睛】本题考查了线面垂直及线面角得大小，需要熟练运用线面垂直得判定定理，再结合题意证明出结果，求线面角时转化为解三角形，关键是找出线面角，然后再计算
12．
【分析】由平面，知是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】解：由题意知，是在平面内的射影，所以平面，所以在平面内的射影为．
所以即为直线与平面所成的角．又因为在中，，，
所以．
在中，．
在中，．即与平面所成角的正弦值为．
13．（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）由，得，进而证得平面平面.
（2）由，得，再由，则，进而证得平面，即可得到结论.
试题解析：
(1)因为，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C，又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD.
又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
点睛：本题主要考查了平面与平面平行的判定与证明问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的综合应用，此类问题的解答中要证“面面平行”只要证明“线面平行”，只要证“线线平行”，把问题最终转化为线与线的平行问题，着重考查了学生的转化思想的应用.
14．证明见解析
【分析】由相似三角形的性质得NQBP，进而得NQ平面PBC；
结合MQ平面PBC和MQ∩NQ=Q即可.
【详解】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，
∴MQAD，NQBP.
又∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
∴NQ平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形.
∴BCAD，∴MQBC.
又∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ平面PBC.
又∵MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ平面PBC.
15．证明见解析
【分析】
过点作交于点，取的中点，连接，首先分别证明，，再由面面平行的判定定理、性质定理即可得证.
【详解】
如图，过点作交于点，取的中点，连接.

因为，所以确定平面.
则平面，平面，
因为，所以.
又分别为的中点，
所以，
因为，
所以.
又分别为的中点，
所以，且.
所以，
因为面，
所以平面.
又平面，
所以平面.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由面面平行的性质定理得证线线平行；
（2）由平行线的性质可求得线段长．
【详解】（1），所以确定一个平面，
由题意平面，平面，
所以；
（2）由（1），所以，所以，
所以．
17．C
【分析】
取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案.
【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，

，则；，则，
平面，平面，
故是二面角的平面角，故.
故选：C
18．D
【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案.
【详解】如图所示，在正方体中，二面角与二面角的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，
所以这两个二面角不一定相等或互补.
例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是，所以这两个二面角不一定相等或互补.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，以及二面角的概念及应用，其中解答中熟记二面角的概念，合理举例是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
19．.
【分析】取的中点，连接，则为二面角的平面角，在中，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，取的中点，连接，则为二面角的平面角，
因为，所以为直角三角形，所以.
【点睛】本题主要考查了二面角的求解，其中解答中根据二面角的平面角的定义，得到为二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结果.
【详解】由题设知，与是全等的等腰三角形，
取的中点E，连接，，则，．
在中，，，
所以，同理，
在中，，．
由于，所以，
又，平面．
又平面，所以平面平面．
21．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【分析】（1）通过证明，来证得平面.
（2）通过证明平面，来证得平面平面.
【详解】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.
22．证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，则，利用平面几何知识证明，从而可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明．
【详解】证明：因为平面，、平面，
所以，，
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
在梯形中，，所以梯形为直角梯形，
又，所以为等腰直角三角形，
则，，
因为，取的中点，连接，则四边形为正方形，
所以，则，
所以为等腰直角三角形，
则，
由，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
23．证明见解析
【分析】分别根据面面垂直、线面垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，再证明线线垂直.
【详解】证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为ADPA＝A，
所以BC⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，所以BC⊥AC．
24．证明见解析
【分析】取BC的中点M，连接DM，AM，则可得DM⊥BC，再由平面BCD⊥平面ABC，可得DM⊥平面ABC，而AE⊥平面ABC，所以AEDM，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD=CD，所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，DM 平面BCD，两平面交线为BC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AEDM.
又因为AE 平面BCD，DM 平面BCD，
所以AE平面BCD.
25．，
【分析】根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.
【详解】如图，，在中，．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．
26．．
【详解】试题分析：根据棱台的结构特征，得出上、下底面边长，斜高等，利用公式求解，即可得出结论．
试题解析：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，
∴上底面、下底面的面积分别是4，16，
∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，
∴侧面的高为，
∴侧面的面积为，
∴四棱台的表面积为．
考点：棱台的侧面积与表面积．
27．A
【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．
故选：A．
28．（1）5（2）80π
【分析】（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；
（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.
【详解】（1）设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5；
（2）由（1）可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
【点睛】本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题.
29．
【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案.
【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，
则圆柱的上底面为中截面，可得，
，，
.
【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.
30．（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为.
【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解；
（2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高.
【详解】解：（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，
又三棱锥的体积，
所以剩余部分的体积；
（2）由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为，即面积，
则，即，解得，
故三棱锥A－A1BD的体积为，高为.
【点睛】方法点睛：
求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
31．C
【分析】本题利用圆柱体积公式即可.
【详解】圆柱的高为8 cm时，cm3，
当圆柱的高为12 cm时， cm3.
故选：C.
32．24
【分析】
由题意先根据底面正方形对角线长度求得底面积，然后解直角三角形得四棱锥的高的长度，结合棱锥体积公式即可求解.
【详解】
因为四棱锥中，底面是正方形，且对角线，
所以，且，
所以，
因为是棱锥的高，且，
所以在中，，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：24.
33．表面积为，体积为
【分析】设截面的圆心为，球心为O，连接，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积和体积.
【详解】设截面圆心为，球心为O，连接，

