资源简介

第七章 三角函数
（知识归纳+题型突破）
一、正弦、余弦、正切函数的图象和性质
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
图象
定义域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 时，时， 时，时，
周期性
奇偶性 奇 偶 奇
单调性 在上单调递增在上单调递减 在上单调递增在上单调递减 在上单调递增
对称性 对称轴方程：对称中心 对称轴方程：对称中心 对称中心
2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：（0,0），，（π，0），，（2π，0）．
（2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：（0,1），，（π，－1），，（2π，1）．
二、三角函数的单调性问题
1、求三角函数的单调区间
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u（或t），利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
2、已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式（组）求解
三、函数的图像与性质
1、函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ） 振幅 周期 频率 相位 初相
（A>0，ω>0） A T＝ f＝＝ φ
2、函数图像的变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的两种方法
3、函数与函数的性质
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
四、三角函数的定义域与值域
1、三角函数的定义域求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数图象来求解．
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2、三角函数的值域求法
（1）正余弦型：形如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b），可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin（ωx＋φ）（或cos（ωx＋φ））的范围，最后求得最值
（2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0），可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
（3）和差积换元型：形如sin xcos x±（sin x±cos x），利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题
（4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法
五、 求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
题型一：画三角函数的图象
【例1.1】
1．用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)，；
(2)，.
(3)在一个周期（）内的图像．
【巩固练习】
2．用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)，；
(2)，．
(3)，
3．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题．
(1)写出满足的x的值；
(2)写出满足的x的取值范围；
(3)写出满足的x的取值范围；
(4)当时，分别写出满足，，的x值的集合．
题型二：三角函数相关图象的识别
【例2】
4．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②
【巩固练习】
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
【例3.1】
8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移8个单位长度 B．向左平移8个单位长度
C．向右平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度
【例3.2】
9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【巩固练习】
10．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在上的单调递减区间为 ；
11．若函数的图像向左平移个单位长度后所得函数图像关于对称，则的最小值为 .
题型四：由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例4】
12．函数一个周期的图象如图所示，则函数的解析式为 .

【巩固练习】
13．函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）

A．2， B．2， C．2， D．4，
14．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．图象的对称中心为
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
题型五：三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）
【例5.1】（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）
15．函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【例5.2】
16．已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【例5.3】
17．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例5.4】
18．求下列函数的周期.
(1);
(2);
(3);
(4)
【例5.5】（2023·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）
19．函数的（ ）
A．图象关于x轴对称 B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对
【例5.6】
20．下列叙述正确的有
①，的图象关于点成中心对称；②，的图象关于直线成轴对称；③正弦函数、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例5.7】
21．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的周期为
C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增
【巩固练习】
22．关于函数有如下四个命题中真命题的序号是（ ）
A．的最小正周期为2；
B．的图象关于点对称；
C．若，则的最小值为；
D．的图象与曲线共有4个交点．
23．知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．函数增区间是
C．函数是奇函数 D．函数图象关于直线对称
24．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
25．已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．，
26．函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
28．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
29．下列函数中，以为周期的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
30．若，，则 .
31．函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
题型六：三角函数的值域与最值
【例6.1】
33．函数的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【例6.2】
34．当时，函数的值域是，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
35．函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
36．函数的值域是 ．
37．已知为钝角，则的最大值为 ．
38．已知.
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求的最大值.
39．已知函数的值域是，则实数的值等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
40．函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
41．函数，函数的值域为，则 ．
题型七：比较三角函数值的大小
【例7】
42．若，，，则a，b，c为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
43．设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
44．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型八：三角函数中ω的范围
【例8】
45．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
46．已知，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
47．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型九：三角函数的零点问题
【例9．1】
48．已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为 ．
【例9.2】
49．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
50．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
51．已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】
根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可.
【详解】（1）
解：由，列表：
描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.

