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1.1 课时1 数列的概念及通项公式
【学习目标】
1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)
2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.数列的定义是什么
2.数列的项与项数有什么不同
3.同一个数在数列中能重复出现吗
4.什么叫数列的通项公式
5.数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列中的项互换次序后还是原来的数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4){an}与an的意义一样,都表示数列. (　　)
2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.
【合作探究】
探究1：数列的概念与分类
情境设置
　　问题:观察以下几列数:
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯,上面的数字依次为7,49,343,2401,16807;
②战国时期庄周引用过一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭.这句话中隐藏着一列数:1,,,,,…;
③从学号1开始,记下本班的每一个同学参加高考的时间:2023,2023,…,2023;
④小明为了记住刚设置的手机密码,不停地说:7,0,2,5,7,0,2,5,…;
⑤-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数:-,,-,,….
你能找到上述几列数的共同点和不同点吗
新知生成
1.数列及其相关的概念
按照一定顺序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
3.数列的分类
项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列.
新知运用
例1　下列有关数列的说法,正确的是(　　).
①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;③数列7,7,7,…是无穷数列;④数列中的每一项都与它的序号有关.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【方法总结】　(1)数列类型的判断一定要严格按照数列的定义进行;
(2)如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列;
(3)同一个数可以在数列中重复出现.
巩固训练
　　下列说法正确的是　　　　.
①同一数列的任意两项均不可能相同;
②数列中的项与顺序无关;
③数列0,2,4,6是有穷数列;
④数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7.
探究2：数列的通项公式
情境设置
　　数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
问题1:数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1,2,3,…,n,…)之间的对应关系是什么
问题2:你能从函数的角度解释这个数列的特点吗
问题3:在数列中,符号{an}与an所表示的意义是否相同
问题4:在数列0,,,,…,,…中,是它的第几项
新知生成
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用一个关于n的公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{an}的通项公式.
2.数列的表示
从函数观点看,数列的通项公式就是这个数列的表达式,与函数一样,数列还可以用列表法和图象法来表示.
新知运用
例2　根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,…;
(5)4,0,4,0,4,0,….
【方法总结】　(1)对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整;
(2)对于分数形式的变化,先考虑分母的变化规律,再考虑分子与分母的关系和变化规律;
(3)对于各项中有分数又有整数的变化,应统一化为分数形式再观察其规律;
(4)从数列5,55,555,5555,…和数列9,99,999,9999,…的关系着手.
(5)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用分段函数或周期函数,如三角函数等.
巩固训练
　　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)2×3,3×4,4×5,5×6,…;
(4),1,,,….
【随堂检测】
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+1,则第9项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.13 C.17 D.19
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
3.已知n∈N+,给出四个表达式:①an=②an=;③an=;④an=.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是(　　).
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
4.某种树分枝的生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为　　　　.
21.1 课时1 数列的概念及通项公式
【学习目标】
1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)
2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.数列的定义是什么
【答案】一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.数列的项与项数有什么不同
【答案】数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即f(n);而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值f(n)对应的自变量的值,即n.
3.同一个数在数列中能重复出现吗
【答案】能,数列中的数可以重复出现.
4.什么叫数列的通项公式
【答案】如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式.
5.数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别
【答案】数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1是两个不同的数列,因为二者的元素顺序不同.集合{1,2,3,4,5}与前两个数列也不相同,首先,形式上不一致,其次,集合中的元素具有无序性.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列1,1,1,…是无穷数列. (　　)
(2)数列中的项互换次序后还是原来的数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4){an}与an的意义一样,都表示数列. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知数列{an}的通项公式为an=,那么a5=(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵an=,∴a5==,故选B.
3.数列0,1,2,3,4,…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】A
【解析】结合选项可知,an=n-1,故选A.
4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.
【答案】8
【解析】a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8.
【合作探究】
探究1：数列的概念与分类
情境设置
　　问题:观察以下几列数:
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯,上面的数字依次为7,49,343,2401,16807;
②战国时期庄周引用过一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭.这句话中隐藏着一列数:1,,,,,…;
③从学号1开始,记下本班的每一个同学参加高考的时间:2023,2023,…,2023;
④小明为了记住刚设置的手机密码,不停地说:7,0,2,5,7,0,2,5,…;
⑤-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数:-,,-,,….
