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解三角形（直角三角形）
目录
解三角形（直角三角形）常规考法 1
(一) 考法解读 1
(二) 题集说明 1
(三) 求点点、点线距离问题 2
(四) 求角度及旋转角度问题 15
(五) 解三角形与四边形相结合 29
考法解读
在中考中，解直角三角形的考题主要聚焦于以下几个核心方面：
1. 对已知条件的精确把握：解直角三角形的首要步骤是准确理解题目中给出的已知条件，这包括边长的具体数值和角度的具体度数。这些已知条件将作为解题的基础，用于进一步推导未知元素。
2. 三角函数的应用：在解直角三角形的过程中，三角函数（正弦、余弦、正切）起到至关重要的作用。考生需要灵活运用这些函数，根据已知条件选择适当的函数进行计算，以求得未知元素。
3. 勾股定理的熟练运用：勾股定理是解直角三角形的基本定理之一，对于已知两个直角边的长度，考生需要熟练运用勾股定理计算斜边的长度。这一步骤要求考生对勾股定理有深入的理解和扎实的掌握。
4. 角度的精确计算：在解直角三角形的过程中，有时还需要计算角度。这时，考生需要利用三角函数的反函数，根据已知的边长计算角度。这一步骤要求考生对三角函数的性质有深入的了解，并能够准确运用。
5. 实际问题的抽象化处理：解直角三角形的题目往往来源于实际生活，如测量高度、距离等。考生需要先将实际问题抽象成数学问题，然后运用解直角三角形的方法进行计算。这一步骤要求考生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
总的来说，中考中对解直角三角形的考查主要集中在已知条件的把握、三角函数的运用、勾股定理的掌握、角度的计算以及实际问题的抽象化处理等方面。考生需要扎实掌握这些知识和方法，并能够灵活运用到解题过程中，以应对中考的考验。
题集说明
一、引言
本题集的设计初衷在于为学习者提供一个全面而新颖的练习平台。通过涵盖多种题型和最新知识点，本题集旨在促进学习者对知识的深入理解和应用能力的提升。
二、题型丰富多样
本题集广泛包含了选择题、填空题、简答题、论述题、计算题、应用题等多种题型。每种题型都有其独特的功能，旨在从不同角度全面检验学习者的知识掌握情况和应用能力。
三、题目内容新颖前沿
本题集在选题上注重时效性和创新性，力求选取最新且具有代表性的题目。通过引入前沿知识和实际应用场景，本题集致力于激发学习者的创新意识和实践能力。
求点点、点线距离问题
（2024·江西南昌·一模）图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2，底座，，红旗边，，，，点，，在同一条直线上．
(1)连接，求证：．
(2)求雕塑顶端到地面的距离．
（参考数据：，，）
【答案】(1)证明见解析
(2)雕塑顶端到地面的距离为．
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，证明是解本题的关键；
（1）如图，记，的交点为，证明，再利用等腰三角形的性质可得结论；
（2）利用锐角三角函数先求解，再结合全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，记，的交点为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴雕塑顶端到地面的距离为．
（2024·吉林·模拟预测）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（参考数据：，，，）．
(1)求改造前坡顶与地面的距离的长．
(2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米）
【答案】(1)改造前坡顶与地面的距离的长为米；
(2)至少是米；
【分析】
本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度的含义是解本题的关键；
（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可；
（2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：斜坡的坡比为，
，
设，则，
由勾股定理得， ，
即，
解得，，
则，
答：改造前坡顶与地面的距离的长为米；
（2）作于，则，，
∴，
∴，
答：至少是米．
（2024·河南驻马店·一模）太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为（点B，D与F在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米；参考数据：，，，）

【答案】电池板离地面的高度的长约为米
【分析】
题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用解三角形的方法是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设米，根据正切函数的定义求解即可．
【详解】
解：延长交于点，
由题意得：米，
设米，