设球半径为，
因为.
在中，，
所以，所以，
所以.
.
34．B
【解析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.
【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.
故选：
【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.
35．
【分析】
根据体积公式和面积公式列式计算.
【详解】
设此球的半径为，则，
解得.
故答案为：.
36．
【分析】设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.
【详解】设两球的半径分别为，
∵两个球的半径相差1，表面积之差为，
∴，，解得，，
∴它们的体积和为，故答案为.
【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
37．(1)
(2)，
【分析】
（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；
（2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值.
【详解】（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积
所以仓库的容积.
（2）
设，下部分的侧面积为，
则，，
，
设，
当，即时，，.
即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.
38．
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
39．10π.
【分析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，再由圆柱的体积公式求解即可得出答案.
【详解】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，
如图，则圆柱的体积为，故所求几何体的体积为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第十三章　立体几何初步（知识归纳+题型突破）
1.理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别和作图．
2.理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别和作图．
3.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体．
4．会根据旋转体的几何体特征进行相关运算．
5.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
6.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．
7.会根据斜二测画法规则进行相关运算．
8.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面．
9.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．
10.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的作用．
11.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．
12.理解并掌握基本事实4和“等角”定理，并能解决有关问题．
13.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角．
14.理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系．
15.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题．
16.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．
17．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．
18．了解直线和平面所成的角的含义，并会求直线与平面所成的角．
19．理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念．
20．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．
21.了解两个平面的位置关系．
22.理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系．
23.理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题．
24.了解两个平行平面间的距离．
25.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．
26.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理．
27.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．
28.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图，掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积的求法，并理解它们之间的关系．
29.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积的求法，并理解它们之间的关系．
30.能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系．
31.掌握球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．
32.会利用分割、补形求组合体的表面积和体积．
1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类 图形及记法
棱 柱 结构特征 （1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行（2）侧面都是平行四边形 记作棱柱 ABCDEF A′B′C′D′E′F′
分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱……
棱 锥 结构特征 （1）底面是多边形 （2）侧面是有一个公共顶点的三角形 记作 棱锥S ABCD
分类 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台 结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 （1）上下底面互相平行，且是相似图形 （2）各侧棱延长线相交于一点 记作棱台 ABCD A′B′C′D
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
2.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.
3．多面体
由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．
4．圆柱、圆锥、圆台、球
分类 定义 图形及表示 表示
圆柱 将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱 圆柱OO′
圆锥 将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥 圆锥SO
圆台 将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台 圆台OO′
球 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球O
5．旋转体
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．
6．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点．画直观图时把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
7．空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
（2）直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
（3）已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
8．平面
（1）平面的概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图．
（2）平面的表示法
平面通常用希腊字母α，β，γ，… 表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示；如图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
9．几何里的平面的特点
（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
10．点、线、面之间的关系
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P∈AB
点C不在直线AB上 CAB
点M在平面AC内 M∈平面AC
点A1不在平面AC内 A1平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
11．平面的基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 平面ABC ①确定平面的依据 ②判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 AB α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上
基本事实1：确定平面的依据；
基本事实2：判定直线在平面内的依据；
基本事实3：判定两个平面相交的依据．
12．基本事实的推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
图形语言表述：如图所示．
13．空间直线的位置关系
（1）异面直线
定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 没有
14．平行直线
（1）基本事实4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫作空间平行线的传递性．
符号表示： a∥c．
（2）“等角”定理
如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
15．异面直线所成的角
（1）定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
（2）异面直线所成的角
定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角（或夹角）.
范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
16．直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
17．直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β.
以上三个条件缺一不可．
（2）定理的作用
①线面平行 线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
18．直线与平面垂直
定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直
记法 a⊥α
有关 概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足
图示及 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
19．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言 a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A a⊥α
20．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线
21．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
22．直线与平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．
如图所示，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
（2）规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．
（3）范围：直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°.
23．两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有一条公共直线
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
24.两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a α，b α，a∩b＝A且a∥β，b∥β α∥β
图形语言
（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
25．两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
26．公垂线、公垂线段
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段；我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
27．二面角
（1）定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．
（2）图形和记法
图形：
记作：二面角α—AB—β．
28．二面角的平面角
（1）定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
（2）图形、符号及范围
图形：
符号：OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角α l β 的平面角．
范围：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
29．平面与平面垂直
（1）定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
30.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
31．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积
（1）有关概念：
侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高．
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形．
（2）公式：S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高）
S正棱锥侧＝ch′（c为正棱锥的底面周长，h′为斜高）
S正棱台侧＝（c＋c′）h′（c，c′分别为正棱台的上下底面周长，h′为斜高）
32．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系
33．圆柱、圆锥和圆台的侧面积
名称 图形 公式
圆柱 侧面积：S侧＝cl＝2πrl
圆锥 侧面积：S侧＝cl＝πrl
圆台 侧面积：S侧＝（c＋c′）l＝πl（r＋r′）
34.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
35．体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝（S′＋＋S）h．
36.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝ShV台体＝（S′＋＋S）hV锥体＝Sh.
37．球的表面积和体积公式
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2；球的体积V＝πR3．
对球的体积和表面积的几点认识
（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
（2）由于球的表面不能展开成平面，所以球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍．
题型一　棱柱的结构特征
【例1】
1．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2．下列关于棱柱的说法：
（1）所有的面都是平行四边形； （2）每一个面都不会是三角形；
（3）两底面平行，并且各侧棱也平行； （4）被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是 ．
思维升华
棱柱结构特征的辨析技巧
（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　
巩固训练
3．如图所示的三棱柱，其中、、、是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
题型二　棱锥、棱台的结构特征
【例2】
4．下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的序号是 ．
思维升华
判断棱锥、棱台形状的两个方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
巩固训练
5．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
6．（多选）下列说法中，正确的是（　　）
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱锥的各侧棱长相等
题型三　旋转体的结构特征
【例3】
7．（多选）下列说法正确的是（　　）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
思维升华
（1）判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
（2）简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　
巩固训练
8．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．
其中正确的序号是 ．
题型四　简单组合体的结构特征
【例4】
9．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　)
A． B． C． D．
思维升华
不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略
（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形．
（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．　
巩固训练
10．若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