你能找到上述几列数的共同点和不同点吗
【答案】共同点:都是按照确定的顺序进行排列的.不同点:从项数上来看,①③项数有限,②④⑤项数无限;从项的变化上来看,①每一项在依次变大,②每一项在依次变小,③项没有发生变化,④项呈现周期性的变化,⑤项的大小交替变化.
新知生成
1.数列及其相关的概念
按照一定顺序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
3.数列的分类
项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列.
新知运用
例1　下列有关数列的说法,正确的是(　　).
①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;③数列7,7,7,…是无穷数列;④数列中的每一项都与它的序号有关.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】①错误,数列和集合是不同的概念;②错误,数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列.故选B.
【方法总结】　(1)数列类型的判断一定要严格按照数列的定义进行;
(2)如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列;
(3)同一个数可以在数列中重复出现.
巩固训练
　　下列说法正确的是　　　　.
①同一数列的任意两项均不可能相同;
②数列中的项与顺序无关;
③数列0,2,4,6是有穷数列;
④数列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8项为7.
【答案】③④
【解析】①错误,例如无穷个3构成的常数列3,3,…,3,…;②错误,数列中的项与顺序有关;③正确,数列0,2,4,6是有穷数列;④正确.
探究2：数列的通项公式
情境设置
　　数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
问题1:数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1,2,3,…,n,…)之间的对应关系是什么
【答案】　序号　1　2　3　…　n　…
↓ ↓ ↓ ↓
　　　　　　项　 a1 a2 a3 … an …
问题2:你能从函数的角度解释这个数列的特点吗
【答案】数列{an}可以看成从正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
问题3:在数列中,符号{an}与an所表示的意义是否相同
【答案】{an}与an是两个不同的概念,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示数列{an}中的第n项.
问题4:在数列0,,,,…,,…中,是它的第几项
【答案】令=,解得n=7,所以是它的第7项.
新知生成
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用一个关于n的公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{an}的通项公式.
2.数列的表示
从函数观点看,数列的通项公式就是这个数列的表达式,与函数一样,数列还可以用列表法和图象法来表示.
新知运用
例2　根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,…;
(5)4,0,4,0,4,0,….
【解析】(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式的正负性可用(-1)n来调节,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).
(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为an=.
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即,,,,,…,故数列的一个通项公式为an=.
(4)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项公式为bn=10n-1,故原数列的一个通项公式为an=(10n-1).
(5)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示该数列的通项公式,即an=
该数列也可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式也可表示为an=2+2×(-1)n+1.
【方法总结】　(1)对于正负符号的变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整;
(2)对于分数形式的变化,先考虑分母的变化规律,再考虑分子与分母的关系和变化规律;
(3)对于各项中有分数又有整数的变化,应统一化为分数形式再观察其规律;
(4)从数列5,55,555,5555,…和数列9,99,999,9999,…的关系着手.
(5)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用分段函数或周期函数,如三角函数等.
巩固训练
　　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是:
(1)1,3,7,15,31,…;
(2),,,,,…;
(3)2×3,3×4,4×5,5×6,…;
(4),1,,,….
【解析】(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,…,可得an=2n-1(n∈N+).
(2)这个数列的前5项中,每一项的分子都比分母少1,且分母依次为21,22,23,24,25,所以它的一个通项公式为an=(n∈N+).
(3)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),…,
可得an=(n+1)(n+2)(n∈N+).
(4)将数列变形为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,可得分母的通项公式为cn=n2+1,所以原数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
【随堂检测】
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+1,则第9项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.13 C.17 D.19
【答案】D
【解析】因为数列{an}的通项公式为an=2n+1,所以a9=2×9+1=19.
2.数列0.9,0.99,0.999,…的一个通项公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
【答案】C
【解析】原数列可改写为1-,1-,1-,…,故该数列的一个通项公式为an=1-n.故选C.
3.已知n∈N+,给出四个表达式:①an=②an=;③an=;④an=.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是(　　).
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【答案】A
【解析】逐一写出表达式的前几项,检验知①②③都是所给数列的通项公式.故选A.
4.某种树分枝的生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为　　　　.
【答案】55
【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以预计第10年树的分枝数为21+34=55.
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