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第九章 平面向量（知识归纳+题型突破）
1．理解向量的相关概念．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念．
2．理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念．理解向量夹角的概念和范围．
3．理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义．
4．掌握向量加法的交换律和结合律，会利用它们进行计算．
5．掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会利用它们解决实际问题．
6．掌握向量减法的运算法则及其几何意义，会求两个向量的差．
7．理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律．
8．掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线．
9．理解平面向量数量积的含义并会计算．理解向量a在向量b上的投影向量的概念．
10．掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用．
11．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
12．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．
13．理解向量坐标表示的意义．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则．
14．理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题．
15．掌握向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积．
16．能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直．
17．理解两平行向量的坐标之间的关系，会用向量的坐标运算解决向量平行问题．
18．能根据向量的坐标运算解决与三点共线有关的问题．
1．向量的概念及表示
（1）概念：我们把既有大小又有方向的量叫作向量．
（2）向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记为．向量也可用小写字母a，b，c来表示．
2．向量的有关概念
（1）向量的长度(模)：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||．
（2）零向量：我们规定，长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的．
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，又称为共线向量．若向量a与向量b平行，记作a∥b．
规定零向量与任一向量平行．
（2）相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何．向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a＝b．
（3）相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a，
规定零向量的相反向量仍是零向量．任意一个向量a，总有－(－a)＝a．
4．向量的夹角
对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向；
当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b．
5．向量加法的定义及运算法则
定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法
法则 三角形法则 前提 已知向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b
结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形
平行四边形法则 前提 任意两个不共线的非零向量a，b
作法 作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作 OABC
结论 以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
图形
规定 零向量与任一向量a的和都有a＋00a＝a
6．向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
7．向量的减法
（1）定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
（2）作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
（3）几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
8．向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．特别地，当λ＝0时，0a＝；当a＝0时，λ0＝．
9．向量数乘的运算律
设 a， b为向量，λ，μ为实数，那么：
（1）λ(μ a)＝(λμ)a．
（2）(λ＋μ)a＝λa＋μa．
（3）λ(a＋b)＝λa＋λb．
10．向量的线性运算及向量共线定理
（1）向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算．
（2）向量共线定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa．那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．
11．向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定零向量与任一向量的数量积为0．
12．投影向量
设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量．
13．数量积的变形关系式
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则
（1）cos θ＝
（2）a⊥b a·b＝0．
（3）a·a＝|a|2或|a|＝．
14．向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a(交换律)．
（2）(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(结合律)．
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
15．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底
（1）e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组基底．
（2）基底e1，e2确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．
16．正交分解
平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
17．向量的坐标表示
如图1，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．
我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
如图2，作＝a，即有＝xi＋yj，则的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．
由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
18．平面向量的坐标运算
（1）已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝(λx1，λy1)．
（2）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
19．向量数量积的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
20．两个公式、一个充要条件
（1）向量的模长公式
设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝．
（2）向量的夹角公式
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ＝＝．
（3）两个向量垂直的充要条件
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝，即A，B两点间的距离为．
21．平面平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
两个向量共线的坐标表示还可以写成＝ (x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
题型一　向量的相关概念
【例1】
1．下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，则．
A．0 B．1
C．2 D．3
思维升华
（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件
①大小；②方向．两个条件缺一不可．
（2）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
巩固训练：
2．在下列结论中，正确的为
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
题型二　共线向量与相等向量
【例2】
3．已知为非零向量，且与不共线，若，则与必定 ．
4．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中．
(1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
思维升华
相等向量与共线向量的判断
（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
（3）非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．
[注意]　对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
巩固训练：
5．已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
6．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
题型三　平面向量加法及其几何意义
【例3】
7．如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．

思维升华
（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
巩固训练：
8．如图，已知向量，，求作向量＋．
题型四　平面向量的加法运算
【例4】
9．化简：
(1)．
(2)．
思维升华
向量运算中化简的两种方法
（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
巩固训练：
10．如图,平行四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.化简下列各式:

(1);
(2).
题型五　向量加法的实际应用
【例5】
11．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
思维升华
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
巩固训练：
12．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
题型六　向量的减法运算
【例6】
13．化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
思维升华
向量减法运算的常用方法
巩固训练：
14．在平行四边形中，为上任一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．化简下列各式：
(1)；
(2)．
题型七　向量的减法及其几何意义
【例7】
16．如图，已知向量，，不共线，求作向量．
思维升华
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
巩固训练：
17．如图，已知向量，，，求作向量．