，，
为等腰直角三角形，
米，
米，
在中，，
解得，
（米）.
电池板离地面的高度的长约为8.1米．
（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离

【答案】甲、乙两船之间的距离为海里．
【分析】
此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，，
∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，
∴，
∴，
∴，
∴甲、乙两船之间的距离为海里．
（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
【答案】(1)
(2)两地的距离为千米
【分析】
本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用：
（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果；
（2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离．
【详解】（1）解：如图：
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点B作，垂足为G，
在中，千米，，
（千米），
在中，，
（千米），
两地的距离为千米．
（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．
(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用：
（1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
（2）过点F作，垂足为H，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）
解：过点F作，垂足为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
（23-24九年级上·四川成都·期末）国际会议中心作为首届金熊猫奖举办地，位于天府总部商务核心区，是全球首例公园城市发展综合体，同时是亚洲最大的单体木制结构建筑，可同时容纳9000人参会．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点在同一直线上（如图所示），另一条直角边与会议中心顶点在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度．
【答案】国际会议中心的高为26米．
【分析】
本题考查勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，根据勾股定理算出，证明，利用相似的性质得到，最后根据，即可解题．
【详解】
解：根据题意可知，米，
在中，
，米，米，
米，
，，
，
，
米，
米，
（米），
答：国际会议中心的高为26米．
（2024·海南·三模）台风是形成于热带海洋上的强大而深厚的热带气旋，我省也是遭受台风自然灾害较为频繁的地区．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．

(1)的度数为______；
(2)求这棵大树的高（即长）；
(3)求这棵大树折点到坡面的距离．
【答案】(1)
(2)这棵大树的高（即长）为
(3)折点距离坡面约为米
【分析】此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
（1）延长交于点，在中，利用三角形内角和定理求解即可；
（2）作于点，作于点，在中，利用求出，然后在中，利用等腰直角三角形的性质求出，进而求解即可；
（3）在中，利用代数求解即可．
【详解】（1）延长交于点．

在中，，
．
又，
；
（2）作于点，作于点．
在中，，，，
，
．
在中，，
，
所以树高为；
（3）在中，，，
米．
答：折点距离坡面约为米．
（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东方向航行20海里到达码头C．
(1)求∠C的度数；
(2)求货轮从A到B航行的距离（结果精确到海里．参考数据：，，）．
【答案】(1)
(2)海里
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）过B作于D，在中，利用正弦函数求得海里，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，，
∴；
（2）过B作于D，
在中，，(海里)，
∴(海里)，
在中，(海里)，
∴（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为海里．
（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）人工智能机器人的发展方便了人们的生活，某工厂利用机器人进行货物的搬运．如图，机器人甲沿前往厂房北门，机器人乙沿穿越厂房前往厂房北门，两机器人行进速度相同．已知米，米，，．
(1)求点到的距离．
(2)若机器人甲、乙同时出发，谁先到达点？请说明理由．
(3)机器人甲、乙之间使用无线电设备联系，设备覆盖半径为101米，若甲、乙机器人同时出发，在行进过程中两个机器人_________失去联系．（填“会”或“不会”）
【答案】(1)米
(2)机器人甲、乙同时到达点，理由见解析
(3)不会
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）过点作于点，在中，利用求解即可；
（2）过点作于点，证明出四边形为矩形，然后得到，设米，米，利用勾股定理得到，求出米，米，然后利用勾股定理求出，进而求解比较即可；
（3）连接，首先 勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）如图1，过点作于点，
则．
在中，，米，
米．
（2）如图2，过点作于点，则．
，，
∴四边形为矩形，
米，，
米．
，
，，
，
，
设米，米，
则米．
米，
，
∴米，米．
米，
米，米．
两机器人进行速度相同，
机器人甲、乙同时到达点．
（3）如图所示，连接，
∵米，米，
∴
∵甲、乙机器人同时出发，两机器人行进速度相同，
∴由图可得，当机器人甲运动到点B，同时机器人乙运动到点D时，两个机器人距离最远，
∵，米，米，
∴
∴在行进过程中两个机器人不会失去联系．
求角度及旋转角度问题
（2024·山东济南·一模）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
【答案】(1)点A到直线的距离是
(2)
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点C作于点F，过点A作于点G，由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解
【详解】（1）
解：过点C作于点F，过点A作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线的距离是．
（2）
解：旋转后如图所示，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴旋转40°．
（2023·山西运城·模拟预测）随着人工智能、大数据和物联网等技术的不断发展，智慧农业摄像头变得更加智能化和自动化，如图，奶牛养殖户王伯伯想在左侧墙壁上安装一个智能摄像头，为摄像头安装的高度，养殖场所的长度，牛圈护栏高度，已知该摄像头的可视角度，当摄像头与水平面的夹角时恰好可以检测到区域，摄像头与安装墙壁之间的距离忽略不计．

