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第八章 平面向量题型
五：向量的模与夹角
【例5.1】
1．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【例5.2】
2．已知向量，，则的最大值为 .
【例5.3】
3．已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例5.4】
4．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
【巩固练习】
5．已知向量，它们的夹角为，则（ ）
A．10 B． C． D．13
6．已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则 .
7．已知单位向量的夹角为，且，则（ ）
A． B．6 C．2 D．4
8．已知，，，则与的夹角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．已知，为单位向量．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量满足，，，则与的夹角为 .
11．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是
题型六：向量的共线与垂直
【例6.1】
12．已知，，设，．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求与的夹角；
（3）是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【巩固练习】
13．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
14．已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
15．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
17．已知向量，，若与平行，则m的值是 ．
题型七：平面向量在几何中的应用
【例7.1】
18．如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，求边的长.
【例7.2】
19．是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【例7.3】
20．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 .
【巩固练习】
21．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
22．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
23．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
24．已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是
题型八：平面向量在物理中的应用
【例1.1】
25．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B． C． D．
【例1.2】
26．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.

(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【巩固练习】
27．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
28．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
转化为平面向量的数量积可求出结果.
【详解】.
故选：B
2．
【解析】求出的坐标，利用平面向量模的坐标表示结合辅助角公式可求得的最大值.
【详解】已知向量，，则，
所以，，
其中为锐角，且，
因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得最值或值域.
3．D
【分析】
利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】由已知得，
又，
，
故选：D.
4．
【分析】根据题意，由，求得，再由，求得，进而求得与的夹角时，实数的取值范围，得到答案.
【详解】由题意，向量与的夹角为锐角，
可得，解得，
又由当时，可得，解得，此时向量与的夹角为，
综上可得且，即实数的取值范围是.
5．C
【分析】
根据模长的计算公式即可代入求值.
【详解】因为向量，它们的夹角为，所以，
所以.
故选：C.
6．2
【分析】
根据投影向量的概念分析运算.
【详解】由题意可知：.
故答案为：2.
7．A
【分析】
根据模长公式即可代入求值.
【详解】
，即.
故选：A
8．C
【分析】
利用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】，
因为，
所以，
与的夹角是120°.
故选：C
9．A
【分析】
利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.
【详解】设，的夹角为，
因为，为单位向量,且，
所以，
即，
整理得，
解得或（舍），
因为.
故选:A.
10．
【分析】根据的坐标求得其模长，再对两边平方求得，利用数量积即可求得向量夹角.
【详解】因为，则，
因为，等式两边同时平方可得，
代入，可得，
设夹角为，
则由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，涉及模长的坐标表示，属综合基础题.
11．
【解析】与的夹角是钝角,则，根据向量夹角公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，注意利用时，要排除共线反向情况，属于中档题.
12．（1）；（2）；（3）存在；-6．
【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得，列出方程，即可求解；
（2）当时，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，向量，，可得，
因为且，，
可得，解得.
（2）当时，可得，，
则，，，
所以与的夹角为，
因为，所以.
（3）由题意可得，，
若，可得，解得，
即存在，使得.
13．A
【分析】
由向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】向量，，
由得，，解得.
故选：A.
14．A
【分析】
运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】
由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
15．A
【分析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可.
【详解】因为，
所以，
解得，
故选：A.
16．D
【分析】根据得到，列方程求解即可.
【详解】，，
因为，所以，解得.
故选：D.
17．##
【分析】根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示列出方程求出m的值．
【详解】∵向量，，∴，
又与平行，
∴，解得.
故答案为：．
18．(1)，.
(2)8
【分析】
（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.
（2）利用转化法化简，从而求得的长.
【详解】（1）
∵，，∴，
∴，∴，.
（2）
，
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
19．D
【分析】
利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论.
【详解】因为，则，所以，，
同理可得，，故是的垂心.
故选：D.
20．5
【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.
【详解】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当取得最小值.
故答案为：5
【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.
21．
【分析】
根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】
在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】
结论点睛：若，则三点共线.