题型八　向量模的运算
【例8】
18．已知，为两个非零向量，
(1)求作向量，；
(2)当向量，成什么位置关系时，满足？(不要求证明)
思维升华
有关模的运算
（1）主要是利用向量加减法的几何意义，首先作出向量的和与差，然后再求出向量的模；
（2）当向量a，b不共线时：－<<＋．
巩固训练：
19．已知，，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围．
题型九　向量的线性运算
【例9】
20．（1）计算：
①；
②；
③．
（2）设向量，求．
思维升华
向量的线性运算的基本方法
（1）类比方法：向量的线性运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
巩固训练：
21．化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
22．若，其中为已知向量，求未知向量．
题型十　用已知向量表示其他向量
【例10】
23．如图，ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量.
（1）＝ ；
（2）＝ .
思维升华
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
巩固训练：
24．如图，四边形是一个梯形，且，M，N分别是的中点，已知，试用表示向量．

25．如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC，BD的交点，E，F分别是腰AD，BC的中点，求向量和．
题型十一　平面向量的数量积运算
【例11】
26．（1）已知，与的夹角为60°，求．
（2）如图，在 ABCD中，，，，求：
①；
②．
思维升华
向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
巩固训练：
27．如图，在中，求．

28．已知菱形的边长为,,则等于 .
29．已知，，与的夹角为． 求：
(1)；
(2)；
(3)．
题型十二　向量模与夹角的有关计算
【例12】
30．已知平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝4，则|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
(2020·高考全国卷Ⅲ)
31．已知向量，满足，，，则（　　）
A． B．
C． D．
思维升华
（1）求向量的模的常见思路及方法
①求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
②a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
（2）求向量a与b夹角的思路
①求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
②在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
巩固训练：
32．已知向量与的夹角为120°，且，则 ，| ．
33．已知向量满足，则| ．
题型十三　证明两向量垂直
【例13】
34．已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．
题型十四　利用夹角和垂直求参数
【例14】
35．已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
36．已知，，为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数λ＝ ．
思维升华
与垂直有关的计算主要是利用a⊥b a·b＝0这个公式，要熟练掌握这个公式．
巩固训练：
37．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝ ．
题型十五　平面向量基本定理的理解
【例15】
38．设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
思维升华
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
（3）一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
巩固训练：
39．设O点是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
①与；②与；③与；④与．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
40．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
题型十六　用基底表示平面向量
【例16】　
41．如图，已知在梯形ABCD中，，E，F分别是AD，BC边上的中点，且，＝，＝．试用基底，表示，．
思维升华
用基底表示向量的两种方法
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
巩固训练：
42．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若，，则＝（ ）
A． B．
C． D．
43．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设.
(1)用向量表示，
(2)若＝λ，求实数λ的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】
①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断.
【详解】
①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；
②错，的模等于0；
③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确；
④错，向量不能比较大小．
故选：B．
2．B
【分析】逐一分析选项，得到答案.
【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.
故选B.
【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
3．不共线
【分析】
由平面向量平行的传递性判断.
【详解】因为为非零向量，与不共线，，
所以与不共线.
故答案为：不共线.
4．(1)答案见解析；
(2)答案见解析 ．
【分析】
（1）由相反向量的概念即可求解；
（2）由共线向量的概念即可求解.
【详解】（1）
与的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）
与共线的向量有，，，，，，，，．
5．B
【分析】
利用向量共线的概念逐一判断.
【详解】
根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，但方向不确定是同向还是反向，大小也不确定，故ACD错误，B正确.
故选：B．
6．（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与.
【分析】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案.
【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；
（3）与相等的向量有：与.
7．作图见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作图。
【详解】
利用三角形法则作，如图①所示，作，以A为起点，作，
再以B为起点，作，则，
利用平行四边形法则作，如图②所示，作，，，
以，为邻边作，则，
再以，为邻边作，则．