(1)求摄像头安装的高度；
(2)现养殖户王伯伯计划扩大养殖场所的范围，将护栏向右平移，若在安装高度不变的基础上，摄像头通过上下摇头，依然可以检测到牛棚内的区域，直接写出王伯伯至少需要购买上下摇头角度为多少度的摄像头？（结果精确到，精确到，参考数据如表，）
三角函数值对照表
角度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，进而计算出即可；
（2）根据直角三角形的边角关系求出即可．
【详解】（1）解：如图，延长交于点，
由题意得，，，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，即，
，
，
答：摄像头安装的高度约为；

（2）解：如图，由题意可知，
在中，，，
，
，
，
，
，
答：王伯伯至少需要购买上下摇头角度为的摄像头．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1），是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图（2）所示，已知两支脚架，在水平地面上，，为上固定的连接点，靠背可绕点旋转一定的角度，．
　　
(1)求点到水平地面的距离；
(2)当时，求点到水平地面的距离；
(3)在（2）中的状态下，绕点将靠背向后调整到位置，若点在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点旋转的度数．（参考数据：，结果保留位小数）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作，垂足为，过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，交于点，过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答；
（3）过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而求出，最后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
点到水平地面的距离约为；
（2）解：过点作，交于点，过点作，垂足为，

，
，
∵，
，
，
，
在中，，
，
点到水平地面的距离，
点到水平地面的距离约为；
（3）解：过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
靠背绕点旋转的度数约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【详解】（1）
解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．

（2）
解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．

【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
（2023·江西鹰潭·二模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米
（参考数据：，，，，，）

(1)当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
【答案】(1)车门不会碰到墙，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图：过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可；
（2）如图：过点A作，垂足为D，，求出即可．
【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：
如图：过点A作，垂足为点C．

在中，，
∴，
∵，
∴车门不会碰到墙．
（2）解：过点A作，垂足为D，

在中，
∵，
∴．
∴，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键．
（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，．
(1)若支架，
①求的度数；
②求与水平底座之间的距离．（结果精确到）
(2)若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)①；②
(2)将支架绕点逆时针旋转，与水平底座之间的距离为
【分析】（1）①过点作，交于点K，求出的角度，即可解答；
②过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形，根据特殊直角三角形的相关性质，即可解答；
（2）旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了，再根据解直角三角形，即可解答．
【详解】（1）①如图（1），过点作，
交的延长线于点，交于点．
，
．
，，
．
，
．
，，
，
．
②解：，，
．
如图（1），过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形，
，．
，
．
，