22．A
【分析】根据题意结合向量的线性运算以及三角形的性质分析判断
【详解】由题意，当时，如图
可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心，
故选：A．
23．B
【分析】
在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
24．
【分析】建立平面直角坐标系，设出M点的坐标，求出点的坐标，从而得到关于的三角函数，通过三角函数求最值的方法即可得出答案.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，因为，所以的轨迹是以为原点，2为半径的圆，
所以设，
因为，所以为的中点，所以，
所以，
所以，其中，
所以当时，取最小值，所以取最小值；
当时，取最大值，所以取最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
25．B
【分析】
利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.
【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
两只胳膊的拉力的合力大小为
则该学生的体重约为（kg）
故选：B
26．(1)，
(2)
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成的，根据求得结果即可；
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度为.

由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：

. .
在Rt中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
27．A
【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.
【详解】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故选：A.
28．
【分析】
根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.
【详解】
一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第八章 平面向量
（知识归纳+题型突破）
一、 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的模 平面向量是自由向量
向量的模 向量的大小，也就是向量的长度 记作
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作
单位向量 模为1的向量 与非零向量同向的单位向量为
向量平行 两个非零向量所在直线平行或重合； 或称作向量共线 记作； 与任一向量平行
相等向量 模相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
负向量 模相等但方向相反的向量 的负向量为
二、向量的表示
1．几何表示：
常常把向量用有向线段(directed line-segment，即指定了方向的线段)表示出来，线段的长度就是向量的大小，线段的方向表示向量的方向．
2．字母表示
向量通常用上方加箭头的小写字母表示，如 ，读作向量． 向量也可以用上方加箭头的两个大写字母表示，如，读作向量AB，其中A是向量的起点，B是向量的终点．
3．坐标表示（见：第五部分）
三、向量的运算
1．向量的线性运算
向量的加法、减法及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算．从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合．
向量运算 形式 法则（或几何意义） 运算律
加法 向量加法的平行四边形法则： 向量加法的三角形法则： （1）交换律： （2）结合律：
减法 三角形法则：
数乘 （1）是一个向量，模； （2）当时，的方向与的方向相同； 当时的方向与的方向相反； 当或时，． ； ； ．
注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
2．向量的数量积
概念 定义 备注
向量的夹角 以一点为起点，作，我们把射线OA、OB的夹角称为向量与的夹角． 记作，它的取值范围为．特别地，当时，称与垂直，记作．
投影向量 如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为点和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量，简称为投影．从而，一个向量在一个非零向量的方向上的投影，就是在的任意一条所在直线上的投影． 因为所有这些直线都互相平行，所以在的方向上的投影（在相等意义下）是唯一确定的．
数量投影 实数称为向量在向量方向上的数量投影． 它是一个数量，其绝对值等于向量在向量方向上的投影的模．
向量的数量积 ，等于其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的数量投影的乘积 约定：记作，即为；规定：零向量与任意向量的数量积为0； 运算律： （1） （2） （3）
特别注意：
（1）；
（2）结合律不成立：；
（3）消去律不成立，不能得到；
（4）=0，不能得到=或=0．
（5）乘法公式成立：
；
．
（6）向量夹角公式：
（7），当且仅当时等号成立．
四、向量重要定理
1．向量共线的充要条件
向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数，使得
2．向量基本定理
如果是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可唯一的表示为的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得．
给定平面上的一组向量，如果平面上的任意向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合，那么就称这组向量是平面向量的一个基．
3．两个非零向量垂直的充要条件：
4．定比分点公式与中点公式
（1）若点P是直线上的一点，且），O为直线外一点． 坐标分别为，P坐标为．则：
且：
（2）当时，，即中点公式．
五、向量的坐标表示
1．向量的正交分解与坐标表示
把向量写成所在平面上两个不平行向量与的线性组合的过程称为关于与的分解．时，称为向量的正交分解．
在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解．这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成
．
并可以直接用向量的坐标代表一个向量．
一一对应：向量=向量点．
2．向量运算的坐标形式
设 与 均是坐标表示的向量， 是一个实数， 则
（1）向量相等：
（2）向量加减：
（3）数乘向量：
（4）向量的数量积：
（5）向量的模：
（6）向量的夹角公式：
六、向量的应用
1．平面几何中的向量方法
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
2．向量在物理中的应用举例
（1）力学问题的向量处理方法
①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
②向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点．力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上．
（2）速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减运算，而运动的叠加也用到了向量的合成．
①向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结果．
②用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解．
（3）功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即 (为与的夹角)．功是一个标量，它可正，也可负．动量实际上是数乘向量．
题型一：向量的概念与表示
1．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有 个；
（2）模为的向量有 ；
（3）与相等的向量有 ；
（4）的相反向量有 ．
2．已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
4．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
5．有关向量和向量，下列四个说法中：
①若，则；
②若，则或；
③若，则；
④若，则.
