资源简介

1.2.1　等差数列及其通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)
2.掌握等差数列的通项公式,能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.等差数列是如何定义的
2.观察所给的两个数,在两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列{an}的通项公式,需要哪几个条件
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列4,4,4,…是等差数列. (　　)
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. (　　)
2.下列数列中不是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
3.已知实数m是1和5的等差中项,则实数m=(　　).
A. B.± C.3 D.±3
4.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式为an=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差数列的概念
情境设置
　　①在过去的300多年里,人们记下了哈雷彗星出现的时间:1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位,常用的确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为:275,270,265,260,255,250,….
③为增强体质,学校增加了体育训练的项目,下面记录了班里5名男生1分钟内引体向上的个数:10,10,10,10,10.
问题:以上数列有什么共同特征 你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗
新知生成
　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d表示.
微点评:(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”,如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序,即从第2项起,每一项与它的前一项作差,而不是与后一项作差,切不可将减数与被减数弄颠倒.
(3)一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差尽管是常数,这个数列也不一定是等差数列,当常数不同时,就不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”.
(4)公差可以是正数、负数、0.常数列都是等差数列,公差为0.
新知运用
例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
⑤1,,,,,….
【方法总结】利用定义法判定等差数列的方法:从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
巩固训练
　　(多选题)下列数列中,是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
探究2：等差数列的通项公式
情境设置
　　问题:你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗
新知生成
　　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
新知运用
例2　在等差数列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
【方法总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个参数,那么
就可以由通项公式求出第四个参数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.
(3)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项,也可以判断某个数是否为该数列中的项.
巩固训练
1.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.22 C.7 D.29
2.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,则它的项数是　　　　.
3.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项.
(2)112是数列{an}的第几项
(3)在80到110之间有多少项
探究3：等差中项
情境设置
　　问题:由等差数列的定义可知,如果1,x,3这三个数成等差数列,那么你能求出x的值吗
【答案】由定义可知x-1=3-x,即2x=1+3,解得x=2.
新知生成
　　在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M叫作a与b的等差中项,并且2M=a+b.
微点评:(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一;
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即M=.
新知运用
例3　(1)若a=,b=,则a,b的等差中项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　).
A.2 B.3 C.6 D.9
【方法总结】若a,A,b成等差数列,则A=;反之,由A=也可得到a,A,b成等差数列.因此A是a,b的等差中项 A=.
巩固训练
　　在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
探究3：等差数列中多项之间的关系
情境设置
　　问题:若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),证明:am+an=ap+aq.
新知生成
1.等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
2.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则有am+an=2ap.
注意点:(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同.
新知运用
例4　(1)已知等差数列{an}中,a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.
【方法总结】等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d的值,然后求出其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
巩固训练
　　在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.22 C.24 D.-8
【随堂检测】
1.给出下列数列:
(1)0,0,0,0,0,…;
(2)1,11,111,1111,…;
(3)2,22,23,24,…;
(4)-5,-3,-1,1,3,…;
(5)1,2,3,5,8,….
其中是等差数列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个　 D.4个
2.一个等差数列的前4项依次是a,x,b,2x(b≠0,x≠0),则=(　　).
A. B. C. D.
3.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
4.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
21.2.1　等差数列及其通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)
2.掌握等差数列的通项公式,能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.等差数列是如何定义的
【答案】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.
2.观察所给的两个数,在两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列
(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.
【答案】(1)3;(2)2;(3);(4)0.
3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列{an}的通项公式,需要哪几个条件
【答案】只要知道等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列4,4,4,…是等差数列. (　　)
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√
2.下列数列中不是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2
C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10
【答案】D
【解析】A中给出的是常数列,是等差数列,公差为0;
B中给出的数列是等差数列,公差为1;
C中给出的数列是等差数列,公差为3;
D中给出的数列中,第2项减去第1项等于1,第3项减去第2项等于2,故此数列不是等差数列.
3.已知实数m是1和5的等差中项,则实数m=(　　).
A. B.± C.3 D.±3
【答案】C
【解析】由题意知,2m=1+5=6,解得m=3.
4.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式为an=　　　　.
【答案】6-2n
【解析】∵a1=4,d=-2,∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
【合作探究】
探究1：等差数列的概念
情境设置
　　①在过去的300多年里,人们记下了哈雷彗星出现的时间:1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位,常用的确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为:275,270,265,260,255,250,….
③为增强体质,学校增加了体育训练的项目,下面记录了班里5名男生1分钟内引体向上的个数:10,10,10,10,10.
问题:以上数列有什么共同特征 你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗
【答案】对于①,我们发现1758-1682=76,1834-1758=76,1910-1834=76,1986-1910=76,也就是说该数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986+76=2062;对于②有270-275=-5…;对于③,10-10=0,有同样的取值规律.
