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第六章 三角
题型七：正余弦定理基本运算
例7.1
1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例7.2
2．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 .
例7.3
3．在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
例7.4
4．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则 ．
例7.5
5．在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例7.6
6．中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是
【巩固练习】
7．若在中，是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
8．在中，若，则（ ）
A．25 B．5 C．4 D．
9．若中，，，，则 ．
10．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．在中，已知，，，b＝5，则c＝ ．
12．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有一解
C．，，，有一解 D．，，，无解
13．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是
题型八：已知边角关系解三角形
例8.1
15．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ．
例8.2
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例8.3
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求角B.
例8.4
18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【巩固练习】
19．的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为 .
20．在中，，则边所对的角等于（ ）
A． B． C． D．
21．在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角.
22．在中，，求的值
23．记的内角，，的对边分别为，，，已知，证明：；
24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
25．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
题型九：解三角形的实际应用
例9.1
26．一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔与寺庙的距离为 .
【巩固练习】
（2023·全国·高三专题练习）
27．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知 无限发展 无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
28．如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高 m．

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据正弦定理即得.
【详解】在中，由正弦定理，
∴，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
2．
【分析】解方程可得，利用余弦定理求出第三边的长即可．
【详解】解：解方程可得此方程的根为2或，
故夹角的余弦，
由余弦定理可得三角形的另一边长为：．
故答案为：.
3．A
【分析】可以由反向推导得到A＞B﹒
【详解】由得，
，
，
在中，所以，
由正弦定理得，
由大边对大角的结论知．
所以为充要条件．
故选：A
4．
【分析】
利用余弦定理列方程求解.
【详解】由余弦定理得即，
解得（舍），
故答案为:.
5．C
【分析】
方法1：A、B、C项通过解三角形来判断其解的个数，D项通过大边对大角与三角形的内角和为可判断其解的个数.
方法2：画图看三角形解的个数.
【详解】对于A项，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，
∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，
∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；
故选：C.
6．
【分析】
根据求解即可得答案.
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足，
即，解得.
故答案为：
7．C
【分析】
在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】
解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．
若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．
所以，“”是“”的充要条件．
故选：C．
8．B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B
9．或
【分析】由已知可求得.分与两种情况，根据余弦定理，即可求出结果.
【详解】因为，，所以.
当时，由余弦定理，
因为，，解得；
当时，由余弦定理，
因为，，解得.
故答案为：或.
10．A
【分析】
利用正弦定理求解即可.
【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，
又因为，所以，
所以，
故选：A
11．2
【分析】由，得，再结合，得到角为钝角，然后利用余弦定理求解.
【详解】解：在中， ，b＝5，
由，得，
因为，
所以角为钝角，则，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
故答案为：2
12．D
【分析】
已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.
【详解】
因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；
当时，无解；
当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.
故选：D
13．A
【分析】先由，求得，再根据当有两解时，，从而得出答案.
【详解】，即, 则
由，解得,则
当有两解时，，则，所以，
故选：.
14．
【分析】
根据求解即可得答案.
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足，
即，解得.
故答案为：
15．
【分析】
运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，
因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为，
故答案为：
16．B
【分析】由余弦定理求出答案.
【详解】由得：，
解得：
故选：B
17．
【分析】
利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【详解】
在中，由及正弦定理得，
，则，
整理得，又，则，而，所以.
18．A
【分析】
已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论.
【详解】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
则的形状为等腰三角形.
故选：A.
19．
【分析】利用正弦定理可得，进而可得，即得.
【详解】，则，
由正弦定理，得
故，
展开化简得：，，，
故，，
即，
∴外接圆直径，
故外接圆半径为.
故答案为：.
20．B
【分析】根据式子的特点，联想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.
【详解】因为，
所以，即 ，即 ，所以 .
故选：B
21．
【分析】
利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解.
【详解】
因为，由正弦定理可得，
所以，
所以，
即，又，所以，
所以，又，所以.
22．
【分析】
利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【详解】
在中，由及正弦定理，得
整理得，
而，则，又，所以.
23．证明见解析
【分析】
利用正弦定理将边化角，再结合两角和（差）的正弦公式得到，即可得证.
【详解】
因为正弦定理：，
所以对于，有，
又，
所以，
即，
整理得，
所以，因为A，，为的三个内角，
所以，即.
24．A
【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.
【详解】∵，
∴，
由余弦定理可得：，
整理可得：，①
∵，
∴，②
由①②得，
∴该三角形是直角三角形.
故选：A
25．C
【分析】将结合正弦定理可得到，与联立可得到，继而得到答案
【详解】解：由及正弦定理得，即①，
又，即②，
将②代入①可得即③，将③代入①得，
所以，从而为等边三角形，
故选：C
26．
【分析】
先根据题意作出简图，利用正弦定理求出，再利用余弦定理可得答案.
【详解】
如图，在中，由题意可知，，可得.
在中，，，，∴，
∴.
在中，
，
∴.
故答案为：.
27．
【分析】
根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.
【详解】
由题意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.
故答案为：
28．
【分析】
确定，，，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算得到答案.
【详解】依题意，则，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，则.