8．作图见解析
【分析】
（1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可.
【详解】
（1）作，则，如图（1）．
（2）作，则，如图（2）．
（3）作，则，如图（3）．
9．(1).
(2).
【分析】
（1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
10．(1).(2)
【解析】(1)根据向量的线性运算法则求解即可.
(2)根据向量的线性运算与平行四边形法则求解即可.
【详解】解:(1).
(2)
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与平行四边形法则,属于基础题型.
11．答案见解析
【分析】作出图形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得结论.
【详解】如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，
在中，，，则，.
故此人沿向量的方向游（即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为），实际前进的速度大小为千米/小时．
12．，方向为北偏东80°．
【分析】利用方位角的概念作出图形，向量的模长表示两地的距离，再从图形中利用勾股定理进行求解.
【详解】如图，设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行，表示从B地按南偏东55°的方向飞行．
则飞机飞行的路程指的是，两次飞行的位移的和指的是．
依题意，有．
又，，，
所以，
其中，所以方向为北偏东．
从而飞机飞行的路程是，两次飞行的位移和的大小为，方向为北偏东80°．
【点睛】本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意勾股定理的运用，属于基础题.
13．(1).
(2).
(3)
【分析】
根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）
.
14．AB
【分析】利用平面向量的加法法则结合相等向量可得结果.
【详解】．
故选：AB．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案；
（2）由向量的加减法运算即可得答案.
【详解】（1）．
（2）.
16．作图见解析
【分析】
利用平行四边形法则和三角形法则作图即可得解.
【详解】
方法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，，连接BC，
则．过点A作，且，连接，则，
所以．
方法二：如图②，在平面内任取一点O，作，，
连接OB，则，再作，连接CB，则．
方法三：如图③，在平面内任取一点O，作，，连接OB，
则，再作，连接OC，则．
17．作图见解析
【分析】
根据向量减法的三角形法则作出图形.
【详解】
在平面内任取一点，作向量，，则向量，
再作向量，则向量，即为所求作向量.

18．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形法则和平行四边形法则作出图形；
（2）根据向量数量积的运算律可以证明得到.
【详解】（1）当两个向量，不共线时，作平行四边形ABCD，
使得，，，，
所以如图1所示，，.

当两个向量，同向且共线时，作，，
所以如图2，；

如图3，，

当两个向量，反向且共线时，作，，
所以如图4，；

如图5，.

（2）当时，满足.
因为，
所以，
故，即，
因为，为两个非零向量，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件；
（2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件；
【详解】（1）
因为，
且，所以，
当与同向时，；
当与反向时，；
所以的取值范围为．
（2）
由，
且，所以，
当与同向时，；
当与反向时，．
所以的取值范围为．
20．（1）①；②；③；（2）．
【分析】（1）按照向量的加法、减法法则和数乘运算律计算可求第①②③题；
（2）先将化简，再代入关于的表达式整理即得.
【详解】（1）①；
②；
③．
（2）.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】
利用向量的数乘运算计算即可.
【详解】（1）；
（2）
；
（3）
.
22．
【分析】
将向量方程展开，合并同类向量，移项后将的系数化为1即得.
【详解】
由可得：，
即，解得：．
23． .
【分析】（1）根据向量的三角形法则，即可求得答案.
（2）因为，结合题干条件，化简计算，即可得答案.
【详解】因为且，所以，即.
（1）根据三角形法则可得：.
（2）.
故答案为：；
24．
【分析】
根据题意，分别用向量表示出和，再运用向量的减法法则表示，代入化简即得.
【详解】

如图，连接，因且，M，N分别是的中点，
则
又因可得,则，
故
25．；
【分析】
利用封闭图形向量加法、减法运算联立方程组可得，再利用三角形相似求得比例关系即可得.
【详解】
因为E，F分别是腰AD，BC的中点，所以，
因为①，②，
可得，
因为，，，
所以，
，
因为，故，而，
故，故；
可得
26．（1）192 ；（2）①9 ；②－6 ．
【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积公式，即可求解；
（2）①先求出与的夹角，再由数量积公式，即可求解；②先求出与的夹角，再由数量积公式，即可求解.
【详解】（1）
．
（2）①因为，且方向相同，所以与的夹角是0°，为相等向量．
所以．
②因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°．
所以．
27．－7
【分析】
将向量分别用表示，再进行求数量积即得.
【详解】