新知生成
　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d表示.
微点评:(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”,如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序,即从第2项起,每一项与它的前一项作差,而不是与后一项作差,切不可将减数与被减数弄颠倒.
(3)一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差尽管是常数,这个数列也不一定是等差数列,当常数不同时,就不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”.
(4)公差可以是正数、负数、0.常数列都是等差数列,公差为0.
新知运用
例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
⑤1,,,,,….
【解析】①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
【方法总结】利用定义法判定等差数列的方法:从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
巩固训练
　　(多选题)下列数列中,是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
【答案】ABD
【解析】A,B,D项满足等差数列的定义,是等差数列;
C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
探究2：等差数列的通项公式
情境设置
　　问题:你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗
【答案】设一个等差数列的首项为a1,公差为d,
由等差数列的定义可知,an-an-1=d(n∈N+,且n≥2),
思路一:an=an-1+d,故有a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,…,
归纳可得,an=a1+(n-1)d(n∈N+,且n≥2).
思路二:a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d,
左右两边分别相加可得,an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d(n≥2).
新知生成
　　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
新知运用
例2　在等差数列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
【解析】(1)an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由a6=a1+5d,得12+5d=27,解得d=3.
(4)由a7=a1+6d,得a1-2=8,解得a1=10,
所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+.
【方法总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个参数,那么
就可以由通项公式求出第四个参数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.
(3)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项,也可以判断某个数是否为该数列中的项.
巩固训练
1.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.22 C.7 D.29
【答案】A
【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,
根据题意得解得
所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.
2.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,则它的项数是　　　　.
【答案】46
【解析】由题意知d=-1-1=-2,设an=-89,则-89=a1+(n-1)d=1-2(n-1),解得n=46.
3.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项.
(2)112是数列{an}的第几项
(3)在80到110之间有多少项
【解析】设数列{an}的公差为d,
则解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,
令112=3n-5,解得n=39,
所以112是数列{an}的第39项.
(3)令80<3n-5<110,
解得28所以n的取值为29,30,…,38,共10项.
探究3：等差中项
情境设置
　　问题:由等差数列的定义可知,如果1,x,3这三个数成等差数列,那么你能求出x的值吗
【答案】由定义可知x-1=3-x,即2x=1+3,解得x=2.
新知生成
　　在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M叫作a与b的等差中项,并且2M=a+b.
微点评:(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一;
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即M=.
新知运用
例3　(1)若a=,b=,则a,b的等差中项为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　).
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】(1)A　(2)B
【解析】(1)由题意知a,b的等差中项为+=(-++)=.
(2)因为m和2n的等差中项为4,所以m+2n=8.又因为2m和n的等差中项为5,所以2m+n=10.
由解得
所以m和n的等差中项为=3.
【方法总结】若a,A,b成等差数列,则A=;反之,由A=也可得到a,A,b成等差数列.因此A是a,b的等差中项 A=.
巩固训练
　　在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【解析】由题意知,-1,a,b,c,7成等差数列,
即b是-1与7的等差中项,
则b==3,
又a是-1与b的等差中项,
则a===1.
又c是b与7的等差中项,
则c===5.
因此该数列为-1,1,3,5,7.
探究3：等差数列中多项之间的关系
情境设置
　　问题:若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),证明:am+an=ap+aq.
【答案】由等差数列的定义可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
新知生成
1.等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
2.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则有am+an=2ap.
注意点:(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同.
新知运用
例4　(1)已知等差数列{an}中,a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.
【解析】(1)(法一)设{an}的公差为d,则解得故a25=a1+24d=4+24×=40.
(法二)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(法三)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,解得a5=14,故a1+a9=2a5=28.
【方法总结】等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d的值,然后求出其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
巩固训练
　　在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.22 C.24 D.-8
【答案】C
【解析】∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.
【随堂检测】
1.给出下列数列:
(1)0,0,0,0,0,…;
(2)1,11,111,1111,…;
(3)2,22,23,24,…;
(4)-5,-3,-1,1,3,…;
(5)1,2,3,5,8,….
其中是等差数列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个　 D.4个
【答案】B
【解析】数列(1),(4)是等差数列,故选B.
2.一个等差数列的前4项依次是a,x,b,2x(b≠0,x≠0),则=(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵b是x,2x的等差中项,∴b==,
又∵x是a,b的等差中项,∴2x=a+b,∴a=,
∴=.
3.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
【答案】B
【解析】由题意得
解得
4.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】C
【解析】在等差数列{an}中,由a3+a4+a5=12,可得3a4=12,即a4=4,所以a1+a7=2a4=8.故选C.
2

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