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8.3简单几何体的表面积与体积
1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体、球的表面积和体积的计算公式；
2．会利用公式解决简单的实际问题
一、多面体的表面积与体积
1．多面体的侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
2．多面体的体积
几何体 体积
棱柱 (S为底面面积，h为高)
棱锥 (S为底面面积，h为高)，
棱台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
二、旋转体的表面积和体积
1.旋转体的侧面积和表面积
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
2．旋转体的体积
几何体 体积
圆柱 (S为底面面积，h为高)
圆锥 (S为底面面积，h为高)，
圆台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球 (为球的半径)
考点01棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积
1．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
4．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．

5．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.
6．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ）
考点02棱柱、棱锥、棱台的体积
7．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
9．如图，三棱台中，，三棱台的体积记为，三棱锥的体积记为，则（ ）
A． B． C． D．7
10．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）

A． B．
C． D．
11．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为 ．（铁皮厚度忽略不计）
12．如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为 .
考点03圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
13．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
15．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A． B． C． D．
17．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)；
18．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
考点04圆柱、圆锥、圆台的体积
19．如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知甲、乙两个圆锥的底面半径相等，侧面积分别为和，体积分别为和．若甲圆锥的侧面展开图为半圆，且，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
22．如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积.
23．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.

(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的）
24．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.

(1)求圆锥的表面积；
(2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积.
考点05球的表面积和体积
25．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 ．

26．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
27．已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
28．（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积；
（2）已知球的体积为，求它的表面积；
（3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比.
考点06球的截面问题
29．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
30．用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
31．如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（ ）

A． B． C． D．
32．已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ．
33．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积.
考点07简单组合体的表面积和体积
34．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
35．粮食是关系国计民生的重要战略物资如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距，每立方米的空间大约可装吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻（ ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
36．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B．
C． D．
37．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
38．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
基础过关练
1．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（　　）
A． B． C． D．
2．中，，则将以为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．该圆锥的母线长为2
B．该圆锥的体积为
C．从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
6．（多选）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（ ）

A．表面积为 B．表面积为
C．体积为 D．体积为
7．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为 ．
8．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为 .
9．球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
10．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；

11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）．
12．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
能力提升练
1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸
2．等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则下列结论正确的是（ ）

A．该几何体的体积为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的表面积为
D．该几何体的表面积为
5．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 ．

6．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
7．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
8．某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．8.3简单几何体的表面积与体积
1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、锥体、台体、球的表面积和体积的计算公式；
2．会利用公式解决简单的实际问题
一、多面体的表面积与体积
1．多面体的侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
2．多面体的体积
几何体 体积
棱柱 (S为底面面积，h为高)
棱锥 (S为底面面积，h为高)，
棱台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
二、旋转体的表面积和体积
1.旋转体的侧面积和表面积
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
2．旋转体的体积
几何体 体积
圆柱 (S为底面面积，h为高)
圆锥 (S为底面面积，h为高)，
圆台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球 (为球的半径)
考点01棱柱、棱锥、棱台的表面积和侧面积
1．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解.
【详解】设，则.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以.
故选：C.
2．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求得侧面的高，进而求得侧棱长.
【详解】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
3．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据题意，由多面体的表面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
4．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．

【答案】/
【分析】
根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.
【详解】
分别取，的中点，，连接，，

过点作的垂线，垂足为，
因为，,所以，所以，
根据对称性易得，
所以，
在中，，所以，
，
又，
所以.
故答案为：.
5．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.
【答案】
【分析】
根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.
【详解】
由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为，
所以底面正六边形的边长是．
所以侧面积.
所以表面积.
故制造这个滚筒约需要铁板．
故答案为：
6．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ）
【答案】
【分析】由棱锥侧面积的求法求屋顶上铺一层油毡纸的面积即可.
【详解】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．

在中，m，m，
所以m，而底面周长m，
所以需油毡纸，故需要油毡纸约.
考点02棱柱、棱锥、棱台的体积
7．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先计算出三棱台的高，进而计算出三棱台的体积.
【详解】由，
，
设分别是、的中心，设分别是的中点，
则三点共线，三点共线，
，
则，
，
过作，垂足为，则，
而，
所以三棱台的高为，
所以三棱台的体积为.
故选：B