其中的正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，在平行四边形中成立的是（ ）

A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
8．在四边形ABCD中，若，且||=||，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
9．关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
10．若，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
11．已知点满足，若，，则点的坐标为 ．
题型二：向量的线性运算
12．已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知四边形是边长为1的正方形，则
14．设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ．
15．在中，，，与交于点，，，则 （用、表示）．
【巩固练习】
16．已知是腰长为的等腰直角三角形，其中，点是所在平面上的任意一点，则向量的模为
17．在三角形中，已知是的中点，是三角形的重心．设向量，，则向量 (结果用，表示)．
18．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 .
19．设两个非零向量与不共线．
(1)若，，求证三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．
20．四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
题型三：向量的投影
21．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．若是所在平面内的点，且，给出下列说法：（1）；（2）的最小值一定是；（3）点和点一定共线；（4）向量及在向量方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．设向量，，则在上的投影为
【巩固练习】
24．已知，，、的夹角为，则在方向上的数量投影为 ．
25．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是 .
26．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ．
题型四：向量的数量积
27．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
28．已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
29．如图，已知中，弦，，则的值为
30．如图，在直角三角形ABC中，斜边AB＝4，，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，且BM＝2（其中点M、N与C在直线AB两侧），则的取值范围是 ．
【巩固练习】
31．已知向量的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C． D．1
32．已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
33．如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为 .
34．如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ．
35．四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段HG上一动点，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C． D．32
36．在边长为8正方形中，点为的中点，是上一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有个不同的点，使得，则实数的取值范围为 .
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参考答案：
1． 8 、、、、、、、 、、 、、、
【分析】根据单位向量、模、相等向量、相反向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）由图可知，，所以单位向量有个；
（2）由图可知，，所以模为的向量有：、、、、、、、；
（3）由图可知，，所以与相等的向量有：、、；
（4）由图可知，，所以的相反向量有：、、、；
故答案为：；、、、、、、、；、、；、、、.
2．D
【分析】
根据两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果.
【详解】设线段中点的坐标为，取，
则；
由向量的坐标表示可得，即，
解得；
所以线段中点的坐标为.
故选：D
3．A
【分析】
由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以是线段的中点，
所以点的坐标为，即，
故点的坐标为.
故选:A.
4．A
【分析】根据，可得，进一步得出答案.
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
5．B
【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.
【详解】由零向量的定义，可知①④正确；
由向量的模定义，可知②不正确；
由向量共线可知③不正确.
故选：B
6．D
【分析】
根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可.
【详解】在平行四边形中且，且，
所以，.
故选：D
7．B
【分析】
对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.
【详解】
对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；
对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确；
对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；
对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.
故选：B.
8．B
【分析】
由向量相等的定义得出四边形边的关系，再由向量的模相等得四边形对角线相等，从而可得四边形形状．
【详解】
若，则AB=DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为||=||，即AC=BD，所以四边形ABCD为矩形.
故选：B．
9．C
【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；
选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
10．D
【分析】
根据直接求解.
【详解】
因为，，
所以.
故选:D.
11．
【分析】
由知为、的中点，由中点坐标公式求解.
