资源简介

1.1 课时2 数列中的递推公式与性质
【学习目标】
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)
2.理解数列的单调性,会判断数列的单调性,会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象)
3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是数列的递推公式
2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项
3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系
4.数列是特殊的函数,我们知道函数有单调递增函数,单调递减函数,那么数列有单调性吗 若有,如何判断数列的单调性
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有些数列可能不存在最大项. (　　)
(2)所有的数列都有递推公式. (　　)
(3)所有数列都具有单调性. (　　)
(4)在数列{an}中,若an=,则{an}是递减数列. (　　)
2.数列1,,,,…的递推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+)
3.已知数列{an}的通项公式为an=lo(n+1),则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)
4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.
【合作探究】
探究1：数列的递推关系
情境设置
　　已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.
问题1:写出前五排的座位数.
问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系
问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗
问题4:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗
新知生成
数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件.
微点评:由递推公式和初始条件可确定数列{an},这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型.
新知运用
一、利用数列的递推公式求数列的项
例1　若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2023的值.
【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而对于递推公式,则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.
二、利用递推公式求通项公式
例2　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-(n∈N+),则an=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an=(　　).
A.n+1 B.n C. D.
【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:
①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
巩固训练
1.(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.24 C.26 D.28
　
2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),则a5=　　　　,由此归纳出{an}的一个通项公式为　　　　,a8=　　　　.
3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求数列{an}的通项公式.
探究2：数列的单调性
情境设置
　　观察下面的数列,回答问题.
(1)2,,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.8,0.88,0.888,….
问题1:写出(1)(2)(3)的通项公式.
问题2:观察(1)(2)(3)中数列,从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系
新知生成
数列的单调性
一般地,对于一个数列{an},如果从第二项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,n∈N+,那么这个数列叫作递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它的前一项,即an+1新知运用
一、判断数列的单调性
例3　判断数列an=的单调性.
【方法总结】判断数列单调性的方法
(1)作差比较法:
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法:
①若an>0,则
当>1时,数列{an}是递增数列;
当<1时,数列{an}是递减数列;
当=1时,数列{an}是常数列.
②若an<0,则
当<1时,数列{an}是递增数列;
当>1时,数列{an}是递减数列;
当=1时,数列{an}是常数列.
二、求数列的最大(小)项
例4　已知an=(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项 如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
【方法总结】求数列最值的方法
(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项.
(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;求最小项时,用不等式组(n≥2)求得n的取值范围.
巩固训练
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)讨论数列{an}的单调性;
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
【随堂检测】
1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),则该数列的第5项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知数列{an}的通项公式为an=n·n(n∈N+),则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B. C. D.
3.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　).
A.,3 B.,3 C.(1,3) D.(2,3)
4.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,则a100=　　　　.
21.1 课时2 数列中的递推公式与性质
【学习目标】
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)
2.理解数列的单调性,会判断数列的单调性,会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象)
3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是数列的递推公式
【答案】如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.
2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项
【答案】用递推公式给出一个数列,必须给出:(1)递推“基础”——数列{an}的第1项(或前几项).(2)递推关系——数列{an}的第n项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个式子来表示.
3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系
【答案】
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
4.数列是特殊的函数,我们知道函数有单调递增函数,单调递减函数,那么数列有单调性吗 若有,如何判断数列的单调性
【答案】有些数列具有单调性,在数列{an}中,若an+1>an,n∈N+,则{an}是递增数列;若an+1自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有些数列可能不存在最大项. (　　)
(2)所有的数列都有递推公式. (　　)
(3)所有数列都具有单调性. (　　)
(4)在数列{an}中,若an=,则{an}是递减数列. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.数列1,,,,…的递推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+)
【答案】C
【解析】由题意可知选项C符合题意,故选C.
3.已知数列{an}的通项公式为an=lo(n+1),则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)
【答案】递减
【解析】因为an-an-1=lo(n+1)-lon=lo1+<0,
所以an4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.
【解析】由题意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,
故该数列的前5项依次为1,2,4,8,16.
【合作探究】
探究1：数列的递推关系
情境设置
　　已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.
问题1:写出前五排的座位数.
【答案】20,22,24,26,28.
问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系
【答案】第n+1排比第n排多2个座位.
问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗
【答案】能.an+1=an+2.
问题4:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗
【答案】不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.
新知生成
数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件.
微点评:由递推公式和初始条件可确定数列{an},这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型.
新知运用
一、利用数列的递推公式求数列的项
例1　若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2023的值.
【解析】a2===-3,
a3===-,
a4===,
a5===2=a1,
…
∴{an}是周期为4的数列,
∴a2023=a4×505+3=a3=-.
【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而对于递推公式,则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.
二、利用递推公式求通项公式
例2　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-(n∈N+),则an=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an=(　　).
A.n+1 B.n C. D.
