资源简介

1.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等差数列前n项和的公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.阅读教材,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了问题的什么特征
2.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式共涉及几个量 如何求这些量
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差,可求S10. (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知等差数列的首项、末项a17,可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=(　　).
A.n B.n(n+1)
C.n(n-1) D.
3.已知在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
4.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1：等差数列的前n项和公式
情境设置
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层,奢靡程度可见一斑.
　　问题1:上述情境的图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能快速地求出吗
问题2:你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗
新知生成
等差数列前n项和公式为Sn==na1+,其推导方法是倒序相加法.
新知运用
例1　在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.
【方法总结】等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值:
等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般利用公式列出关于基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
(2)结合等差数列的性质解题:
等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
巩固训练
已知在等差数列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
探究2：利用等差数列前n项和公式判断等差数列
情境设置
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题:从函数的观点分析,Sn关于n的函数具有什么特点
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
新知运用
例2　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.
(2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.
(3)验证a1与an的关系:
①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;
②若a1不适合an,则an=
巩固训练
1.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是　　　　.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
探究3：求数列{|an|}的前n项和
情境设置
　　问题:若an=16-3n,如何求数列{|an|}的前40项的和S40
新知生成
根据通项公式判断数列{an}是先正后负,还是先负后正,在正、负分界点处分为两段,分别去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题.
新知运用
例3　若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【方法总结】已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤:
(1)确定{an}的通项公式;
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,再利用数列{an}的前n项和公式求解;
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
巩固训练
　　已知等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100 B.99 C.98 D.97
2.已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和为(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则它的通项公式是an=　　　　.
4.已知在等差数列{an}中,
(1)a1=,d=-,Sn=-15,求n;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
21.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等差数列前n项和的公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.阅读教材,高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了问题的什么特征
【答案】高斯的计算方法:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯抓住了与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和这个特征.
2.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
【答案】等差数列的前n项和公式Sn=na1+d与首项a1、公差d和项数n这三个量有关;公式Sn=与首项a1、末项an和项数n这三个量有关.
3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式共涉及几个量 如何求这些量
【答案】这些公式共涉及5个量,即a1,d,n,an,Sn,只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差,可求S10. (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知等差数列的首项、末项a17,可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.若在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn=(　　).
A.n B.n(n+1)
C.n(n-1) D.
【答案】D
【解析】Sn=na1+d=n+==(n∈N+),故选D.
3.已知在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=(　　).
A.10 B.12 C.20 D.24
【答案】D
【解析】由S10==120,得a1+a10=24.
4.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d=　　　　.
【答案】-
【解析】S10=10a1+d=70,又a1=10,所以d=-.
【合作探究】
探究1：等差数列的前n项和公式
情境设置
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层,奢靡程度可见一斑.
　　问题1:上述情境的图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能快速地求出吗
【答案】
S21==231.
问题2:你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗
【答案】设Sn是等差数列{an}的前n项和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d],
∴2Sn=(a1+an)·n,
由此可得等差数列{an}的前n项和公式为Sn=.
新知生成
等差数列前n项和公式为Sn==na1+,其推导方法是倒序相加法.
新知运用
例1　在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;
(2)已知a1=4,S8=172,求a8和d.
【解析】(1)由题意知
解得
故a8=a6+2d=10+2×3=16,
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,
∴d=5.
【方法总结】等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值:
等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般利用公式列出关于基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
(2)结合等差数列的性质解题:
等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
巩固训练
已知在等差数列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9;
(2)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由题意得,Sn===-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
探究2：利用等差数列前n项和公式判断等差数列
情境设置
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题:从函数的观点分析,Sn关于n的函数具有什么特点
【答案】Sn=na1+d=n2+a1-n=An2+Bn,其中A=,B=a1-,
故Sn关于n的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式.
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,则Sn=An2+Bn,其中A=,B=a1-.
新知运用
例2　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
【解析】∵Sn=2n2-3n-1,　①
∴当n=1时,a1=S1=2-3-1=-2,
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5(n≥2),
经检验,当n=1时,an=4n-5不成立,
故an=
故数列{an}不是等差数列,数列{an}从第二项起是以4为公差的等差数列.
【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.
(2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.
(3)验证a1与an的关系:
①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;
②若a1不适合an,则an=
巩固训练
1.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是　　　　.
【答案】-1
【解析】∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,∴Sn=n2+2n+1+λ,即1+λ=0,∴λ=-1.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
【解析】当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.
又a1=1不满足an=2n,
∴数列{an}的通项公式是an=
∵a2-a1=4-1=3≠2,∴{an}不是等差数列,数列{an}从第二项起是以2为公差的等差数列.
探究3：求数列{|an|}的前n项和
情境设置
　　问题:若an=16-3n,如何求数列{|an|}的前40项的和S40
【答案】数列{an}的前5项为正,第6项开始为负,
所以S40=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+a40)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+a40)=2×-=70+1820=1890.
新知生成
根据通项公式判断数列{an}是先正后负,还是先负后正,在正、负分界点处分为两段,分别去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题.
新知运用
例3　若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【解析】∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.
当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=na1+d=13n+×(-4)=15n-2n2;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn
=2×-(15n-2n2)=2n2-15n+56.
∴Tn=
【方法总结】已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤:
(1)确定{an}的通项公式;
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,再利用数列{an}的前n项和公式求解;
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
巩固训练
　　已知等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由S2=16,S4=24,得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N+).
由an≥0,解得n≤5,则
①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.
②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50.
故Tn=
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100 B.99 C.98 D.97
【答案】C
【解析】∵{an}是等差数列,设其公差为d,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又∵a10=8,∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
2.已知在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和为(　　).
A.160 B.180 C.200 D.220
【答案】B
【解析】∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18=18,∴S20==10×18=180.
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则它的通项公式是an=　　　　.
【答案】2n(n∈N+)
【解析】当n=1时,a1=S1=1+1=2;
当n≥2且n∈N+时,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n,经检验,n=1也适合该式.
故an=2n(n∈N+).
4.已知在等差数列{an}中,
(1)a1=,d=-,Sn=-15,求n;
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
【解析】(1)由Sn=n·+-·=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).
(2)由Sn===-1022,
解得n=4.又an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
2

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