如图，连接,
又，
故
28．
【详解】
∵菱形的边长为,，
∴，
.
∴.
故答案为.
29．(1)－20
(2)88
(3)156
【分析】
根据数量积概念和运算律可得.
【详解】（1）；
（2）
；
（3）
.
30．B
【分析】
利用展开计算即可.
【详解】
.
故选：B.
31．D
【分析】
借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.
【详解】
，
，
故.
故选：D.
32．
【分析】已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开，即可得出答案.
【详解】∵向量与的夹角为，且，，
∴，，，
因为，
所以．
因为
.
所以．
故答案为：；.
33．
【分析】
由两边平方后求得，利用向量的模的公式计算即得.
【详解】
由两边平方展开得：
因，则，故．
故答案为：.
34．证明见解析
【分析】
根据题意，由平面向量的模长公式，代入计算，即可证明.
【详解】
因为，
所以当时，有最小值．
此时，
所以．
35．B
【分析】
根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】
因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
36．或5
【分析】
根据，可得，两边平方即可求解.
【详解】
由，可得，
即，而，，为单位向量，
则，则，
即，解得或λ＝5．
故答案为：或5
37．2
【分析】
结合，将向量等式两边与作数量积，再利用向量数量积的定义式展开计算即得.
【详解】
将的两边分别与作数量积得：
化简得：，即，解得：
故答案为：2.
38．ABD
【分析】
先判断与，与，与不共线，即可判断此三组向量可以分别作为一组基底；
与共线，故此组向量不能作为一组基底.
【详解】
A．设，则无解，所以与不共线，即与能作为一组基底．
B．设，则无解，
所以与不共线，即与能作为一组基底．
C．因为，所以与共线，即与不能作为一组基底．
D．设，则无解，
所以与不共线，即与能作为一组基底．
故选：ABD
39．B
【分析】判断是否共线，只要不共线的两个向量就可作为基底．
【详解】只要是平面上不共线的两个向量都可以作为基底，与，与都是不共线向量．
与，与是共线向量．
故选：B．
40．B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
41．，
【分析】
利用向量的数乘运算及几何运算求解即可.
【详解】
连接FA，DF．因为，且，
所以．所以，
因为．所以，
所以，
.
42．D
【分析】
利用圆的性质，结合向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】
连接，由点C，D是半圆弧的三等分点，得垂直平分，且是正三角形，
于是四边形是菱形，所以.
故选：D
43．(1)
(2)
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算求解；
（2）根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】（1）∵点A是BC的中点，则，即，
整理得，
可得，
故.
（2）由题意可得：，
∵三点共线，则，且，
则，
可得，解得，
故.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第九章 平面向量（知识归纳+题型突破）
题型十七　平面向量的坐标表示
【例17】
1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的坐标．
思维升华
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
（2）求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
巩固训练：
2．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
题型十八　平面向量的坐标运算
【例18】
3．已知向量，，若满足，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，，，且，，求点M，N的坐标．
思维升华
平面向量坐标（线性）运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．　
巩固训练：
5．已知，，的坐标分别为，，，则 ， ．
6．已知向量a=(2，1)，b=(1， 2)．若ma＋nb=(9， 8)(m，n∈R)，则m n的值为 ．
题型十九　数量积的坐标运算
【例19】
7．已知向量，，求：
(1)；
(2)；
(3).
思维升华
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．　
巩固训练：
8．已知向量，则 ．
9．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则 .
题型二十　平面向量的模
【例20】
10．已知向量，，且，则（　　）
A． B．5
C． D．
（2021·江苏南京市金陵中学高三月考）
11．已知向量,,若,则 ．
思维升华
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
（2）坐标表示下的运算
若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　
巩固训练：
12．已知平面向量与的夹角为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
题型二十一　平面向量的夹角
【例21】
13．已知，.
(1)求；
(2)设，的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值．
思维升华
利用数量积求两向量夹角的步骤
　
巩固训练：
14．已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
15．已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．
题型二十二　向量共线的判定
【例22】
16．已知向量，.若，则 ．
17．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
思维升华
向量共线的判定方法
巩固训练：
18．已知向量，.判断向量与是反向还是同向？
19．已知向量，.若与平行，则（　　）
A． B．
C．7 D．
20．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
题型二十三　三点共线问题
【例23】