11．直角梯形ABCD如图所示，分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
题型五　旋转体中的计算问题
【例5】
12．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．
思维升华
解决旋转体中计算问题的解法
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得．
[注意]　在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．　
巩固训练
13．已知一个圆台的上下底半径分别为，截得圆台的圆锥母线长为，则这个圆台的母线长为 ．
14．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是 cm.
题型六　画水平放置的平面图形的直观图
【例6】
15．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．

思维升华
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
（2）画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生变化．　
巩固训练
16．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．

题型七　画简单几何体的直观图
【例7】
17．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
思维升华
画空间图形的直观图的原则
（1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
（2）平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.　
巩固训练
18．已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
题型八　直观图的还原与计算
【例8】
19．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
思维升华
（1）直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．　
（2）直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
巩固训练
20．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型九　图形、文字、符号语言的相互转化
【例9】
21．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面与平面交于，平面与平面交于.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
思维升华
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　
巩固训练
22．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点与直线；
(2)点与直线；
(3)点与平面；
(4)点与平面；
(5)直线与直线；
(6)直线与平面；
(7)平面与平面.
题型十　点、线共面问题
【例10】
23．证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
已知：如图所示，
，，.
求证：直线在同一平面内.
思维升华
证明点、线共面的常用方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．　
巩固训练
24．如图，已知.求证：直线共面．
题型十一　三点共线、三线共点问题
【例11】
25．如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．