故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第六章 三角
（知识归纳+题型突破）
一、 角的概念的推广与弧度制
1、正角、负角、零角：
正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；
负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的.
零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合.
【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角.
2、象限角和轴线角
（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.
（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.
3、终边相同的角
我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为
.
【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为；
②终边在轴负半轴上的角的集合为；
③终边在轴上的角的集合为；
④终边在轴上的角的集合为；
⑤终边在坐标轴上的角的集合为；
⑥第二象限角的集合为.
【注意】后缀表示射线，表示直线.
二、角的度量
1、角度制
在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2、 弧度制
（1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即
，
这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.
【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关.
【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似.
（2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系.
【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦.
（3）角度与弧度的换算：弧度
（4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系
角度
弧度
（5）象限角的表示：
第一象限的角的集合：
第二象限的角的集合：
第三象限的角的集合：
第四象限的角的集合：
【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的.
（6）弧长公式和扇形面积公式
引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为
二、任意角的正弦、余弦、正切、余切
1、定义
在任意角的终边上任取异于原点的一点，
设其坐标为，并令，必有.
这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为
， ，（），（）.
2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号
【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦
3、单位圆
根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值.
半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆.
设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知，
，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）.
三、同角三角关系
1、同角三角关系
角的终边经过异于原点的一点，并记.
由定义，有，，（），（）.
由，就有.
当时，有.
当时，有.
当、都有意义时，有.
2、常用转化
(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(3)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(4)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值.
四、诱导公式
处理角度与角的关系，起到角的化简作用。结论：奇变偶不变，符号看象限：
(1)默认为锐角，则角视作正半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；
(2)默认为锐角，则角视作负半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；
(3)默认为锐角，类比（1）（2）则角视作角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可；
五、常用三角公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）两角和与差的正弦：
:
:
（2）两角和与差的余弦：
:
:
（3）两角和与差的正切：
:.
:.
2、辅助角公式：
（1）对于形如的式子，可变形如下：
=
令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
（2）对于形如的式子，也可变形如下：
=
令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
3、积化和差与和差化积公式
（1）积化和差
（2）和差化积
4、二倍角公式及其常用变形
（1）二倍角公式
①；
②；
③；
（2）降幂公式
六、解三角形
1、正弦定理与余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
适用范围 (1)已知两角及任意一边. (2)已知两边及其中一边的对角. (1)已知两边和夹角或已知三边． (2)已知两边和一边的对角．
公式
变 形 与 应 用 (1)，，. (2)，，. (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即. (4)，， (5)大边对大角 大角对大边 (6)合分比： ， ， . ， ，
2、 三角形内角和及三角形常见重要关系
△ABC
ADA
3、三角形常用面积公式
haa
rRr
△ABC
4、正弦定理之齐次式结构
结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化
（1）整式齐次式
①边的齐次式：
②sin角的齐次式：
（2）分式齐次式：
5、 拆角与合角的技巧
6、常见等式的化简



7. 三角形解的个数
唯一
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
8、判断三角形形状的策略
△
△
△
9、解三角形中的实际应用问题
Bα
αααα
θiiθ
题型一：任意角及其度量
例1.1
1．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例1.2
2．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
例1.3
3．已知角.
(1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间上找出与终边相同的角．
例1.4
4．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【巩固练习】
5．若是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（ ）
A． B． C． D．
7．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．
题型二：扇形周长与面积公式应用
例2.1
8．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．9
例2.2
9．杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手 紧密相拥 永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则 .

