资源简介

1.2.2　等差数列与一次函数
【学习目标】
1.熟悉等差数列的相关性质,并能够灵活应用该知识进行运算.(逻辑推理、数学运算)
2.理解等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数.(数学抽象、直观想象)
3.通过函数的引入增强学生运用等差数列公式解决问题的能力.(逻辑推理、数学运算)
4.掌握等差数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列 若构成等差数列,则公差是多少
【答案】是.公差为原来的2倍.
2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列
【答案】是.改变了首项,公差不变.
3.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,则am,an,ap,aq,…也成等差数列吗 若成等差数列,则公差是多少
【答案】成等差数列,若{an}的公差为d,则am,an,ap,aq,…的公差为(n-m)d.
4.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得,an=dn+(a1-d),那么这个等差数列的图象与一次函数y=dx+(a1-d)(其中d≠0)图象之间有什么关系
【答案】等差数列an=dn+(a1-d)的图象就是一次函数y=dx+(a1-d)图象的一个子集,是直线y=dx+(a1-d)上的均匀分布的一群孤立的点.
5.在等差数列{an}中,若an=3n+18,你能知道该数列的单调性吗 如何判断
【答案】能.若已知等差数列的通项公式为an=dn+a,可以通过n的系数判断,若d>0,数列单调递增,反之单调递减.故数列{an}是递增数列.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0,则{|an|}是递增数列. (　　)
(3)若等差数列{an}的公差d<0,则{an+nd}是递减数列. (　　)
(4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3…也是等差数列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1　 B.2 C.4　 D.6
【答案】B
【解析】由题意知a10-a2=8d,即8d=16,解得d=2.
3.若数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.
【答案】0
【解析】∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,
∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,∴2a=0,即a=0.
4.在等差数列-5,-3,-2,-,…的每相邻两项间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an},则新数列的通项公式为an=　　　　.
【答案】n-
【解析】新数列的公差d=×-3+5=,∴an=-5+(n-1)·=n-.
【合作探究】
探究1：等差数列与一次函数的关系
情境设置
　　问题1:等差数列的图象是直线吗
【答案】不是,等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成.
问题2:直线y=dx+(a1-d)的单调性如何判断 等差数列{an}的单调性又如何判断
【答案】当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;
当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;
当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.
新知生成
　　等差数列与一次函数的关系
(1)对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=dx+(a1-d).
(2)当d≠0时,y是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d);当d=0时,y=a1(a1为常数),这两种情形的函数图象都是直线.
(3)等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成.
当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;
当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;
当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.
新知运用
例1　已知(3,5),(7,13)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)画出数列{an}的图象;
(3)判断数列{an}的单调性.
【解析】(1)设首项为a1,公差为d,由已知得解得
因此an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)等差数列{an}的图象如图所示.
(3)因为d=2>0,所以数列{an}为递增数列.
【方法总结】　(1)等差数列的图象是一些孤立的点,这些点在一条直线上.(2)单调性可以根据公差的符号判断.
巩固训练
已知(5,11),(8,5)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)画出等差数列{an}的图象;
(3)判断等差数列{an}的单调性.
【解析】设数列{an}的公差为d,由题意知a5=11,a8=5,即解得
故an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21.
(2)等差数列{an}的图象如图所示.
(3)因为d=-2<0,所以数列{an}为递减数列.
探究2：等差数列的判定与证明
情境设置
　　问题1:对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗
【答案】是.根据等差数列的概念知an+1-an=an-an-1(n≥2),即an=(n≥2).
再由等差中项的概念知,对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项.
问题2:问题1的结论可以给我们什么样的启示
【答案】可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列,即证明:2an+1=an+an+2.
问题3:若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则该数列是等差数列吗
【答案】是.因为an+1-an=k(n+1)-kn=k,所以数列{an}是等差数列.
新知生成
1.等差数列的判定方法有以下三种:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+) {an}为等差数列;
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}为等差数列;
(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N+) {an}为等差数列.
2.要证明一个数列不是等差数列,只要证明其中特定三项(如前三项a1,a2,a3)不是等差数列即可.
新知运用
例2　已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)由==
===+,
得-=,n∈N+,
故数列是等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,
所以an=,n∈N+.