思维升华
　
巩固训练
26．如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．

27．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
28．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

题型十二　空间两直线位置关系的判定
【例12】
29．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
思维升华
（1）判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断．
（2）判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，l α，Bl AB与l是异面直线（如图）.
　
巩固训练
30．三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
31．若直线a∥b，，则a与c的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
题型十三　平行公理和等角定理的应用
【例13】
32．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，求证:四边形是菱形.
思维升华
（1）证明两直线平行的常用方法
①利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；
②定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
③利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
（2）证明两角相等的方法
①利用等角定理；
②利用三角形全等或相似．
[注意]　在应用等角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．　
巩固训练
33．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

求证：（1）四边形是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
题型十四　异面直线所成的角
【例14】
34．如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
思维升华
求异面直线所成角的步骤
（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　
巩固训练
35．如图，在正方体中，为侧面的中心，是平面的中心，求和所成的角．

36．如图，在正方体中，若分别是的中点，且和所成的角为，求和所成的角．

37．如图所示，在三棱锥中，分别为的中点，求与所成的角．
题型十五　直线与平面平行的判定
【例15】
38．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
思维升华
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
（1）空间直线平行关系的传递性法；
（2）三角形中位线法；
（3）平行四边形法；
（4）成比例线段法．
[提醒]　线面平行判定定理应用的误区
（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．　
巩固训练
39．如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则不能得出平面的是
A． B．
C． D．
40．已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
根据棱柱的定义以及其结构特征，一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，即A错误，
例如图示几何体上下两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，而是组合体；
对于B，正六棱柱有四对平行的面，但只有一对正六边形的面可以为底面，
如图示，只有上下两个平行的面可以叫做底面，故B错误；
对于C，棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，故C错误；
对于D，根据棱柱的定义可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，正确，
故选∶D．
2．（3）（4）
【分析】利用棱柱的定义逐一判断即可.
【详解】（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
（2）错误，棱柱的底面可以是三角形；
（3）正确，由棱柱的定义易知；
（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，
所以说法正确的序号是（3）（4）．
故答案为（3）（4）
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查棱柱的定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．
3．截面以上的几何体是三棱柱，截面以下的几何体是四棱柱.
【分析】根据棱柱的定义即可判断出两几何体的形状.
【详解】截面上、下的几何体都满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行且相等，这样的几何体为棱柱，
所以，截面以上的几何体是三棱柱，截面以下的几何体是四棱柱.
【点睛】本题考查棱柱的判断，考查棱柱定义的应用，属于基础题.
4．②③④
【分析】
根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解.
【详解】
①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，
棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误；
②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确；
③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确；
④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确；
⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误；
故答案为：②③④.
5．B
【分析】结合图形以及四棱锥的结构特征即可判断.
【详解】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
故选：B.
6．AC
【分析】
根据棱锥的结构特征，结合选项依次判断即可.
【详解】
A：由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；
B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，
如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；
C：四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，
因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；
D：棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误．
故选：AC
7．AB
【分析】
根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可.
【详解】
A：圆柱的底面是圆面，故A正确；
B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确；
C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误；
D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.

故选：AB
8．①④
【分析】
根据球的定义、结构特征以及球的截面依次判断命题即可.
【详解】
①：根据球的定义知，球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长，故①正确；
②：因为球的直径必过球心，故②不正确；
③：因为球的任何截面都是圆面，故③不正确，
④：过圆柱轴的平面截圆柱所得的截图为矩形，故④正确．
故答案为：①④
9．A
【详解】该几体的上部分是圆锥，中间是两个同底的圆台，下部分是圆柱，
圆锥的轴截面是直角三角形，
圆台的轴截面是直角梯形，
圆柱的轴截面是矩形
∴这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．
故选A．
10．答案见解析
【分析】
如图，将图形分成直角三角形、直角梯形和矩形3个部分，结合旋转体的定义即可求解.
【详解】
①是直角三角形，旋转后形成圆锥；
②是直角梯形，旋转后形成圆台；
③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．
通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．