（2）
解：由，可得，列表如下：
1 －1
描点、连线，可得函数的图象，如图所述，

（3）
解：列表:
0
0 1 0 -1 0
描点、连线，可得函数的图象，如图所示：

2．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】
根据“五点法”方法作图即可.
【详解】（1）
由题知，，
列表如下:
2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
；
（2）
由题知，，
列表如下:
1 0 0 1
根据表格画出图象如下:
；
（3），
根据五点法作图列表得：
画图像得：
.
3．(1)或
(2)
(3)
(4)详见解析
【分析】在同一坐标系中画出两个函数在上的图象，然后找出满足条件的区间，再根据函数的周期性写出满足条件的集合.
【详解】（1）两函数在同一坐标系中的图象如下：
，
由图象知，在内，当或时，.
（2）由图象知，在内，当时，，即x的取值范围是.
（3）由图象知，在内，当或时，，即x的取值范围是.
（4）当时，由正弦、余弦函数的周期性知：
若，则所求集合为或；
若，则所求集合为；
若，则所求集合为或.
4．B
【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选：B．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．A
【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.
【详解】当时，令，得或，
且时，；时，，故排除选项B.
因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C；
因为时，函数无意义，故排除选项D；
故选：A.
6．A
【分析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可
【详解】因为，
所以由，得，此时，所以排除CD，
当时，越来越小，单调递减，所以排除B，
故选：A
7．A
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
，则函数为偶函数，排除BC选项，
当时，，则，排除D选项.
故选：A.
8．D
【分析】利用三角函数图像左右平移变换关系即可选出正确答案.
【详解】设．把函数的图象平移（向左为正数，向右为负数）个单位长度后，
得到的图象．
令，
易知的周期，为了得到函数的图象，
只需令，得，
根据选项可知，，
即把函数的图象向左平移2个单位长度即可得到的图象．
故选：D．
9．D
【分析】由诱导公式与三角函数的图象变换判断，
【详解】，
故只需将函数的图象所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，
或先向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满足题意
故选：D
10．
【分析】通过平移变换得，然后利用正弦函数的单调性解不等式可得.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，得，即，由得.
故答案为：
11．
【分析】先求出平移后的解析式，得到对称轴方程，把代入即可求解.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数.
其对称轴：，代入，得，解得：.
因为，所以当时，.
故答案为：.
12．
【分析】根据图像，由最值求得，根据周期求，最后找点代入求，从而得解.
【详解】由图象可知，
又，则，所以，
又在该曲线上，所以，
则，即，
又，则，故.
故答案为：.
13．C
【分析】
先由函数的图象确定函数的周期，求得的值，再由，列出方程，求得的值，得到答案.
【详解】
设函数的周期为，由图象得，
解得，所以，即，
又由图象知，点在函数的图象上，
可得，即，
则，解得，
因为，可得.
故选：C.
14．C
【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；
对B，代入判断函数是否取最值即可；
对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；
对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.
【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，
由图象最高点可得，即，
又，故，故.
故，故A错误；
对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；
对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；
故选：C
15．D
【分析】由的图象与性质得的单调减区间.
【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意.
故选：D.
16．BC
【分析】结合正切型函数的单调性计算即可得.
【详解】因为，故，
由函数在区间内单调递增，
故，所以．
故选：BC．
17．C
【分析】根据奇函数的定义进行判断.
【详解】由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故A错误;
由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故B错误；
由，定义域关于原点对称，则，所以是奇函数，故C正确；
由，定义域关于原点对称，则，且，所以非奇非偶，故D错误.
故选：C
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦函数、余弦函数周期的定义求解即得.
【详解】（1）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（2）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（3）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（4）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
19．C
【分析】先用三角函数诱导公式化简得，然后再根据正弦函数性质从而可求解.
【详解】由题意：，，
设，，
所以为奇函数，由奇函数性质得其图象关于原点对称，故C项正确.
故选：C.
20．D
【分析】分别画出函数，，，的图象，结合图象即可得到答案．
【详解】分别画出函数，，，的图象如下：
由图象观察可知①②③均正确．
故答案选D
【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数的图像和性质，属于基础题．
21．B
【分析】
利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案．
【详解】
由函数，
由此可作出的函数图象，如图所示，
对于A中，由，
所以关于直线不对称，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误；
对于D中，因为，，，
所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误.
故选：B.
22．AD
【分析】根据函数的周期公式判断选项A，根据函数的对称性判断BC，结合函数的周期，对称，最值，判断交点个数.
【详解】由图可得：的最小正周期为2，A正确；
所以的图象不关于点对称，B错误；
令，得，离y轴最近的对称轴为，所以若，则函数关于对称，则的最小值为，C错误；
在y轴右边离y最近的对称为，而在上是减函数，因此的图象在第一象限每个周期内与的图象都有两个交点，在区间上有两个交点，在区间上有两个交点，从而在上有4个交点，D正确.
故选：AD．
23．ABD
【分析】先由图象得出函数的性质，进而可得出的性质.
【详解】函数的图象如下图：
由图可知，函数的最小正周期为，单调递增区间是，对称轴是.
，
的最小正周期是，故A正确；
令得，所以的增区间是，故B正确；
因为，所以不是奇函数，故C错误；
令得，取得对称轴方程为，故D正确.
故选：ABD.
24．CD
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，作出的图象，如图，观察图象，