【方法总结】等差数列的判定与证明的关键是根据题干给出的相关条件,选择合适的判定方法.
巩固训练
　　在数列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为=2,-===2,
所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,=+2(n-1)=2n,所以an=.
探究3：an=am+(n-m)d的应用
情境设置
　　问题:已知{an}是等差数列,a3=5,d=2,若不求首项,你能求出数列{an}的通项公式吗
【答案】能.由定义可知a3=a1+2d,an=a1+(n-1)d,两式相减得an-a3=(n-3)d,即an=a3+(n-3)d.
新知生成
通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
新知运用
例3　在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
【解析】因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.
又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.
【方法总结】灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
巩固训练
已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　.
【答案】8
【解析】(法一)∵{bn}为等差数列,∴可设其公差为d,则d===2,
∴bn=b3+(n-3)d=2n-8,
∴b8=2×8-8=8.
(法二)由=,得b8=×5+(-2)=2×5+(-2)=8.
探究4：由等差数列构造新等差数列
情境设置
　　问题1:若等差数列{an}为1,3,5,7,…,2n-1,则数列{an+2},{2an}是等差数列吗
【答案】因为等差数列的通项为an=2n-1,则an+2=2n-1+2=2n+1,2an=2(2n-1)=4n-2,可判断数列{an+2},{2an}都是等差数列.
问题2:一般地,若{an}为等差数列,则{an+c},{can}也是等差数列,你还知道等差数列的其他性质吗
【答案】若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列,则有
数列 结论
{c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N+)
{pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p,q为常数)
新知生成
1.若{an},{bn}均为等差数列,且公差分别为d1,d2,则数列{pan},{an+q},{an+bn},{an-bn}也为等差数列,且公差分别为pd1,d1,d1+d2,d1-d2.
2.在等差数列中,按顺序等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+m,an+2m,…为等差数列,公差为md.
新知运用
例4　(1)设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　;
(2)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,若重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…也是等差数列,则它的公差为　　　　.
【答案】(1)35　(2)2d
【解析】(1)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an+bn}也是等差数列,故由等差中项的性质得,(a5+b5)+(a1+b1)=2(a3+b3),即a5+b5+7=2×21,解得a5+b5=35.
(2)由题意得,a1+a4=2a1+3d,a2+a5=2a1+5d,a3+a6=2a1+7d,…,an+an+3=2a1+(2n+1)d.
令bn=an+an+3,则bn+1-bn=[2a1+(2n+3)d]-[2a1+(2n+1)d]=2d,
因此等差数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的公差为2d.
【方法总结】注意等差数列与一次函数之间的关系,等差数列的性质与一次函数性质之间的联系是运用等差数列性质解题的关键.
巩固训练
1.下列说法中正确的有(　　).
①若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;
②若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;
③若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;
④若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】对于①,取a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,故①错误;
对于②,a=b=c 2a=2b=2c,故②正确;
对于③,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=k·2b+4=2(kb+2),故③正确;
对于④,a=b=c≠0 ==,故④正确.
综上可知选B.
2.已知数列{an}满足=+4,且a1=1,an>0,则an=　　　　.
【答案】,n∈N+
【解析】∵-=4,
∴{}是等差数列,且首项=1,公差d=4,
∴=1+(n-1)×4=4n-3.
又∵an>0,∴an=,n∈N+.
【随堂检测】
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-6 C.4 D.-3
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,则d==-6.
2.在公差为d的等差数列{an}中,“d>1”是“{an}是递增数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若d>1,则 n∈N+,an+1-an=d>1>0,则{an}是递增数列;若{an}是递增数列,则 n∈N+,an+1-an=d>0,推不出d>1.则“d>1”是“{an}是递增数列”的充分不必要条件,故选A.
3.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　).
A.7 B.5 C.3 D.1
【答案】D
【解析】{2an-3bn}的公差为2d1-3d2=4-3=1.
4.已知数列是等差数列,且a3=2,a15=30,求a9.
【解析】令bn=,由题意可知b3==,b15==2,则等差数列{bn}的公差d==,则b9=b3+(9-3)d=,则a9=9b9=12.