11．见解析
【详解】以AB所在直线为轴旋转，可得到的几何体如图（1），它是一个圆台；以BC所在直线为轴旋转，可得到一个圆柱和圆锥的组合体，如图（2）；以CD所在直线为轴旋转，可得到一圆台，一底面挖出一个小圆锥，另一底面增加一个较大的圆锥，如图（3）；以AD所在直线为轴旋转，可得一个不完整的圆柱，上面挖去一个圆锥，如图（4）．
考点：旋转体的结构特征.
12．．
【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解．
【详解】设圆台的母线长为，由截得圆台上、下底面的面积之比为，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为，．过轴作截面，如图所示．
则，所以，
又，
所以，解得，
即圆台的母线长为9cm.
13．6
【分析】根据圆锥的截面的性质计算．
【详解】设圆台的母线长为，则，解得：．
故答案为：6．
14．
【分析】先求纬圆半径，根据直角三角形的性质，再求地球仪的半径．
【详解】如图所示，由题意知，
北纬30°所在小圆的周长为，
则该小圆的半径，
其中，
所以该地球仪的半径.
故答案为：.
【点睛】本题考查球的半径的计算，利用球心到截面的距离、截面半径、球的半径构成直角三角形，解直角三角形即可求解半径，属于简单题.
15．作图见解析
【分析】
根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图.
【详解】
（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，
垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取，
在轴上截取，过点作轴的平行线，
在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②.
（3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.

16．作图见解析
【分析】
根据斜二测画法的定义和步骤即可求解.
【详解】
（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系，
再建立如图②所示的坐标系，使.
(2)在坐标系中，在轴上截取；
在轴上截取，使.
(3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).

17．答案见解析
【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；
（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；
（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．
（4）连线并擦去辅助线得直观图．
【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
18．见解析
【解析】根据空间图形直观图的斜二测画法规则作图．
【详解】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.
（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.
（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
【点睛】本题考查空间图形的斜二测画法，掌握空间图形斜二测画法规则是解题基础．画空间几何体的直观图时，已知图形中平行坐标轴的线段在直观图中仍平行于相应的坐标轴，已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半.
19．作图见解析；5
【分析】由直观图的斜二测画法作出图象，由其图象作法的要求与梯形面积公式求得面积.
【详解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
【点睛】本题考查直观图的斜二测画法，属于基础题.
20．D
【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.
【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，，，
在图②中作于，则.
所以.
故选：D.
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】
由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解.
【详解】
符号语言表示：平面平面，平面平面.
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内，
图形语言表示如图②所示．

22．(1)点直线
(2)点直线
(3)点平面
(4)点平面
(5)直线直线点
(6)直线平面
(7)平面平面直线
【分析】根据点、线、面之间的关系，结合图形依次判断即可求解.
【详解】（1）点直线
（2）点直线
（3）点平面
（4）点平面
（5）直线直线点
（6）直线平面
（7）平面平面直线
23．证明见解析
【解析】由，可知和确定一个平面，再根据在内，可知在上，即可得证，也可由确定一个平面，确定一个平面，再根据两个平面都过不共线的三个点，知两个平面重合.
【详解】证明：方法一（纳入法）
，∴和确定一个平面.
，.
又，.同理可证.
又，，，∴直线在同一平面内.
方法二（同一法）
，确定一个平面.，确定一个平面.
，，.，，.
同理可证，，，.
∴不共线的三个点既在平面内，又在平面然内.
∴平面和重合，即直线在同一平面内.
【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于容易题.
24．证明见解析
【分析】
由题意，根据点、线、面之间的关系，即可证明.
【详解】
因为，所以和确定一个平面，
因为，所以.
故.
又，所以和确定一个平面.
同理.
即和既在平面内又在平面内，且与相交，
故平面，重合，即直线共面．
25．证明见解析
【分析】
如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明.
【详解】
连接，