的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，得，解得，
所以的解集为，D正确.
故选：CD
25．D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】，可化为，
故单调增区间满足：，，
解得，.
令，，令，，
，
所以的单调递增区间是，.
故选：D
26．D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
27．D
【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】由，所以，
又，所以，
且函数在上单调递增，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：D
28．(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数
【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性；
（3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断.
【详解】（1）的定义域为R，，
因为，
所以为偶函数.
（2）由得，
解得定义域为，关于原点对称，
又
，
所以为奇函数.
（3）由，即，解得，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.
29．B
【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式即可求解.
【详解】对于A，，,函数的定义为,，所以以为周期的偶函数，故A错误；
对于B，，,函数的定义为,，所以以为周期的奇函数，故B正确；
对于C，，,函数的定义为，，所以以为周期的奇函数，故C错误；
对于D，函数的定义为，，所以为偶函数，故D错误.
故选：B.
30．0
【分析】根据的周期为3，且，即可求得的值.
【详解】因为的周期，
且，，，
则，
因为，
所以.
故答案为：0
31．C
【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.
【详解】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；
故选：C
32．
【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.
【详解】因为的图象关于原点中心对称，
所以，又，故的最小值为．
故答案为：.
33．D
【分析】由，可得，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.
【详解】因为，所以，所以，
由的图像与性质知，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，
故选：D．
34．D
【分析】解法一：画出函数的图象，由的范围求出的范围，根据的值域可得答案；
解法二：由的范围求出的范围，根据的图象性质和的值域可得答案．
【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，
因为且，
要使的值域是，只要，
即；
解法二：由题，可知，
由的图象性质知，要使的值域是，
则，解之得．
故选：D.

35．B
【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可.
【详解】函数，
令，，
因为，所以，
，对称轴为，图象开口向下，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以在的值域为
故选：B
36．
【分析】
将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案.
【详解】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
37．
【分析】先确定，然后利用基本不等式求最值.
【详解】为钝角,
,
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
38．(1)
(2)
【分析】利用同角三角函数的平方式整理函数解析式，再利用换元法化简函数解析式，结合正弦函数与二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由题意可知，
令,当时，
由在上单调递增，在上单调递减，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则，，
所以.
（2）由(1)可知：，
令，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则.
39．C
【分析】分类讨论，根据正弦函数的值域列式可得结果.
【详解】当时，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
当时，显然不符合题意；
当，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
故选：C
40．D
【分析】利用函数的基本性质可得出，由可求得的取值范围，根据函数在区间的值域可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，
所以，，
又因为函数的图象关于点对称，则，
解得，因为，故，故，
当时，，
且函数在上的值域为，
所以，，解得，
故选：D.
41．
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果.
【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即函数的值域为，
所以.
故答案为：
42．B
【分析】判断出，即可判断的范围，与b可判断大小，根据诱导公式化简求得c的值，即可判断a，b，c的大小，即得答案.
【详解】由于，故，
而，故，
又，即，
故选：B
43．B
【分析】根据正弦定理与正切函数的单调性判断．
【详解】，又，且在上递增，
∴，而，所以，
∴．
故选：B．
44．D
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的性质判断即可.
【详解】因为，，所以，
，所以，
，所以.
故选：D
45．D
【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解.
【详解】因为函数在上单调递增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上，，即的取值范围是．
故选：D.
46．D
【分析】化简函数为，由的图象关于对称，求得，再由在上单调，得到，求得，进而求得的值.
【详解】由函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
解得，解得，
又因为在上单调，所以，
则满足，即，解得，
当时，可得，满足条件；当时，可得，不满足条件，
所以.
故选：D.
47．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
48．
【分析】将代入中结合，得，则可求出，再由求出的范围，然后由在内有4个零点，结合正弦函数的性质可求出a的取值范围.
【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有4个零点，结合正弦函数的性质可得，
所以，即实数a的取值范围是．
故答案为：．
49．C
【分析】由函数解析式作出函数的图象，设，且，根据，确定以及的范围，即可得出的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，

不妨设，且，
则函数与直线的三个交点从左到右依次为：，，，
点与在上，，
则与关于直线对称，则，
若，解得，所以，
所以，即.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
50．D
【分析】求出方程的根，然后根据方程在上恰有5个不同实根列出不等关系，进而求解.
【详解】因为函数，
当时，方程可化为，解得
，则当时，，
当时，方程可化为，解得，
则当时，
因为根据方程在上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为，则，
故选：D.
51．A
【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