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8.2立体图形的直观图
1．能用斜二测画法画简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图；
2．会根据斜二测画法规则进行相关运算
一、斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面.
第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段
第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半
强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半．
二、直观图的面积与原图面积之间的关系
①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，
②直观图面积是原图面积的倍.
考点01画水平放置的平面图形的直观图
1．如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）

A． B．
C． D．
2．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
3．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．

4．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

5．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
考点02画空间几何体的直观图
6．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
7．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
8．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．

9．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）

考点03直观图的还原
10．如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
11．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
12．如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形．
13．如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.
14．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
考点04斜二测画法的计算
15．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度，
16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，求这个平面图形的面积．

17．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
18．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
19．如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？

20．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
基础过关练
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．矩形的直观图是矩形
C．菱形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图是平行四边形
2．图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（多选）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
6．（多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16 B．64 C．32 D．无法确定
7．如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为 .
8．如图，已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为 .

9．平面直角坐标系xOy中点A位于第一象限，线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下其直观图为线段，则线段的长度为 ．
10．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
(3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体．
11．已知水平放置的是正三角形，其直观图的面积为，求的周长.
12．画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
能力提升练
1．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列命题中正确命题的个数是
（1）侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
（2）三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形；
（3）直角三角形的直观图可能是直角三角形；
（4）圆台的任意两条母线延长后一定交于一点.
A．1 B．2 C．3. D．4
3．一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为6的正三角形，那么它的原图形中，顶点对应的点B到x轴的距离是（ ）

A． B． C．6 D．
4．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．四边形的周长为
C． D．四边形的面积为
5．已知矩形，采用斜二测画法做出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为 ．
6．在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
7．如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积.
8．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.8.2立体图形的直观图
1．能用斜二测画法画简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图；
2．会根据斜二测画法规则进行相关运算
一、斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面.
第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段
第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半
强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半．
二、直观图的面积与原图面积之间的关系
①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，
②直观图面积是原图面积的倍.
考点01画水平放置的平面图形的直观图
1．如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项.
【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：

A选项满足要求.
故选：A.
2．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图.
【详解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴，
如图所示，
画出对应的轴，使，，，如图所示，
即四边形即为正方形的直观图.

（2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得等腰梯形的直观图为，

以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得平行四边形的直观图为.

3．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．

【答案】作图见解析
【分析】
根据斜二测画法的定义和步骤即可求解.
【详解】
（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系，
再建立如图②所示的坐标系，使.
(2)在坐标系中，在轴上截取；
在轴上截取，使.
(3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).

4．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

【答案】答案见解析，的面积为
【分析】
根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图.
【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，
如图所示，则的面积为.

5．画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则，即可画出正五边形和菱形的直观图.
【详解】解：作出坐标系，使得，
连接交轴为，在轴上作线段，
在轴上分别作线段，
过作线段，且，
连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.

如图（2）所示，在轴上作线段，
则轴上分别作出线段，
连接，即为菱形的直观图.

考点02画空间几何体的直观图
6．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【答案】答案见解析
【分析】
根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可.
【详解】
（1）画轴．画轴、轴、轴，使，．
（2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，
在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．
7．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
【答案】直观图见解析
【分析】
根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解.
【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；
第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；
第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：

8．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．

【答案】作图见解析
【分析】
由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个球，且圆柱横截面的直径与球的直径相同．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的球．
【详解】
画法 （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，．
（2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与．
（3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆．
（4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．

9．已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）

【答案】作图见解析
【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.
【详解】如图所示．

考点03直观图的还原
10．如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.
【详解】根据斜二测画法可得
，所以是直角三角形.
故选：B.
11．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，则其表示的原平面图形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
【答案】B
【分析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形．
【详解】因为直观图中，，
所以原图形中，
因为直观图中，
所以原图形中，
综上，原图形是直角梯形，
故选：B．
12．如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形．
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形.
【详解】如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得，
如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得，
过点作，取且，得到四边形，
即直观图四边形对应的原图形为.
13．如图所示，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.
【答案】答案见解析
【分析】根据斜二测画法的规则，即可将直观图还原成平面图形.
【详解】（1）画出直角坐标系，在x轴的正方向上取，即，
（2）过作轴，交轴于点，
在上取，过D作轴，且使；
（3）连接，得，
则即为对应的平面图形，如图所示：
14．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
【答案】图见解析.
【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可.
【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）．
考点04斜二测画法的计算
15．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度，
【答案】
【分析】
根据斜二测画法的规则将图形还原后计算即可.
【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，故原高为，
画出原图形如图所示，过点D作于E，
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，
所以.
16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，求这个平面图形的面积．

【答案】
【分析】根据直观图还原平面图形,再求解面积即可.
【详解】根据斜二测画法可知原直角梯形中,∵在直观图中，，可得.
∴原平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形，
∴原平面图形的面积为．
17．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
【答案】(1)图形见解析
(2)，
【分析】
（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
（2）先根据的面积求出，然后利用斜二测画法原理求出高，由此可求出原的面积.
【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使,
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
.
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
18．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】(1)作图见解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
19．如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？

【答案】
【分析】根据斜二测画法的知识，先画出原图，然后计算出原图的面积.
【详解】如图（1）作，垂足为；作，垂足为，
则，
所以.
将原图复原，如图（2），
则原四边形为直角梯形，
，
所以四边形的面积为.