，，，
．
答：与水平底座之间的距离约为．
（2）解：由（1）②可知当时，与水平底座之间的距离约为，
若使与水平底座之间的距离为，则需将支架绕点逆时针旋转．
设需要将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点为，如图（2）．
，
旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了（关键点）．
过点作，垂足为，过点作于点．
结合（1）②可知．
，
，
，
将支架绕点逆时针旋转，与水平底座之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键．
（2023·江西南昌·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点O，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，要使距离地面的高为，求两条桌腿需叉开角度．
【答案】(1)的长为；
(2)
【分析】（1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可；
（2）作于E，根据题意，得在中，，由此可以推出，接着可以求出，再根据三角形的内角和即可求出的度数．
【详解】（1）解：由题意得：，
即的长为；
（2）解：作于E．
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到是解题的关键．
（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动．
(1)当时，
①求点C到直线的距离；（计算结果保留根号）
②若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
(2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的角度为______．（直接写出结果）（参考数据：，，，，，，）
【答案】(1)①mm；②124mm
(2)
【分析】对于（1），①作，作的平行线和垂线相交于点G，根据可得答案；
②根据平行线的性质得，进而求出，及，然后根据得出答案；
对于（2），先作出旋转后的图形，再求出，，然后根据正切求出，可得答案．
【详解】（1）①如图，过点C作于F，过点C、A分别作的平行线和垂线相交于点G，
在中，，，
∴ （mm），
即点C到直线的距离为mm；
②当时，
∵，
∴．
又∵，
∴．
在中，（mm），，
∴ （mm），
∴点A到直线的距离为（mm）；

（2）把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，旋转后的图形如图③所示，
在中，，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正弦，正切，旋转的性质，构造辅助线是解题的关键．
解三角形与四边形相结合
（2024·河南·一模）如图，平顶山市鲁山县的中原大佛是世界上最高的佛教造像．它由莆田兴胜工艺、国家非物质文化遗产技艺传承人、福建省工艺美术大师协会副会长林胜标大师于1997年设计制作．中原大佛坐落须弥座、金刚座和莲花座之上．某无人机兴趣小组利用周末时间测量中原大佛的身高，测量场景抽象出的示意图如图．在无人机在与中原大佛脚底齐平的水平线的点A处，测得中原大佛的顶部的仰角是．无人机沿水平线向前飞行米至点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．．请你计算中原大佛的身高．（注：点A、B、M在同一水平线上．参考数据：，结果保留整数）
【答案】108米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角问题，由题意得，，，米，则，在中，代入求解即可，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，米，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：原大佛的身高约为米．
（2024·陕西咸阳·一模）在中，分别是的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识点，
（1）根据求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案；
（2）根据锐角三角函数的定义求出a的值，再根据勾股定理求出答案即可；
掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
【详解】（1）在 中，
∵，
∴；
（2）在 中，
∵，
∴，
∴．
（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据已知条件得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可得证；
（2）证明是等边三角形，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，互相平分且相等，
，
四边形是菱形；
（2）解：，，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
设，则，
，
解得（负值舍去），
四边形的周长等于8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（15-16九年级上·北京海淀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作．交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为________秒和线段的长为________．
(2)当点Q和点D重合时，求线段的长；
(3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值．
【答案】(1)2，
(2)
(3)
【分析】（1）当点P和点B重合时，运动路程为的长，据此可求出运动时间；证明四边形是矩形，求出的长，进而在中，勾股定理即可求解；
（2）
（2）证明，得到，据此求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求解即可；
（3）如图所示，过点作于点，同理可证明四边形是矩形，得到，再证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴运动时间为秒
在中，由勾股定理得，
故答案为：2，；
（2）解：如图所示，

∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，过点作于点，
同理可证明四边形是矩形，
∴，
∵，在矩形中，，
∴，

∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，遇到矩形问题，要熟知矩形的判定定理和性质；遇到直角三角形求线段长，要熟知勾股定理；遇到求两个三角形中线段的比值问题，要通过构造相似三角形进行求解．
（2023·浙江金华·一模）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作交于点，连结．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，为的中点，当四边形为正方形时，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）先判断为的垂直平分线，得到，，再证明，得到，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用，可判断四边形是菱形；
（2）设，根据正方形的判定当时，四边形是正方形，此时，由于，则在中利用勾股定理得到，解方程，从而得到此时的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为的垂直平分线，
即，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，
∵四边形是菱形，
∴当时，四边形是正方形，
此时，
∵E为的中点，
∴，
在中，∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
的长为．
【点睛】本题考查了正方形：熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．
（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接，延长交边于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于M，于N，证明，得出；
（2）根据勾股定理求出，证明，得出，即，求出，根据勾股定理求出，即可求出．
【详解】（1）证明：过点E作于M，于N，如图所示：
在正方形中，，平分，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在正方形中，，，
在中， 由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， 由勾股定理得：
，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法．
（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)132．
【分析】（1）由，，可得，从而，，又，证得，因此，又，从而得证四边形为平行四边形；
（2）设，则，根据勾股定理可得在中，，在中，，得，代入即可得到关于x的方程，求解得到，的长，再次利用勾股定理即可得到的长，运用平行四边形的面积公式即可解答．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）设，则，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（2024·湖南长沙·模拟预测）为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）
(1)求B点与支撑柱的距离；
(2)若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
【答案】(1)
(2)路灯C离地面的距离为；
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）直接利用锐角的正弦求解即可；
（2）如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，证明，，，求解，，求解，可得，再利用线段的和差可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴B点与支撑柱的距离为；
（2）如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，
则，四边形，四边形为矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴路灯C离地面的距离为．
（2024·陕西渭南·模拟预测）连霍高速的华州出口处、华州公园西门外有一座由三根立柱和一朵玫瑰花图案组成的雕塑（图1），这是华州区的地标，是华州的象征，也是华州区各种雕塑中最具有代表性的一座，这座雕塑名称为“华彩”，雕塑中间拔地而起的三根立柱代表华州区的悠久历史、灿烂文化和不断腾飞的地方经济如图2，小玲和小亮很想知道华彩雕塑的高度，阳光明媚的一天，他们带着测量工具来到雕塑前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在D处竖直放置一根2米长的标杆，此时标杆影子末端恰好与雕塑的影子末端重合于点E，其中米．随后，小玲沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕塑的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、D、E、G在同一水平直线上，且均垂直于．求该雕塑的高度．

【答案】22米
【分析】本题考查解直角三角形的应用；连接并延长，交于点，则，先根据题意表示出，再根据条件证明即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，

由题意得：，
在中，，
，即．
，
，
，
，
，即，
，
解得．
故该雕塑的高度为22米．
（2024·河南周口·一模）快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，）
【答案】火箭在段的平均速度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，根据三角函数定义求出，，根据速度公式求出．
【详解】解：由题可知．
设火箭在段的平均速度为v，则，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．
答：火箭在段的平均速度为．
（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，F是上的一点，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质及，得到，由，得到四边形是平行四边形，根据即可证明结论；
（2）由解（1）四边形是矩形，求得的值，再根据解直角三角形求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴．
由（1）知，在矩形中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，求的长．

