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第十二章　复数（知识归纳+题型突破）
1.了解数系的扩充过程，理解复数的概念.
2.理解复数的分类.
3.掌握复数相等的充要条件及其应用.
4.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则.
5.掌握复数乘法运算，能够进行复数的乘法运算.
6.理解共轭复数的概念.
7.理解复数乘法的运算律.
8.掌握复数乘方的运算律，并会进行乘方运算.
9.掌握复数除法运算的运算法则，能够进行复数的除法运算.
10.了解复平面的概念.
11.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
12.掌握复数的模的概念，会求复数的模.
13.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义.
14.正确理解复数的三角形式的意义.
15.明确复数代数形式和三角形式之间的相互关系，并能初步进行二者之间的相互转化.
16.掌握三角形式的乘除法的运算.
1.复数的有关概念
（1）虚数单位：引入一个新数i，叫作虚数单位；
其中：i2＝－1；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
（2）复数
①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数.
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部.
（3）复数集
①定义：全体复数所组成的集合叫作复数集.
②表示：通常用大写字母C表示.
（4）复数集的组成：
复数集由实数集和虚数集构成.
2.复数的分类
复数z＝a＋bi（a，b∈R）
复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数.
3.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
4.复数加、减法的运算法则
（1）加、减法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i.
（2）加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.
5.复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
（2）复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3）
分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
6.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数.z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.
7.复数乘方的运算律
对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有
zmzn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1z2）n＝zz.
（1）复数的乘方运算与多项式乘方运算很类似，可仿照多项式乘方运算进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成－1）.
（2）一般地，如果n∈N*，那么：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
8.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），
则＝＝＋i（c＋di≠0）.
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
10.复数的两种几何意义
11.复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝.
12.复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是Z2Z1.
13.辐角与辐角主值
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角.
任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，任意两个辐角之间相差2π的整数倍，适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作arg z；即0≤arg z<2π.
14.复数的三角形式
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复数的模r和辅角θ来表示：z＝r（cos θ＋isin θ），其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.r（cos θ＋isin θ）称为复数 z的三角形式.而a＋bi称为复数z的代数形式.
15.辐角三角形式的乘除法
设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝r1r2，＝.
题型一　复数的概念
【例1】
1．下列命题：
①若，则是纯虚数；
②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
思维升华
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.
[提醒]　解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.
巩固训练
2．对于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．i的平方等于1
题型二　复数的分类
【例2】
3．当实数为何值时，复数为
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
思维升华
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部.
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可.
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
巩固训练
4．若复数(,i为虚数单位)不是纯虚数,则
A． B．且 C． D．
5．复数，其中.
(1)若复数为实数，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值.
题型三　复数相等
【例3】
6．（1）已知，其中i为虚数单位，求实数x，y的值；
（2）已知，其中i为虚数单位，求实数x、y的值.
思维升华
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.
[注意]　在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
巩固训练
7．复数,,,i为虚数单位,若,则 .
8．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
题型四　复数的加、减法运算
【例4】
9．（1）计算：；
（2）设，（，），且，求.
思维升华
解决复数加（减）运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.
巩固训练
10．计算：（1）；
（2）；
（3）.
题型五　复数的乘法运算
【例5】
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
思维升华
解决复数乘法运算问题的思路
复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i.
巩固训练
12．计算下列各式的值.
（1）；
（2），其中.
题型六　共轭复数
【例6】
13．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则
A． B． C． D．
14．把复数z的共轭复数记作，已知，求z
思维升华
共轭复数性质的巧用
（1）实数的共轭复数是它本身，即z∈R z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数.
（2）若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数.
巩固训练
15．已知，为的共轭复数，若，求.
题型七　复数的乘方运算
【例7】
16．设，求证：
(1)；
(2).
思维升华
复数的乘方运算，主要是根据复数的乘法进行计算，需要注意（1±i）2＝±2i等类似结论.
巩固训练
17．已知，复数满足，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
18．的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八　复数的除法运算
【例8】
19．计算：
(1)；
(2).
思维升华
解决复数的除法运算问题的思路
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
巩固训练
20．
A． B． C． D．
21．计算：
(1)；
(2).
题型九　在复数集内解方程
【例9】
22．已知复数，i为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
思维升华
实系数的一元二次方程的虚数根是成对出现的，并且两根互为共轭复数.