20．用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【答案】作图见解析，面积cm2
【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积.
【详解】画法:(1)如图 (1),在等边三角形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点.在图 (2)中,画相应的轴与轴,两轴相交于点,使.
(2)在图 (2)中,以为中点,在轴上取,在轴上取.
(3)连接,并擦去辅助线轴和轴,便获得等边三角形水平放置的直观图(图 (3)).
由题意在平面直角坐标系中，三角形是边长为2的正三角形
∴，边上的高为，
在三角形中，，
∴,
边上的高，
故 ，
故直观图面积cm2.
基础过关练
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．矩形的直观图是矩形
C．菱形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.
对于A中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以A错误；
对于B中，矩形的直角，在直观图中变为或，不是矩形，所以B错误；
对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；
对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.
故选：D.
2．图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据直观图，画出原图形，即可得出答案.
【详解】
根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，
原图形如图所示：
此平面图形可能是C.
故选：C.
3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由斜二测画法还原该平面图形的原图，计算可得．
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再作出水平放置的原平面图形作答.
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
5．（多选）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【答案】ABC
【分析】
根据斜二测画法的规则即可结合选项逐一求解.
【详解】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐系，而平行性没有改变，A，B，C都不正确，D正确，
故选：ABC
6．（多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16 B．64 C．32 D．无法确定
【答案】AB
【分析】正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.
【详解】根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
7．如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为 .
【答案】14
【分析】
根据题意，将直观图还原，分析原图的形状以及边长，进而计算可得答案.
【详解】
根据题意，平行四边形是四边形OABC的直观图.
若，，则原四边形OABC为矩形，
如图：其中OA＝3，OC＝4，
故原四边形OABC的周长.
故答案为：14.
8．如图，已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为 .

【答案】
【分析】画出菱形的平面直观图，计算平面直观图的面积即可.
【详解】画出菱形的平面直观图，如图四边形所示：

在菱形中，，在四边形中，，，
所以四边形的面积为.
故答案为：
9．平面直角坐标系xOy中点A位于第一象限，线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下其直观图为线段，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】根据斜二测画法的规则，作出图形的直观图，结合勾股定理，即可求解.
【详解】如图（1）所示，过点作轴，轴，
因为线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，
可得，且，解得，
其直观图，如图（2）所示，过点作，垂足为，
根据斜二测画法的规则，可得，
且，
在直角中，可得，
所以.
故答案为：.

10．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为5cm的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
(3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
根据斜二测画法的特点求解即可.
【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1）），
画出对应的，轴，使，，（如图1（2）），
即四边形即为正方形的直观图.

（2）仿照正方形的直观图的画法：
水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），

水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），

（3）先画出水平放置的长、宽分别为5cm，2cm的长方形的直观图，其中，，
再作垂直于平面，在轴上截取，进而补充出长方体即为直观图.

11．已知水平放置的是正三角形，其直观图的面积为，求的周长.
【答案】6a.
【分析】由斜二测画法找出直观图与平面图的线段长度关系，求出的边长得到周长.
【详解】画出的平面图与直观图如图所示，则是的平面图形.
设的边长为，由斜二测画法，
知=AB=， =OC=.
作⊥，垂足为点.
因为=45°，
所以===，
所以 =·= =.
所以=，所以=2，
所以周长为3×2=6.
12．画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
【答案】图形见解析
【分析】
根据斜二测画法规则，画出该三棱柱的直观图即可．
【详解】
①取的中点，画，
用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；
②画平面，在上截取；
画出，；，，且与交于点，如图所示；

③连接、、，即得正三棱柱，
④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：

能力提升练
1．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④；
当时，等腰三角形的直观图是③，
综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D.
【点睛】本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
2．下列命题中正确命题的个数是
（1）侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
（2）三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形；
（3）直角三角形的直观图可能是直角三角形；
（4）圆台的任意两条母线延长后一定交于一点.
A．1 B．2 C．3. D．4
【答案】A
【分析】利用正棱锥，圆台的性质判断（1），（4），利用直观图性质判断（3），利用特殊图形判断（2）
【详解】若棱锥的各棱分别为，满足侧面都是等腰三角形，显然不是正棱锥，故（1）错误
三棱锥的三个侧面可能都是直角三角形；例如从正方体同一顶点出发的三条棱组成的三棱锥；故（2）错误
利用直观图画法知直角三角形的直观图不可能是直角三角形，（3）错误；
由圆台的定义知（4）正确
故选：A
【点睛】本题考查正棱锥，圆台的定义性质，考查直观图的性质，考查推理能力，属于基础题．
3．一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为6的正三角形，那么它的原图形中，顶点对应的点B到x轴的距离是（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果.
【详解】
过点作交轴于点，如图所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.
故选：B.
4．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A． B．四边形的周长为
C． D．四边形的面积为
【答案】AD
【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.
【详解】如图过作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，
即,即C错误；
还原平面图为下图，

即，即A正确；
过C作，由勾股定理得，
故四边形ABCD的周长为：，即B错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确.
故选：AD.
5．已知矩形，采用斜二测画法做出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为 ．
【答案】8（答案不唯一，大于或等于8即可）
【分析】根据题意，由直观图的面积与原图的面积关系，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】设矩形的长与宽分别为，根据斜二测画法可知，直观图的面积与原图的面积之间满足，即，所以，则，当且仅当时取得等号，所以矩形周长的最小值为8，故矩形的周长可以为8，9，10等．
故答案为：8
6．在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】利用斜二测画法画出直观图四边形，再计算周长．
【详解】如图，画出直观图，过点作，垂足为
因为，，
所以，，，则，
故四边形的周长为．
故答案为：
7．如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积.
【答案】
【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.
【详解】解：由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
8．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
【答案】(1)图形见解析
(2)边上的高为，原图形的面积为.
【分析】（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
（2）先根据的面积求出，然后利用斜二测画法原理求出高，由此可求出原的面积.
【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使,
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：

（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，

则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.

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