8．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用棱柱和棱锥公式结合整体减部分的方法即可.
【详解】因为正三棱柱，
所以，
则
，
故选：A.
9．如图，三棱台中，，三棱台的体积记为，三棱锥的体积记为，则（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】
根据高相等，体积之比等于底面积之比得到，，从而得到.
【详解】因为棱台中，，
所以，，
由于三棱锥和三棱锥的高相等，
故，
又三棱锥与三棱锥的高相等，，
故，
其中，
故
故选：A
10．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，可得出，求出的值，即可求得该正四棱台的体积.
【详解】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，
设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，
则，可得，可得，
所以，该正四棱台的体积为.
故选：C.
11．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为 ．（铁皮厚度忽略不计）
【答案】
【分析】
由圆锥的体积公式计算即可.
【详解】如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长等于正方形的边长4，
扇形的弧长＝，即为圆锥的底面周长，
设圆锥的底面半径为r，高为h，则，所以，
所以，所以圆锥的容积为.
故答案为：

12．如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为 .
【答案】
【分析】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、，即可得到为截面，再根据锥体的体积公式得到，从而得解.
【详解】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、，
因为为的中点，所以且，又，
所以，，所以、、、四点共面，即为截面，
又，其中，
，
所以，
即截面截得四棱锥上部分的体积为，则下部分的体积为，
所以平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.
故答案为：
考点03圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
13．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，利用弧长公式求出、，再得到母线长，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则利用弧长公式可得，即；，即；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
14．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设圆柱的底面半径为，高分析可得新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，由此可得，由圆柱的侧面积公式计算可得答案.
【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为，高，其轴截面的面积为，
新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，
若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，
即
所以圆柱的侧面积为.
故选：A.
15．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用相似将圆柱的半径用x表示，然后将侧面积用x表示，即可求出最大值.
【详解】作出圆锥的轴截面，如图：
设圆柱的半径为r，由题意得，即，
则圆柱的侧面积，
而，
∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．
故选：D.
16．（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据圆柱结构，利用表面积公式求解.
【详解】当圆柱底面半径为，高为时，表面积；
当圆柱底面半径为，高为时，表面积.
故选：CD
17．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)；
【答案】
【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可.
【详解】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为，
则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为，
从而圆柱的侧面积为，
当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值.
故答案为：.
18．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
【答案】
【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得.
【详解】如图所示，直角梯形中，，
作，垂足为，则，
故，
在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面，
形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面，
设其面积分别为，
则，
所以次旋转体的表面积为.
考点04圆柱、圆锥、圆台的体积
19．如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据体积之比可得半径之比，即可根据圆锥和圆台的侧面积的公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径分别为，它们的母线长分别为.
因为，所以.从而，
即，.所以·
故选：D
20．已知甲、乙两个圆锥的底面半径相等，侧面积分别为和，体积分别为和．若甲圆锥的侧面展开图为半圆，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的侧面积和体积的公式计算即可．
【详解】设甲、乙两个圆锥的底面半径为，母线长分别为，
因为，所以．
因为甲圆锥的侧面展开图为半圆，所以，即，所以，
则甲圆锥的高，乙圆锥的高．
所以．
故选：A．
21．已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.
【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.
设圆柱的底面半径为，则
因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，
所以，解得.
所以该圆柱的体积为.
故选：B.
22．如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积.
【答案】
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】设上、下底面半径分别为，，过作底面交于，
由题意可知，，
所以，
所以，，
所以，
解得，，
所以.
23．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.

(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的）
【答案】(1)
(2)表面积，体积
【分析】（1）根据直观图还原得到原图，根据长度的关系，即可得答案.
（2）由题意，得到旋转后的几何体，代入体积、表面积公式，即可得答案.
【详解】（1）原图形是个平行四边形，如下图所示，底为，高为.

.
（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，
另一侧有多出一个相同的圆锥.
几何体表面积.
几何体体积.
24．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.

(1)求圆锥的表面积；
(2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积为求得圆锥底面半径，再求得圆锥母线长，从而可求解表面积；
（2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，可得从而求得，，进而可求得，再利用等体积法即可求解.
【详解】（1）等腰直角三角形中，又因为其面积为，
所以，即圆锥底面半径，
圆锥母线长为：，
所以圆锥SO的表面积为：．
（2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，
可得．
由此可得的面积，
所以．
考点05球的表面积和体积
25．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 ．