21．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
思维升华
判断向量（或三点）共线的三个步骤
　
巩固训练：
22．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为，则点的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
23．设点，，，，当为何值时，与共线且方向相同，此时，，，，能否在同一条直线上？
题型二十四　向量共线的应用
【例24】
24．在中，已知点，，与交于点，求点的坐标．
思维升华
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
　
巩固训练：
25．如图，已知，，分别是的中点，且与交于，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】（1）设出点的坐标，根据给定条件，直接求出向量的坐标.
（2）由（1）的结论，利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】（1）设点，则，，
所以向量的坐标是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
2．，
【分析】由题得，即得的坐标. 再根据求的坐标．
【详解】由题图知，轴，轴．
∵，，∴，
∴．
∵，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查平面向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【分析】
根据向量线性运算的坐标运算直接得解.
【详解】
因为，，且满足，
所以，
故选：A.
4．；
【解析】根据题意，设出点、的坐标，结合、的坐标计算可得向量、、、的坐标，又由，，结合数乘向量的坐标计算公式可得、的坐标．
【详解】解： ∵，，，
∴，．
∵，，，．
设，，∴，，
∴解得∴，．
【点睛】本题考查数乘向量的坐标运算，关键是掌握数乘向量的计算公式，属于基础题．
5．
【分析】
根据向量的坐标运算公式直接可得解.
【详解】
由，，，
所以，，，
所以，，
故答案为：；.
6． 3
【详解】由a=(2，1)，b=(1， 2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n， 2n)=(2m＋n，m 2n)，
由已知可得，解得，从而m n= 3.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标计算公式直接计算；
（2）根据向量的线性运算及模长公式直接计算；
（3）根据向量的线性运算及数量积公式直接计算.
【详解】（1）由已知，，
得；
（2）方法一：，所以；
方法二：，
所以；
（3）方法一：因为，，所以；
方法二：.
8．4
【分析】
根据向量的坐标运算求解.
【详解】
由向量减法坐标运算可得，
由向量数量积的坐标运算可得.
故答案为：4.
9．
【分析】建系，根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则，
因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
10．B
【分析】
根据向量垂直的坐标运算求出，再根据向量加减的坐标运算和向量模的计算公式即可.
【详解】
由，可得，代入坐标运算可得，解得，
所以，得，
故选：B．
11．1
【分析】
先分别计算出和,利用向量的模的运算求出和,根据等式即可求出的值.
【详解】
因为,,
则,
,
因为,所以,
解得：.
故答案为：.
12．B
【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解.
【详解】由，得，
又，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据向量线性运算的坐标运算直接可得解；
（2）利用夹角公式直接可得解；
（3）根据向量垂直可得数量积，进而可得参数值.
【详解】（1）由已知，，
则；
（2）由已知可得，，，
则；
（3）由向量与互相垂直，
则，
解得.
14．B
【分析】
根据向量线性运算的坐标运算，结合向量夹角公式可得解.
【详解】
由，，可知，
所以，，
且，
设，的夹角为，
则，
又因为，所以，
故选：B.
15．
【分析】
转化为并去掉两向量共线反方向的情况.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），
则，解得，
当时，，解得，此时两向量共线且方向相反，
所以，
所以的取值范围是．
16．
【分析】利用平面向量的坐标运算和向量共线得到方程，解出即可.
【详解】，，
因为，所以，所以.
故答案为：.
17．与共线；与的方向相同.
【分析】先求与的坐标，根据平面向量共线定理即可判断结果．
【详解】因为，
，因为，
所以，所以与共线，
又，所以与的方向相同．
18．同向
【分析】
根据共线解出，再根据向量的坐标运算计算即可.
【详解】
由向量与共线，得，解得，
所以，
所以向量与同向．
19．D
【分析】
根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.
【详解】
，
由与平行，可得，解得.
故选：D.
20．，，和共线.
【分析】先求坐标，进而求得，，再结合向量共线坐标公式检验即可.
【详解】解　由已知可得，，
所以，，
由，所以和共线.
21．（1）；（2）．
【解析】（1）由点，，三点共线可得和共线，解关于的方程可得答案；
（2）由为直角三角形可得，即，解关于的方程可得答案．
【详解】（1），，，
，
点，，三点共线，和共线，
，解得；
（2）为直角三角形，且为直角，
，，
解得．
【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
22．A
【分析】
根据向量共线定理可得解.
【详解】
设，
因为，，三点共线，所以，
又，，
所以，
所以，
故选：A.
23．，，，，不在同一条直线上．
【分析】
首先求出、、的坐标，根据向量共线的坐标表示求出的值，再检验，从而确定的值，再判断与不共线，即可得解.
【详解】
因为，，，，
所以，，
，
由与共线，所以，解得，
当时，，此时，即与共线同向；
当时，，此时，即与共线反向；
综上可得.
此时，，，而，所以与不共线，
所以，，三点不在同一条直线上．
所以，，，不在同一条直线上．
24．
【详解】
25．
【详解】试题分析：根据题意，因为是的中点，所以=，是的中点，所以
试题解析：，.
又是的中点，.
又分别是的中点，
是的中点，
.
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