【详解】解：由可得，所以为、的中点，
又，，
所以点的坐标为.
故答案为：.
12．D
【分析】
利用平面向量加法法则可化简.
【详解】.
故选：D.
13．
【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果.
【详解】,
故答案为：.
14．
【分析】
利用向量的减法求出，再利用向量共线求出k即得.
【详解】
由，，得，
由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，
所以实数k为.
故答案为：
15．
【分析】本题可结合题意绘出图像，然后根据、、三点共线得出，根据、、三点共线得出，最后根据求出、的值，即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：
因为、、三点共线，
所以存在实数使，
因为、、三点共线，
所以存在实数使，
则，
即，解得，，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：若、、三点共线，为直线外一点，则存在实数使，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.
16．
【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的数量积可求得向量的模.
【详解】由已知可得，，，且，
因为，
因此，的模为.
故答案为：.
17．；
【分析】由于是三角形的重心，可得的三等分点，从而可得，而是的中点，可得，再利用向量的加减法法则可得结果
【详解】解：因为是的中点，所以，
因为是三角形的重心，所以，
所以
，
故答案为：
18．
【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果.
【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，
所以
，
所以，即，
故答案为：.
19．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【详解】（1）因为，，，
所以
所以，共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线；
（2）因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即 .
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.
20．B
【分析】
根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
21．D
【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论.
【详解】设在方向上的投影向量为，则，
故，故在方向上的投影向量为，
在方向上的投影数量为.
故选：D.
22．B
【分析】根据两个向量的数量积的定义,为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案.
【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,为定值,
而,
故①不一定成立,②也不一定成立.
向量及在向量的方向上的投影为,故④正确.
,即点在一条直线上，如图,故③正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.
23．
【分析】根据向量的投影公式，带入即可得解.
【详解】由投影公式可得在上的投影为：，
故答案为：
24．
【分析】直接按照投影的概念进行计算即可.
【详解】由已知得，在方向上的数量投影为
因为，，、的夹角为，
所以
所以在方向上的数量投影为
故答案为：2
25．
【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.
【详解】由条件可知，
设与的夹角为，则.
故答案为：
26．10
【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为，
所以，因此，因此，所以，
，
因此有，因为，
所以当时，有最小值，最小值为，
故答案为：10
27．C
【分析】
根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
28．B
【分析】
利用数量积的性质，由可构造方程求得结果.
【详解】，.
故选：B.
29．
【分析】取的中点，连接，证明出，同理可得出，结合平面向量的线性运算可求得结果.
【详解】如下图所示，取的中点，连接，则，
，同理，
因此，.
故答案为：.
30．
【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，把表示为关于的三角函数可解决此题．
【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，
．
，，，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．
31．A
【分析】
根据数量积的运算律以及数量积的定义即可求解.
【详解】，
故选：A
32．A
【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
解得.
故选：A.
33．
【分析】先求出外接圆半径,设，其中是在上的投影，再利用数形结合分析得解.
【详解】由余弦定理得，
由正弦定理得外接圆半径，
所以，其中是在上的投影，
过点作交圆于点，如图所示，
则，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由题得，其中是在上的投影，再利用数形结合分析得解.
34．
【分析】设，可得出，计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的最小值.
【详解】设，
则，
，，则，
所以，
.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
35．B
【分析】建立平面直角坐标系，标出四个点的坐标，写出向量的坐标，利用坐标表示，结合变量的范围，即得解
【详解】
如图所示以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意
，其中
因此：
因此当时，的最大值为16.
故选：B
【点睛】本题考查了坐标法求解向量的数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算能力，属于中档题
36．
【分析】建立平面直角坐标系，按照点P在线段，，，上进行逐段分析的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．
【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，
（1）当点P在AB上时，设，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴当时有一解，当时有两解；
（2）当点P在AD上时，设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当或时有一解，当时有两解；
（3）若P在DC上，设，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴当时有一解，当时有两解；
（4）当点P在BC上时，设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当或时有一解，当时有两解，
综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解，难度较大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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