巩固训练
23．关于x的实系数方程.
（1）设（i是虚数单位）是方程的根，求实数a，b的值；
（2）证明：当时，该方程没有实数根.
题型十　复数与复平面内的点
【例10】
24．已知复数，其中.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值（或取值范围）
（1）在实轴上；（2）在第三象限
思维升华
利用复数与点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据.
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
巩固训练
25．已知复数（），是实数，是虚数单位.
(1)求的值；
(2)若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
题型十一　复数与复平面内的向量
【例11】
26．已知O为坐标原点，向量 分别对应复数，，且，，若是实数.
(1)求实数a的值；
(2)求以 为邻边的平行四边形的面积.
思维升华
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
巩固训练
27．已知平面直角坐标系中O是原点，向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（ ）
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
28．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为（ ）
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
题型十二　复数的模
【例12】
29．已知虚数满足.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
思维升华
复数的模的求解思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解.
巩固训练
30．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
31．已知复数，，其中.
（1）若复数为实数，求的取值范围；
（2）求的最小值.
题型十三　复数的代数形式化为三角形式
【例13】
32．把下列复数的代数形式化为三角形式：
(1)；
(2).
思维升华
把复数的代数形式转化为三角形式只要找到复数的模和复数的辐角主值即可.
巩固训练
33．把()的代数形式化为三角形式.
题型十四　复数的三角形式化为代数形式
【例14】
34．把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)；
(2).
思维升华
把复数的三角形式化为代数形式只需将三角函数计算出值即可.
巩固训练
35．把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)；
(2).
题型十五　复数三角形式的乘除法运算
【例15】
36．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
思维升华
复数三角形式的乘除法运算只需要利用复数乘除法的运算法则进行计算即可.
巩固训练
37．化简下列各式：
(1) ；
(2)
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.
【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：.
2．C
【分析】
根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确；
B：，因此本选项说法不正确；
C：，，因此本选项说法正确；
D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确，
故选：C
3．(1)；
(2)且；
(3).
【分析】（1）令虚部等于且即可求解；
（2）令虚部不等于且即可求解；
（3）令实部等于，虚部不等于即可求解.
【详解】（1）若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
（2）若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
（3）若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
4．C
【解析】先求出(,i为虚数单位)是纯虚数时的范围，再取补集即为所求.
【详解】当复数是纯虚数时,
需满足解得即
,∴当复数不是纯虚数时,
a的取值集合为.
故选:C.
【点睛】本题考查纯虚数的定义，考查化归转化思想，属于基础题.
5．(1)或
(2)
【分析】
（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由复数为实数可得，
解得或.
（2）由复数为纯虚数可得，
解得.
6．（1）；（2）
【解析】（1）由复数等于零可知实部和虚部均为零，由此构造方程组求得结果；
（2）由复数相等可知实部与虚部分别相等，由此构造方程组求得结果.
【详解】（1） ，解得：
（2）由得：，解得：
【点睛】本题考查根据复数相等求解参数值的问题，关键是明确复数相等，则实部和虚部分别相等，属于基础题.
7．5
【解析】根据复数相等的性质求解即可.
【详解】因为,,所以.
由复数相等的充要条件得解得.
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了复数相等的性质与二次方程的求解,属于基础题型.
8．a＝－1
【分析】利用交集的性质可得a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，再根据复数相等列方程求解即可.
【详解】因为A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，
所以a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
解得a＝－1.
9．（1）；（2）.
【分析】
（1）（2）运用复数加减运算及复数相等求解即可.
【详解】（1）原式＝.
（2）因为，，，
所以，
所以，解得，
所以.
10．（1）1+i（2）6-2i（3）
【解析】（1）1-2+2即为所求复数的实部，2+1-3为所求复数的虚部；
（2）2-（-1）+3为所求复数的实部，-1-5+4为所求复数的虚部；
(3)a-(3a)为所求复数的实部，b-(-4b)+5为所求复数的虚部.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【点睛】本题考查了复数加法、减法的混合运算，考查了运算能力，属于基础题.
11．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.
12．（1）；（2）.
【解析】（1）根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.
（2）根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.
【详解】（1）根据复数的乘法运算,展开化简可得
（2）根据复数的乘法运算,展开化简可得
【点睛】本题考查了复数的乘法运算,由多项式乘法法则展开即可求解,属于基础题.