【答案】
【分析】根据矩形的性质，得到，，再根据，推出，然后根据垂直平分线的性质，得到，进而推出是等边三角形，得到，由三角形内角和定理，得到，最后利用30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
设，，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，30度角所对的直角边等于斜边一半，证明出是等边三角形是解题关键．解三角形（直角三角形）
目录
解三角形（直角三角形）常规考法 1
(一) 考法解读 1
(二) 题集说明 1
(三) 求点点、点线距离问题 2
(四) 求角度及旋转角度问题 15
(五) 解三角形与四边形相结合 29
考法解读
在中考中，解直角三角形的考题主要聚焦于以下几个核心方面：
1. 对已知条件的精确把握：解直角三角形的首要步骤是准确理解题目中给出的已知条件，这包括边长的具体数值和角度的具体度数。这些已知条件将作为解题的基础，用于进一步推导未知元素。
2. 三角函数的应用：在解直角三角形的过程中，三角函数（正弦、余弦、正切）起到至关重要的作用。考生需要灵活运用这些函数，根据已知条件选择适当的函数进行计算，以求得未知元素。
3. 勾股定理的熟练运用：勾股定理是解直角三角形的基本定理之一，对于已知两个直角边的长度，考生需要熟练运用勾股定理计算斜边的长度。这一步骤要求考生对勾股定理有深入的理解和扎实的掌握。
4. 角度的精确计算：在解直角三角形的过程中，有时还需要计算角度。这时，考生需要利用三角函数的反函数，根据已知的边长计算角度。这一步骤要求考生对三角函数的性质有深入的了解，并能够准确运用。
5. 实际问题的抽象化处理：解直角三角形的题目往往来源于实际生活，如测量高度、距离等。考生需要先将实际问题抽象成数学问题，然后运用解直角三角形的方法进行计算。这一步骤要求考生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
总的来说，中考中对解直角三角形的考查主要集中在已知条件的把握、三角函数的运用、勾股定理的掌握、角度的计算以及实际问题的抽象化处理等方面。考生需要扎实掌握这些知识和方法，并能够灵活运用到解题过程中，以应对中考的考验。
题集说明
一、引言
本题集的设计初衷在于为学习者提供一个全面而新颖的练习平台。通过涵盖多种题型和最新知识点，本题集旨在促进学习者对知识的深入理解和应用能力的提升。
二、题型丰富多样
本题集广泛包含了选择题、填空题、简答题、论述题、计算题、应用题等多种题型。每种题型都有其独特的功能，旨在从不同角度全面检验学习者的知识掌握情况和应用能力。
三、题目内容新颖前沿
本题集在选题上注重时效性和创新性，力求选取最新且具有代表性的题目。通过引入前沿知识和实际应用场景，本题集致力于激发学习者的创新意识和实践能力。
求点点、点线距离问题
（2024·江西南昌·一模）图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2，底座，，红旗边，，，，点，，在同一条直线上．
(1)连接，求证：．
(2)求雕塑顶端到地面的距离．
（参考数据：，，）
（2024·吉林·模拟预测）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（参考数据：，，，）．
(1)求改造前坡顶与地面的距离的长．
(2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米）
（2024·河南驻马店·一模）太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为（点B，D与F在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米；参考数据：，，，）

（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离

（2024·广东中山·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．
(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
(2)当，时，求的长．
（23-24九年级上·四川成都·期末）国际会议中心作为首届金熊猫奖举办地，位于天府总部商务核心区，是全球首例公园城市发展综合体，同时是亚洲最大的单体木制结构建筑，可同时容纳9000人参会．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点在同一直线上（如图所示），另一条直角边与会议中心顶点在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度．
（2024·海南·三模）台风是形成于热带海洋上的强大而深厚的热带气旋，我省也是遭受台风自然灾害较为频繁的地区．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．

(1)的度数为______；
(2)求这棵大树的高（即长）；
(3)求这棵大树折点到坡面的距离．
（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东方向航行20海里到达码头C．
(1)求∠C的度数；
(2)求货轮从A到B航行的距离（结果精确到海里．参考数据：，，）．
（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）人工智能机器人的发展方便了人们的生活，某工厂利用机器人进行货物的搬运．如图，机器人甲沿前往厂房北门，机器人乙沿穿越厂房前往厂房北门，两机器人行进速度相同．已知米，米，，．
(1)求点到的距离．
(2)若机器人甲、乙同时出发，谁先到达点？请说明理由．
(3)机器人甲、乙之间使用无线电设备联系，设备覆盖半径为101米，若甲、乙机器人同时出发，在行进过程中两个机器人_________失去联系．（填“会”或“不会”）
求角度及旋转角度问题
（2024·山东济南·一模）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
（2023·山西运城·模拟预测）随着人工智能、大数据和物联网等技术的不断发展，智慧农业摄像头变得更加智能化和自动化，如图，奶牛养殖户王伯伯想在左侧墙壁上安装一个智能摄像头，为摄像头安装的高度，养殖场所的长度，牛圈护栏高度，已知该摄像头的可视角度，当摄像头与水平面的夹角时恰好可以检测到区域，摄像头与安装墙壁之间的距离忽略不计．