因为为的中点，为的中点，所以且.
又因为且，所以且，
所以四点共面，
设.又平面平面，
所以点为平面与平面的公共点．
又因为平面平面，
所以根据基本事实3,得，
即三线交于一点．
26．证明见解析
【分析】
由题意可证平面，平面，进而，即可证明.
【详解】
因为，且平面，所以平面，
同理平面，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面∩平面，所以成立．
所以点三点共线．
27．证明见解析
【分析】
设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证.
【详解】如图，梯形中，因为，
所以与必交于一点，
设交于点，则，
又因为，
所以，
又因为，所以，
所以共点．
28．证明见解析.
【分析】根据推论3及公理2可知，两条平行直线AB和CD可以确定一个平面ABCD，并且平面ABCD与平面的所有的公共点应该在一条直线上，根据题意，这些公共点即E，F，G，H四点，所以这四点必定共线.
【详解】证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
【点睛】在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.
29． 平行 异面 相交 异面
【分析】
由直线平行，相交和异面的概念判断即可.
【详解】
由正方体性质易知，故为平行四边形，故直线，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；
直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；
点 平面内， 平面而且，点C不在平面内，则直线与直线 “异面”．同理，直线与直线 “异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.
故答案为：平行；异面；相交；异面
30．A
【分析】由三棱锥的图形即可判定出结果
【详解】如图：
三棱锥中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD，AC与BD，AD与BC共3对
故选A
【点睛】本题主要考查了三棱锥的六条棱所在直线存在多少对异面直线，结合异面直线的定义即可判断出结果，较为简单
31．D
【分析】画出正方体，举出实例，可得到a与c的位置关系.
【详解】在正方体中，
，，与相交，
，，与异面，
令，，
∴直线，，则与的位置关系相交或异面.
故选：D.
32．证明见详解.
【分析】根据正方体的性质，结合平行四边形判定定理，根据公理即可证明.
【详解】取棱的中点，连接，.如下图所示：
由正方体的性质，可知侧面为正方形，又分别为棱的中点，
所以，，从而四边形为平行四边形，
所以，.
又分别为棱，的中点，且侧面为正方形，
所以四边形为平行四边形，所以，.
又，，
所以，，且
从而四边形为平行四边形.
不妨设正方体的棱长为，
易知，
又四边形为平行四边形，故四边形是菱形.即证.
【点睛】本题考查线线平行的证明，主要应用了公理，平行四边的判定，属基础题.
33．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据直线的平行性的传递性可得且，根据梯形的定义可得结论成立；
（2）根据等角定理可证结论成立.
【详解】（1）连接，

因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，，
又因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，
所以且，
所以四边形是梯形.
（2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同，
所以根据等角定理可得.
【点睛】本题考查了平行直线的传递性，考查了等角定理，属于基础题.
34．(1)45°
(2)30°
【分析】（1）判断出与所成角，并求得其大小.
（2）作出与所成角，并求得其大小.
【详解】（1）因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
（2）连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．
35．
【分析】
连接，，确定异面直线与所成的平面角，即可求解.
【详解】
连接，则分别为的中点，连接，
则，又，
所以(或其补角)为异面直线与所成的角，
由于是等腰直角三角形，故，
即与所成的角为.
36．
【分析】
连接，可证四边形是平行四边形，进而确定和、和所成的角，结合即可求解.
【详解】
连接，因为是正方形，所以且，
因为分别是的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以(或其补角)是和所成的角，(或其补角)是和所成的角，
因为，所以，
则，所以和所成的角为.

37．
【分析】
如图，取的中点，连接.根据中位线的性质确定线线角，结合即可求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接.
因为分别为的中点，，
所以，且.
所以(或其补角)就是与所成的角，.
因为，所以.故.
所以为等腰直角三角形．得，
即与所成的角为.
38．证明见解析.
【解析】连接BC1，由四边形ABC1D1是平行四边形，可得BC1∥AD1，进而EF∥BC1，利用线面平行的判定定理证得命题成立.
【详解】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
【点睛】本题考查线面平行的判定定理,考查学生的直观想象能力与逻辑思维能力,属于基础题.
39．C
【分析】根据直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质对各选项中平面是否成立进行判断.
【详解】在A、B选项中，、分别为、的中点，则，
在正三棱柱中，，，平面，平面，则平面，A、B选项正确；
在C选项中，如下图所示：
取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，同理可证，在正三棱柱中，，，同理可证，则四边形为平行四边形，则与平面相交，C选项错误；
在D选项中，在正三棱柱中，，且、分别为、的中点，，则四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，D选项正确.故选C.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判断，常用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
40．见解析
【分析】作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，由平面几何知识可证PM∥QN，PM=QN，即四边形PMNQ是平行四边形，故PQ∥MN．由此可证PQ∥平面CBE．
【详解】作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，
∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ．
又AB＝CD，∴PM∥QN，PM=QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN．
又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE．
【点睛】本题考查线面平行的证明，属基础题.
答案第1页，共2页
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