【答案】/
【分析】由球的表面积、圆台体积公式可求得水晶球的半径及圆台的高，再求出水晶球球心到圆台上底面的距离，进而可求得结果.
【详解】如图所示，

设水晶球的半径为，则，解得，
设圆台的高为，则，解得，
又因为水晶球球心到圆台上底面的距离，
所以该奖杯的高为．
故答案为：.
26．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
【答案】
【分析】
根据体积公式和面积公式列式计算.
【详解】
设此球的半径为，则，
解得.
故答案为：.
27．已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.
【详解】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：
.
故答案为：.
28．（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积；
（2）已知球的体积为，求它的表面积；
（3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比.
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
根据球的表面积、体积公式计算可得.
【详解】（1）因为直径为，所以半径，所以球的表面积，
球的体积.
（2）设球的半径为，因为，所以，
所以球的表面积.
（3）设三个球的半径分别为，，，
∵三个球的表面积之比为，
∴，
即，
∴，得，
∴.
考点06球的截面问题
29．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设两球的半径分别为，，根据题意得到方程，解出即可.
【详解】设两球的半径分别为，，则由题意得，
解得，故；
故选： A.
30．用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
【答案】B
【分析】
根据球中截面圆的性质，结合锥体体积公式即可求解半径，进而由球表面积公式求解.
【详解】设平面截得截面圆的半径为，球半径为,
所以，
所以外接球的表面积为，
故选：B
31．如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件求出球的半径即可.
【详解】依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离.
如图，由勾股定理得：，解得，所以球的体积为.
故选：D.

32．已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球的表面积和截面圆面积可求得，利用勾股定理可求得球心到截面的距离，代入圆锥体积公式即可.
【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，球心到平面的距离为，
，，，，，
以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为.
故答案为：.
33．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积.
【答案】表面积为，体积为
【分析】设截面的圆心为，球心为O，连接，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积和体积.
【详解】设截面圆心为，球心为O，连接，

设球半径为，
因为.
在中，，
所以，所以，
所以.
.
考点07简单组合体的表面积和体积
34．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则，高为，
故圆锥的体积为，
圆柱的底面半径也为，母线长也即高为4，
则圆柱的体积为，
故几何体的体积为，
故选：C
35．粮食是关系国计民生的重要战略物资如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距，每立方米的空间大约可装吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻（ ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】A
【分析】
利用圆锥、圆柱体积公式求出该组合体体积，即可求得答案.
【详解】由题这两个圆锥的顶点相距，圆柱的高是圆锥高的4倍，
设圆锥高为，则，
所以圆柱体积，
两个圆锥体积，
所以该组合体体积，
所以该粮仓最多可装水稻吨.
故选：A
36．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且,
则青铜器的体积为，
故选：D
37．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【分析】
根据题意求出正方体的表面积，圆柱的侧面积，进而求出打孔后的表面积.
【详解】
正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，
则挖洞后几何体的表面积为．
故答案为：102.28.
38．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)作图见解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
基础过关练
1．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据台体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.
故选：A.
2．中，，则将以为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意得所求几何体体积即两个同底圆锥的体积之和，通过解直角三角形知识得底面圆半径以及两圆锥的高的和，由此即可得解.
【详解】
过点作于点，
则将以为轴旋转一周所形成的几何体是都以为底面圆半径，分别以为高的两个圆锥的组合体，
因为，所以，
从而，
由等面积法得，即，
解得，
从而所求体积为.
故选：D.
3．在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据题意利用割补法分析求解.
【详解】连接，
由题意可知：，，
则，
所以.
故选：C.
4．如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件，利用球的截面小圆性质列式计算出球半径即可.
【详解】设球的半径为，依题意，，
则，解得，因此，
所以球的表面积.
故选：A
5．（多选）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．该圆锥的母线长为2
B．该圆锥的体积为
C．从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
【答案】AB
【分析】
根据题意，结合圆台的几何结构特征，逐项计算，即可求解.
【详解】
对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，
又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，
设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；
对于B中，因为，且母线长为，
所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；
对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，
则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；
对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，
设其顶角为，则该三角形的面积为，
当截面为轴截面时，，则，
所以，当时，，所以D不正确.
故选：AB.
6．（多选）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（ ）

A．表面积为 B．表面积为
C．体积为 D．体积为
【答案】AC
【分析】根据正弦定理得到正三棱锥的棱长，结合正三棱锥表面积和体积公式求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，，
该正三棱锥表面积即的面积，为，故A正确，B错误.
如下图所示，记中点分别为，重合于点，
则正三棱锥的棱长为，，
过点作平面，连接，