(1)求摄像头安装的高度；
(2)现养殖户王伯伯计划扩大养殖场所的范围，将护栏向右平移，若在安装高度不变的基础上，摄像头通过上下摇头，依然可以检测到牛棚内的区域，直接写出王伯伯至少需要购买上下摇头角度为多少度的摄像头？（结果精确到，精确到，参考数据如表，）
三角函数值对照表
角度
（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1），是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图（2）所示，已知两支脚架，在水平地面上，，为上固定的连接点，靠背可绕点旋转一定的角度，．
　　
(1)求点到水平地面的距离；
(2)当时，求点到水平地面的距离；
(3)在（2）中的状态下，绕点将靠背向后调整到位置，若点在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点旋转的度数．（参考数据：，结果保留位小数）
（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
（2023·江西鹰潭·二模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米
（参考数据：，，，，，）

(1)当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
（2023·江西萍乡·模拟预测）如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，．
(1)若支架，
①求的度数；
②求与水平底座之间的距离．（结果精确到）
(2)若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度．
（参考数据：，，，）
（2023·江西南昌·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点O，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，要使距离地面的高为，求两条桌腿需叉开角度．
（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动．
(1)当时，
①求点C到直线的距离；（计算结果保留根号）
②若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
(2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的角度为______．（直接写出结果）（参考数据：，，，，，，）
解三角形与四边形相结合
（2024·河南·一模）如图，平顶山市鲁山县的中原大佛是世界上最高的佛教造像．它由莆田兴胜工艺、国家非物质文化遗产技艺传承人、福建省工艺美术大师协会副会长林胜标大师于1997年设计制作．中原大佛坐落须弥座、金刚座和莲花座之上．某无人机兴趣小组利用周末时间测量中原大佛的身高，测量场景抽象出的示意图如图．在无人机在与中原大佛脚底齐平的水平线的点A处，测得中原大佛的顶部的仰角是．无人机沿水平线向前飞行米至点处，测得中原大佛的顶部的仰角是．．请你计算中原大佛的身高．（注：点A、B、M在同一水平线上．参考数据：，结果保留整数）
（2024·陕西咸阳·一模）在中，分别是的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，求b．
（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
（15-16九年级上·北京海淀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作．交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．

(1)当点P和点B重合时，直接写出点P的运动时间为________秒和线段的长为________．
(2)当点Q和点D重合时，求线段的长；
(3)如图2，当点P在边AD上运动时，求证：的值为定值．
（2023·浙江金华·一模）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作交于点，连结．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，为的中点，当四边形为正方形时，求的长．
（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接，延长交边于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
（2024·湖南长沙·模拟预测）为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，）
(1)求B点与支撑柱的距离；
(2)若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离．
（2024·陕西渭南·模拟预测）连霍高速的华州出口处、华州公园西门外有一座由三根立柱和一朵玫瑰花图案组成的雕塑（图1），这是华州区的地标，是华州的象征，也是华州区各种雕塑中最具有代表性的一座，这座雕塑名称为“华彩”，雕塑中间拔地而起的三根立柱代表华州区的悠久历史、灿烂文化和不断腾飞的地方经济如图2，小玲和小亮很想知道华彩雕塑的高度，阳光明媚的一天，他们带着测量工具来到雕塑前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在D处竖直放置一根2米长的标杆，此时标杆影子末端恰好与雕塑的影子末端重合于点E，其中米．随后，小玲沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕塑的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、D、E、G在同一水平直线上，且均垂直于．求该雕塑的高度．

（2024·河南周口·一模）快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，）
（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，F是上的一点，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的面积．
（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，求的长．

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