【巩固练习】
10．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ）
A． B．3
C． D．6
11．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B．
C． D．
题型三、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义与符号
例3.1
12．已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
例3.2
13．求值：
(1)；
(2).
例3.3
14．已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
15．若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（ ）
A． B．
C． D．
16．是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
17．已知角的终边经过点，求的值.
题型四、应用同角三角函数关系、常用三角变换、诱导公式化简、求值
例4.1
18．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例4.2
19．已知是三角形的内角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例4.3
20．化简：
(1)－；
(2)；
(3)．
例4.4
21．（ ）
A． B． C． D．
例4.5
22．若，则 .
例4.6
23．已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
例4.7
24．若，则（ ）
A． B． C． D．
例4.8
25．化简下列各式：
(1)；
(2)．
例4.9
26．化简：（ ）
A． B． C． D．
例4.10
27．已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
例4.11
28．计算：（ ）
A． B． C． D．
例4.12
29．的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例4.13
30．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
31．计算：
(1)已知，，求的值.
(2)已知，求，的值
32．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
33．（1）若是的一个内角，且，求的值;
（2）若，求的值;
34．设为第二象限角，若，则 .
35．化简：
(1)；
(2)．
36．的值为（ ）
A． B． C． D．
37．已知，且，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
38．已知 则=（ ）
A． B． C． D．
39．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
40．已知，且，化简并求的值.
41．若，则（ ）
A． B． C． D．
42．，，则（ ）
A． B． C． D．
43．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
44．等于（备注：）（ ）
A．1 B．2 C． D．
45．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
46．已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
47．已知，则 .
48．若，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：单位圆与三角方程、三角不等式
例5.1
49．已知，且和均为钝角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
例5.2
50．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
例5.3
51．若，证明：
(1)；
(2).
【巩固练习】
52．已知且.
(1)求的值；
(2)求的值．
53．已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
54．若，，，，则 .
55．若，证明：，且.
题型六：证明三角恒等式
例6.1
56．求证：.
例6.2
57．证明：.
【巩固练习】
58．已知，．求证：．
59．求证：=.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
2．A
【分析】根据任意角的周期性，将化为，即可确定最小正角.
【详解】因为，
所以与终边相同的最小正角是.
故选：A.
3．(1)，第二象限角
(2)和
【分析】
（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；
（2）利用代入法进行求解即可.
【详解】（1），
因为为第二象限，所以是第二象限角；
（2）与终边相同的角可以写出，
由，
得当时，，
当时，，
所以在区间上与终边相同的角为和．
4．可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案.
【详解】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，
当时，，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
5．C
【分析】
根据象限角范围推断出范围即可.
【详解】根据题意可知角的范围为，，
则的范围为，，
由此可得是第三象限角.
故选：C
6．C
【分析】
根据弧度的概念求解.
【详解】
因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，
所以分针转动的弧度为.
故选：C.
7．（1）答案见解析；（2）；是第一象限角．
【分析】
（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得；
（2）根据弧度制与角度概念转化书写即可.
【详解】（1）①
；
②．
（2）∵，∴．
又，所以与终边相同，是第一象限角．
8．C
【分析】
根据扇形周长和面积公式进行求解即可.
【详解】设扇形的半径为，圆心角的度数为，
因为扇形的周长是，面积是，
所以有，或，
故选：C
9．3
【分析】
设，根据面积公式计算，则，得到答案.
【详解】设，则，，.
故答案为：
10．D
【分析】
根据扇形的弧长公式，即可求得答案.
【详解】由扇形的圆心角为，即为，
又弧长为，故扇形的半径为，
故选：D
11．B
【分析】
设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
12．答案见解析
【分析】根据角终边上的点的坐标，结合任意角的三角函数定义即可求解.
【详解】由已知，，，因为，
所以 ；
所以，，，
，，.
13．(1)
(2)
【分析】先利用诱导公式对三角函数式进行化简，再求值即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
14．C
【分析】
举反例排除A；利用三角函数在第四象限的正负情况判断BCD.
【详解】因为角是第四象限角，所以，
对于A，取，则，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，则，故D错误.
故选：C.
15．D
【分析】
利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为点在角的终边上，
所以，，，
而此时无意义.
故选：D.
16．B
【分析】
利用充分必要条件的知识，结合正弦函数的定义即可得解.
【详解】当时，取，则，即充分性不成立；
当时，假设，显然此时有，矛盾，
所以假设不成立，即必有，即必要性成立；
综上，是的必要非充分条件.
故选：B.
17．答案见解析
【分析】
分类讨论与两种情况，结合三角函数的定义即可得解.
【详解】
因为角的终边经过点，
当时，，，点在第四象限，
则，
,，
所以，
当时，，，点在第二象限，
则，
，，
所以，
18．B
【分析】
利用“商的关系”直接求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
19．B
【分析】
利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
【详解】因为是三角形的内角，所以，即，
又，
所以.
故选：B
20．(1)
(2)1
(3)．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；
（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解；