则在中，由正弦定理得，则，
所以，
所以该正三棱锥体积为，故C正确，D错误.
故选：AC
7．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为 ．
【答案】
【分析】
设该正四棱台的高、斜高分别为h，，先根据体积列方程求出，进而可得，在利用面积公式求侧面积.
【详解】
设该正四棱台的高、斜高分别为h，，
由已知得，
所以，，
所以正四棱台侧面积为．
故答案为：．
8．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为 .
【答案】
【分析】
作出辅助线，求出各边长度，求出以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的面积，相加后得到答案.
【详解】
作，，E，F为垂足，
因为，所以，
因为，所以，，
故，
又，，故，
，
由勾股定理得，
四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，
以为半径的圆的面积，
以为母线和为半径的圆锥的侧面积，
以为母线的圆台的侧面积
所以该几何体的表面积为.
故答案为：
9．球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【答案】
【分析】
设球的半径为，计算出的外接圆半径，根据题意可得出关于的等式，解出的值，再利用球体的体积公式可求得该球的体积.
【详解】设球的半径为，因为，，，则，
所以，，则为直角三角形，且为斜边，
所以，的外接圆半径为，
因为所确定的截面到球心的距离等于球半径的，
则，可得，
因此，该球的体积为.
故答案为：.
10．已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；

【答案】；
【分析】
根据棱柱的体积公式可求得.
【详解】
由底面菱形的两对角线长分别为，，
不妨设，，
则底面菱形的面积（）
所以该棱柱的体积为（）
11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）．
【答案】当时，有最大值，约为
【分析】
根据题意，直接圆柱下底面面积和侧面积之和即可得到答案.
【详解】
由题意知矩形的高即圆柱的母线长为，
所以塑料片面积
，
所以当m时，有最大值，约为.
12．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)元
【分析】
（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可．
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
能力提升练
1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸
【答案】C
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
2．等腰直角三角形中，，该三角形分别绕所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出几何体，结合圆锥的体积公式求解，则问题得解.
【详解】根据题意，作图如下：
设等腰直角三角形的一条直角边长为1，则斜边长为．
以为轴旋转，得到圆锥，其体积为；
以为轴旋转，得到两个同底的圆锥，
其体积．
故个几何体的体积之比为．
故选：B．
3．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
画出该几何体的轴截面，利用几何知识求出内切球半径，结合球的体积公式以及圆柱体积公式即可求解.
【详解】
如图，四边形为该几何体的轴截面，
则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为，
由，得，则，，
所以.
故选：D.
4．（多选）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由两个完全相同的正六棱柱垂直贯穿构成，若该正六棱柱的底面边长为2，高为8，则下列结论正确的是（ ）

A．该几何体的体积为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的表面积为
D．该几何体的表面积为
【答案】AC
【分析】根据几何体的结构特征，以水平放置的正六棱柱的和为边界，利用分割法将不规则部分的体积求出再加上规则部分的体积即可求得该几何体的体积为，利用对称性将几何体相同侧面的面积求出再减去重合侧面的面积即可求得该几何体的表面积为.
【详解】过直线和直线分别作平面，平面（图略），平面和平面都平行于竖直的正六棱柱的底面，如下图所示：

如下图所示，易知正六边形的对角线，底面面积为；

则该竖直的正六棱柱夹在平面和平面之间的部分的体积为；
将多面体分成三部分，，
三棱柱的体积为，所以多面体的体积为.
两个正六棱柱重合部分的体积为.
一个正六棱柱的体积为.
故该几何体的体积为，即A正确，B错误；
梯形的面积为，正六棱柱侧面除梯形外的面积为，
所以水平的正六棱柱的侧面积，
竖直的正六棱柱的侧面积，正六棱柱的底面面积，
两个正六棱柱侧面的公共面积.
故该几何体的表面积为，即C正确，D错误；
故选：AC
5．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 ．

【答案】
【分析】依题意，利用勾股定理与正四棱柱的对称性得到关于的方程组，再利用球的体积公式即可得解.
【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为，外接球的半径为，

因为底面边长为，所以底面的对角线长为.
则，解得，
所以外接球的体积为.
故答案为：.
6．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
【答案】
【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.
【详解】设球O半径为R，由，得，
平面截球O所得截面小圆半径，由，得，
因此，球心O到平面的距离，
而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，
于是得圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，
点C为弦中点，如图，由题意，，
则，，，
所以.
故答案为：.
7．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)，
【分析】
（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；
（2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值.
【详解】（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积
所以仓库的容积.
（2）
设，下部分的侧面积为，
则，，
，
设，
当，即时，，.
即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.
8．某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．
【答案】(1)
(2)4710克
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.
【详解】（1）
该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．

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