13．A
【分析】由a﹣i与2+bi互为共轭复数，可求出a，b的值，代入（a+bi）2进一步化简求值，则答案可求．
【详解】∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，
∴a=2，b=1．
则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．
故选A．
【点睛】利用复数相等求参数：．
14．
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
【详解】解：
∴
∴
15．或
【分析】
设（，），代入方程，结合复数相等求解即可.
【详解】设（，），则（，），
由题意得，
即，
则，解得或，
所以或.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
运用复数加法、乘法运算证明即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以.
（2）证明：因为，
所以.
17．B
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简求出、的值，即可得到答案.
【详解】，
所以，即，
所以，即，所以
所以，所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件，属于基础题.
18．C
【分析】利用复数的乘法可得计算结果.
【详解】，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的乘方，利用复数的乘法展开计算即可，本题属于基础题.
19．(1)
(2)
【分析】运用复数四则运算计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
20．D
【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
21．(1)0
(2)
【分析】
利用复数代数形式的四则运算化简求值.
【详解】（1）
.
（2）
.
22．(1)；
(2)；
【分析】
（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得；
（2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得.
【详解】（1）因为复数，
所以
（2）因为复数z是关于x的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
23．（1），；（2）见解析
【解析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则即可得出；
（2）利用一元二次方程的实数根与判别式的关系即可得出．
【详解】（1）是方程的根，也是方程的根，
由根与系数的关系得，，解得，；
（2）证明：，，，原方程无实数根.
【点睛】本题考查复数的运算法则，考查复数与方程的综合，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
24．（1）；（2）.
【解析】首先表示出复数在复平面内对应的点的坐标，再根据条件得到方程（不等式组），解得即可.
【详解】解：复数在复平面内对应的点的坐标为
（1）若复数在复平面内对应的点在实轴上，则有，解得.
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，则有，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
25．(1)2
(2)
【分析】
（1）运用复数四则运算可得，结合复数为实数的定义即可求得，进而可求得复数模.
（2）化简，结合复数几何意义即可求得结果.
【详解】（1）因为（），所以，
又因为是实数，
所以，即，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以，解得，
故的取值范围为.
26．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
【详解】（1）由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
（2）由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以以 为邻边的平行四边形的面积
27．B
【分析】
根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可
【详解】
向量对应的复数分别记作，，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，，
由向量减法的坐标运算可得向量，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
故选：B
28．B
【分析】根据复数的几何意义得出点A的坐标，再由点的对称得出点B的坐标，从而可得选项.
【详解】因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.
故选：B.
【点睛】本题考查复数的几何意义和点关于线的对称，属于基础题.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）设虚数，、，由题意列方程求出的值，即可得出；
（2）由，列方程求出实数的值.
【详解】（1）设虚数（、且），
代入得，
，
即，可得，因此，；
（2）由（1）知，其中、，且，，
又知，.
，
，，解得.
【点睛】关键点点睛：复数分类的关键：
（1）利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式，求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式时应先转化形式；
（2）注意分清复数分类中的条件：设复数，则：
①为实数；②为虚数；③为纯虚数，；④.
30．A
【详解】因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
31．（1）；（2）
【分析】（1）由复数为实数，则，即可求解的取值范围；
（2）根据题意，求得，由模的计算公式得，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由复数为实数，则，解得，
即复数为实数，求的取值范围为；
（2）因为，
所以，
故的最小值为，此时
【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
32．(1)
(2)
【分析】运用复数的三角形式公式计算即可.
【详解】（1）由题意知，，
在复平面内对应的点在第三象限，设为辐角主值，
所以，即，
所以.
（2）由题意知，，
在复平面内对应的点在第四象限，设为辐角主值，
所以，即，
.
33．
【分析】
运用复数三角形式公式计算即可.
【详解】因为，所以，
在复平面内对应的点在轴的正半轴上，
所以，
所以.
34．(1)
(2)
【分析】
运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
35．(1)－6
(2)
【分析】
运用特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
36．(1)
(2)
【分析】根据复数三角形式的乘方和除法计算法则可得.
【详解】（1）.
（2）.
37．(1)
(2)1
【分析】
利用复数三角形式的乘法除法法则，化简求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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