（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.
【详解】（1）原式＝.
（2）原式＝
（3）原式＝
21．B
【分析】
根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】.
故选：B
22．##
【分析】
根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【详解】由，得，解得，而，则，
所以.
故答案为：
23．B
【分析】
根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解.
【详解】因为，
且，，
所以.
故选：B.
24．C
【分析】
以为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
25．(1)1
(2)
【分析】
利用诱导公式，化简求值.
【详解】（1）
原式．
（2）
原式
．
26．B
【分析】
利用二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式可化简所求代数式.
【详解】
原式.
故选：B.
27．D
【分析】
根据题意利用两角和差公式结合倍角根式整理得，两边平方运算求解即可.
【详解】因为，
则，
可得，
又因为，则，可知，
可得，两边平方可得，
所以.
故选：D.
28．A
【分析】
根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得.
【详解】
.
故选：A
29．D
【分析】
根据正切的两角和公式变形可得.
【详解】
因为，
变形得，
所以.
故选：D．
30．A
【分析】
利用三角函数的定义、同角三角函数的商数关系及二倍角公式计算即可
【详解】由题意知，所以．
故选：A．
31．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】
（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求即可；
（2）讨论为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值.
【详解】（1）由，得：，
又，所以.
（2）因为，所以为第二或第三象限角，又.
若为第二象限角，则；
若为第三象限角，则.
32．D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】
因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
33．（1）（2）答案见解析
【分析】
根据同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可；
【详解】
解:（1）若是的一个内角，且，
所以，
所以
所以
（2）因为，所以是第一、第二象限角.
当是第一象限角时，此时；
当是第二象限角时，此时，
综上，当是第一象限角时，;当是第二象限角时，.
34．##
【分析】
由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可.
【详解】为第二象限角，则，，
若，则有，解得，
所以.
故答案为：.
35．(1)
(2)
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.
（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】（1）
原式
．
（2）
因为，所以．
原式．
36．A
【分析】
根据诱导公式及特殊角三角函数值求解.
【详解】
，
故选：A
37．BC
【分析】由，结合分情况讨论即可求解.
【详解】由题意得，，
因为，
当时，因为，所以，
此时，故B项正确；
当时，因为，所以，
此时，故C项正确.
故选：BC.
38．C
【分析】
根据三角函数的诱导公式求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
故选：C.
39．D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】
因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
40．
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】解：因为，且，则，
所以，，
故.
41．A
【分析】
由二倍角公式将式子化简，再利用同角三角函数之间的基本关系即可计算出结果.
【详解】
因为，
则.
故选：A.
42．A
【分析】
利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式计算即得.
【详解】
由，得，即，而，
所以.
故选：A
43．B
【分析】
由三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】由可得，即，
所以，
故选：B
44．C
【分析】
利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.
【详解】
，
故选：C
45．A
【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化简，再利用的性质即可得到结果.
【详解】因为，，
，由的性质可知，，
故选：A.
46．A
【分析】
先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得.
【详解】
故选：A
47．##
【分析】
根据弦化切得，即可由正切的和差角公式求解.
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
48．A
【分析】
将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案.
【详解】
故选：A
49．D
【分析】
根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可.
【详解】∵和均为钝角，
∴，．
∴．
由和均为钝角，得，∴．
故选：D
50．B
【分析】
利用三角恒等变换可得答案.
【详解】
因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
51．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；
（2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证.
【详解】（1）
如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.

由，为直角三角形，且，，，
在中，，所以.
（2）
如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，

由，显然有，
而，，
，
所以，即.
52．(1)
(2)
【分析】
（1）由二倍角的正切公式求解即可；
（2）先求出的值，然后由两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以．
53．A
【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的正弦公式求出，即可得解.
【详解】
因为角的终边经过点，所以，，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以.
故选：A
54．
【分析】
结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求
【详解】由，，则，
，所以或，
，
，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.
故答案为：
55．证明见解析
【分析】
利用三角函数线，数形结合即可得证.
【详解】
在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.

因为在中，，，
所以，则，即；
在中，因为，，
所以，则，即.
56．证明见解析
【解析】直接利用诱导公式化简即可.
【详解】证明：左边==右边
所以原等式成立
57．证明见解析.
【分析】
根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.
【详解】
左边右边.
所以.
58．证明见解析
【分析】由切化弦，可将等式左边化为，再通分即可证与右边相等.
【详解】∵，，
∴且，
，得证.
59．证明见解析
【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【详解】左边===，
右边===，
所以等式成立.
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