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)(法一:归纳法)数列的前5项分别为
a1=1,
a2=1+1-=2-=,
a3=+-=2-=,
a4=+-=2-=,
a5=+-=2-=,
由此可得数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
(法二:迭代法)a2=a1+1-,
a3=a2+-,…,
an=an-1+-(n≥2),
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式,所以an=(n∈N+).
(法三:累加法)an+1-an=-,
a1=1,
a2-a1=1-,
a3-a2=-,
a4-a3=-,
…
an-an-1=-(n≥2),
以上各式相加得an=1+1-+-+…+-,
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式,所以an=(n∈N+).
(2)因为数列{an}满足an+1=an(n∈N+),所以=,
所以an=··…···a1=××…×××1=(n∈N+).
【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:
①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
巩固训练
1.(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.24 C.26 D.28
　　【答案】AD
【解析】由a1=3,an+1=-,得a2=-,a3=-,a4=3,
所以数列{an}是周期为3的数列,
故a22=a3×7+1=a1=3,a28=a3×9+1=a1=3.
2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),则a5=　　　　,由此归纳出{an}的一个通项公式为　　　　,a8=　　　　.
【答案】63　an=2n+1-1　511
【解析】∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31,a5=2a4+1=63.
可以归纳出an=2n+1-1,∴a8=29-1=511.
3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2),将这些式子的两边分别相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2),即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1,∴an=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由an+1=3an得=3,
因此=3,=3,=3,…,=3(n≥2).
将上面的(n-1)个式子相乘可得···…·=3n-1(n≥2),
即=3n-1(n≥2),
∴an=a1·3n-1(n≥2).
又a1=2,∴an=2·3n-1(n≥2).
当n=1时,a1=2也符合上式,
∴an=2·3n-1.
探究2：数列的单调性
情境设置
　　观察下面的数列,回答问题.
(1)2,,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.8,0.88,0.888,….
问题1:写出(1)(2)(3)的通项公式.
【答案】(1)所给数列可写成,,,,…,
∴原数列的一个通项公式为an=(n∈N+).
(2)所给数列可写成(-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,…,
∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n×=(n∈N+).
(3)所给数列可写成1-,1-,1-,…,
∴原数列的一个通项公式为an=1-(n∈N+).
问题2:观察(1)(2)(3)中数列,从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系
【答案】(1)中从第二项起每一项都比它前一项小;(2)中从第二项起有些项比它前一项大,有些项比它前一项小;(3)中从第二项起每一项都比它前一项大.
新知生成
数列的单调性
一般地,对于一个数列{an},如果从第二项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,n∈N+,那么这个数列叫作递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它的前一项,即an+1新知运用
一、判断数列的单调性
例3　判断数列an=的单调性.
【解析】因为an=,所以an==1-,当n增大时,减小,所以an=1-增大,即该数列是递增数列.
【方法总结】判断数列单调性的方法
(1)作差比较法:
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法:
①若an>0,则
当>1时,数列{an}是递增数列;
当<1时,数列{an}是递减数列;
当=1时,数列{an}是常数列.
②若an<0,则
当<1时,数列{an}是递增数列;
当>1时,数列{an}是递减数列;
当=1时,数列{an}是常数列.
二、求数列的最大(小)项
例4　已知an=(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项 如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
【解析】(法一:函数单调性法)
令f(n)=an,则f(n+1)-f(n)=an+1-an=-=(8-n).
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,所以{an}在n<8时单调递增;
当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,所以a8=a9;
当n>8时,an+1-an<0,即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项和第9项,为a8=a9=.
(法二:不等式组法)
设an最大,则(n≥2),
即
解得8≤n≤9.
又因为n∈N+,所以n=8或n=9.
故{an}的最大项为a8=a9=.
【方法总结】求数列最值的方法
(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项.
(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;求最小项时,用不等式组(n≥2)求得n的取值范围.
巩固训练
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)讨论数列{an}的单调性;
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
【解析】(1)已知数列{an}的通项公式为an==1+,
据此可得即当n<16(n∈N+)时,数列{an}单调递减;当n≥16(n∈N+)时,数列{an}单调递减.
(2)由(1)知,数列{an}的最大项为a16,最小项为a15.
【随堂检测】
1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),则该数列的第5项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
2.已知数列{an}的通项公式为an=n·n(n∈N+),则数列{an}中的最大项为(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为数列{an}的通项公式为an=n·n,显然an>0,令即得2≤n≤3,因为n∈N+,故n=2或n=3,所以数列{an}中的最大项为a2=a3=2×=.
3.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　).
A.,3 B.,3 C.(1,3) D.(2,3)
【答案】D
【解析】根据函数的单调性定义,要使数列{an}是递增数列,则解得24.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,则a100=　　　　.
【答案】5050
【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得=,
则a100=a1···…·=1×××…××=5050.
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