资源简介

1.2.3　课时2　等差数列前n项和公式的应用
【学习目标】
1.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
2.理解并应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在等差数列{an}中,当a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值
【答案】当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值.
2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值
【答案】∵an=2n-37,
∴an+1-an=2>0,
∴{an}为递增数列.
令an=2n-37≥0,解得n≥18.5,
∴a18<0,a19>0,∴S18最小,
∴当n=18时,Sn取得最小值.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-时取得. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值. (　　)
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N+),则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值. (　　)
(4)若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,则一定有=. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(多选题)已知等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小
D.当Sn>0时,n的最小值为8
【答案】ABD
【解析】设等差数列{an}的公差为d.
因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.
又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,所以a1<0,故A,B正确.
因为Sn=n2+a1-n=n2-n,
所以由n=-=,可知当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误.
令Sn=n2-n>0,解得n<0(舍去)或n>7,即当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.
故选ABD.
3.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则Sn的最小值为　　　　.
【答案】-2
【解析】由Sn=n2-3n=n-2-,可知当n=1或n=2时,Sn的最小值为-2.
4.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,则该数列前　　　　项的和最大.
【答案】10或11
【解析】令an≥0得-n2+10n+11≥0,
即n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
∵n∈N+,∴该数列前10项均为正数,第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大.
【合作探究】
探究1：等差数列前n项和的最值
情境设置
例1　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n项和Sn的最大值.
【解析】(法一)设等差数列{an}的公差为d,
因为S8=S18,a1=25,
所以8×25+d=18×25+d,
解得d=-2,
所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为169.
(法二)同方法一,求出公差d=-2,
所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
因为a1=25>0,
所以
解得12≤n≤13.
又因为n∈N+,
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
(法三)因为S8=S18,
所以a9+a10+…+a18=0,
由等差数列的性质得a13+a14=0,即a1+12d+a1+13d=0,解得d=-2<0,
所以a13>0,a14<0,
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
(法四)设Sn=An2+Bn.
因为S8=S18,a1=25,
所以二次函数图象的对称轴为直线x==13,且图象开口向下,
所以当n=13时,Sn取得最大值.
　　由题意得
解得
所以Sn=-n2+26n,
所以S13=169,即Sn的最大值为169.
【方法总结】1.将Sn=na1+d=n2+a1-n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决.
2.邻项变号法
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值.
巩固训练
　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,则当Sn取得最大值时n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】由题意,等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,
根据等差数列的性质与等差数列的前n项和公式,
可得a6+a8=2a7=6,S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,
解得a7=3,a8=1,
则d=a8-a7=-2,
可求得等差数列{an}的通项公式为an=17-2n(n∈N+),
令an≥0,即17-2n≥0,解得n≤.
又由n∈N+,可得在等差数列{an}中,当1≤n≤8,n∈N+时,an>0;当n≥9,n∈N+时,an<0,
所以当Sn取得最大值时n的值为8,故选D.
探究2：等差数列前n项和的性质
情境设置
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题1:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
【答案】当m=2时,S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d,S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d,
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,公差为m2d.
问题2:an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项与等差数列的求和公式进行推导.
【答案】S2n-1==(2n-1)an.
问题3:S奇,S偶具有什么关系 对n分类讨论.
【答案】若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd,===;
若项数为2n-1,则由等差数列的性质可知,a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an,所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an,S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan,所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(这里an=a中,a中是中间项),==.
问题4:数列是什么数列
【答案】已知数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,所以有=+a1-,=+a1-.因为-=+a1---a1-=,所以数列是首项为a1,公差为的等差数列.
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
1.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差数列,公差为m2d.
2.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
3.当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
4.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
5.若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
新知运用
例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　;
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　　　　;
(3)已知项数为奇数的等差数列{an},奇数项之和为44,偶数项之和为33,则该数列的项数为　　　　,中间项为　　　　.
【答案】(1)60　(2)5　(3)7　11
【解析】(1)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=20×2-10=30,∴S30=60.
(2)由等差数列前n项和的性质知,====7+,
∴当n=1,2,3,5,11时,为整数,
∴使得为整数的正整数n的个数是5.
(3)设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1,∴=====,解得n=3,∴项数为2n+1=7.
∵S奇=(n+1)an+1=44,∴an+1=11.
【方法总结】　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差数列;
(2)通过等差数列的前n项和与通项的关系即可求得的表达式.
巩固训练
1.已知等差数列{an}中,S3=3,S6=9,则S12=(　　).
A.12　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.30
【答案】D
【解析】根据题意得,在等差数列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,…也成等差数列,又由S3=3,S6=9,得S6-S3=6,则S9-S6=9,S12-S9=12,则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30.
2.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=　　　　.
【答案】20
【解析】(法一)设数列{an}的公差为d,则a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.
(法二)由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差数列,设此数列的公差为D,
　　则5+2D=10,所以D=,
所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.
3.若一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为　　　.
【答案】5
【解析】设等差数列前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.
由已知条件,得
解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
【随堂检测】
1.若在等差数列中,a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
【答案】D
【解析】因为数列{an}是等差数列,所以a4+a10=2a7,
由a4+a10<0,得a7<0,
又a8>0,所以等差数列{an}的公差d>0,即等差数列{an}是递增数列,且前7项均是负数,
所以前n项和Sn中最小的是S7.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】因为S4=2(a2+a3)≥10,所以a2+a3≥5.又S5=5a3≤15,所以a3≤3.而a4=3a3-(a2+a3),故a4≤4,当且仅当a2=2,a3=3时等号成立,所以a4的最大值为4.故选C.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
【答案】B
【解析】由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,-=2,则=　　　　.
【答案】2018
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和,
∴是等差数列,设其公差为d.
∵-=2,∴2d=2,解得d=1.
∵a1=-2,∴=-2.
∴=-2+(n-1)×1=n-3(n∈N+).
∴=2018.
21.2.3　课时2　等差数列前n项和公式的应用
【学习目标】
1.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
2.理解并应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在等差数列{an}中,当a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值
2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-时取得. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值. (　　)
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N+),则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值. (　　)
(4)若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,则一定有=. (　　)
2.(多选题)已知等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小
D.当Sn>0时,n的最小值为8
3.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则Sn的最小值为　　　　.
4.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,则该数列前　　　　项的和最大.
【合作探究】
探究1：等差数列前n项和的最值
情境设置
例1　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n项和Sn的最大值.
【方法总结】1.将Sn=na1+d=n2+a1-n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决.
2.邻项变号法
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值.
巩固训练
　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,则当Sn取得最大值时n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
探究2：等差数列前n项和的性质
情境设置
　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
问题1:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题2:an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项与等差数列的求和公式进行推导.
问题3:S奇,S偶具有什么关系 对n分类讨论.
问题4:数列是什么数列
新知生成
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
1.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差数列,公差为m2d.
2.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
3.当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1).
4.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
5.若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
新知运用
例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　;
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　　　　;
(3)已知项数为奇数的等差数列{an},奇数项之和为44,偶数项之和为33,则该数列的项数为　　　　,中间项为　　　　.
【方法总结】　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差数列;
(2)通过等差数列的前n项和与通项的关系即可求得的表达式.
巩固训练
1.已知等差数列{an}中,S3=3,S6=9,则S12=(　　).
A.12　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.30
2.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=　　　　.
3.若一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为　　　.
【随堂检测】
1.若在等差数列中,a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,-=2,则=　　　　.
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