21.2.2　等差数列与一次函数
【学习目标】
1.熟悉等差数列的相关性质,并能够灵活应用该知识进行运算.(逻辑推理、数学运算)
2.理解等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数.(数学抽象、直观想象)
3.通过函数的引入增强学生运用等差数列公式解决问题的能力.(逻辑推理、数学运算)
4.掌握等差数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列 若构成等差数列,则公差是多少
2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列
3.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,则am,an,ap,aq,…也成等差数列吗 若成等差数列,则公差是多少
4.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得,an=dn+(a1-d),那么这个等差数列的图象与一次函数y=dx+(a1-d)(其中d≠0)图象之间有什么关系
5.在等差数列{an}中,若an=3n+18,你能知道该数列的单调性吗 如何判断
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0,则{|an|}是递增数列. (　　)
(3)若等差数列{an}的公差d<0,则{an+nd}是递减数列. (　　)
(4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3…也是等差数列. (　　)
2.在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1　 B.2 C.4　 D.6
3.若数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.
4.在等差数列-5,-3,-2,-,…的每相邻两项间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an},则新数列的通项公式为an=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差数列与一次函数的关系
情境设置
　　问题1:等差数列的图象是直线吗
问题2:直线y=dx+(a1-d)的单调性如何判断 等差数列{an}的单调性又如何判断
新知生成
　　等差数列与一次函数的关系
(1)对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=dx+(a1-d).
(2)当d≠0时,y是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d);当d=0时,y=a1(a1为常数),这两种情形的函数图象都是直线.
(3)等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成.
当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;
当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;
当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.
新知运用
例1　已知(3,5),(7,13)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)画出数列{an}的图象;
(3)判断数列{an}的单调性.
【方法总结】　(1)等差数列的图象是一些孤立的点,这些点在一条直线上.(2)单调性可以根据公差的符号判断.
巩固训练
已知(5,11),(8,5)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)画出等差数列{an}的图象;
(3)判断等差数列{an}的单调性.
探究2：等差数列的判定与证明
情境设置
　　问题1:对于给定的等差数列{an},从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗
问题2:问题1的结论可以给我们什么样的启示
问题3:若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则该数列是等差数列吗
新知生成
1.等差数列的判定方法有以下三种:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+) {an}为等差数列;
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}为等差数列;
(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N+) {an}为等差数列.
2.要证明一个数列不是等差数列,只要证明其中特定三项(如前三项a1,a2,a3)不是等差数列即可.
新知运用
例2　已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【方法总结】等差数列的判定与证明的关键是根据题干给出的相关条件,选择合适的判定方法.
巩固训练
　　在数列{an}中,a1=,an-an+1=2anan+1.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
探究3：an=am+(n-m)d的应用
情境设置
　　问题:已知{an}是等差数列,a3=5,d=2,若不求首项,你能求出数列{an}的通项公式吗
新知生成
通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m).
新知运用
例3　在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
【方法总结】灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
巩固训练
已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　.
探究4：由等差数列构造新等差数列
情境设置
　　问题1:若等差数列{an}为1,3,5,7,…,2n-1,则数列{an+2},{2an}是等差数列吗
问题2:一般地,若{an}为等差数列,则{an+c},{can}也是等差数列,你还知道等差数列的其他性质吗
新知生成
1.若{an},{bn}均为等差数列,且公差分别为d1,d2,则数列{pan},{an+q},{an+bn},{an-bn}也为等差数列,且公差分别为pd1,d1,d1+d2,d1-d2.
2.在等差数列中,按顺序等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+m,an+2m,…为等差数列,公差为md.
新知运用
例4　(1)设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　;
(2)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,若重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…也是等差数列,则它的公差为　　　　.
【方法总结】注意等差数列与一次函数之间的关系,等差数列的性质与一次函数性质之间的联系是运用等差数列性质解题的关键.
巩固训练
1.下列说法中正确的有(　　).
①若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;
②若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;
③若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;
④若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知数列{an}满足=+4,且a1=1,an>0,则an=　　　　.
【随堂检测】
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-6 C.4 D.-3
2.在公差为d的等差数列{an}中,“d>1”是“{an}是递增数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　).
A.7 B.5 C.3 D.1
4.已知数列是等差数列,且a3=2,a15=30,求a9.
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