资源简介

1.3.1　等比数列及其通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义,掌握等比中项的概念并会应用.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握等比数列的通项公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.阅读教材第22页案例中的4个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
【答案】通过除法运算发现:从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一常数.
2.等比数列的定义是什么
【答案】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个不为0的常数,那么这个数列就叫作等比数列.
3.等比数列的公比q能否为零
【答案】不能.根据等比数列的定义,公比为每一项与前一项的比,即=q,若q=0,则an=0,所以数列中每一项都为零,所以an-1=0,这样比值无意义,所以q≠0.
4.若c是a,b的等比中项,则c2=ab,反之成立吗
【答案】不一定成立.在c2=ab中,若c=0,则a,b中至少有一个为0,此时三个数不成等比数列,则c不是a,b的等比中项;若a,b,c均为非零常数,反之也成立.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,则{an}是等比数列. (　　)
(2)在等比数列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常数列一定是等比数列. (　　)
(4)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为(　　).
A.an=2×3n+1 B.an=3×2n+1
C.an=2×3n-1 D.an=3×2n-1
【答案】C
【解析】由已知可得a1=2,q=3,
　　则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2×3n-1.
3.下列数列为等比数列的是(　　).
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0,…
【答案】B
【解析】结合等比数列的定义可知选项B正确.
4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=　　　　.
【答案】
【解析】∵a2=a1q=2,　①
a5=a1q4=,　②
∴②÷①得q3=,∴q=.
【合作探究】
探究1：等比数列的概念
情境设置
　　(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何 ”
(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题:“一文(钱)日增一倍,倍至三十日,问计几何 ”
(3)“诸葛统兵”问题:“诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每人旗头俱八个,每个旗头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”
问题1:分别写出这三个问题所涉及的数组.
【答案】(1)9,92,93,94,95,96,97,98.
(2)2,22,23,…,230.
(3)8,82,83,84,85,86,87,88.
问题2:观察这三个问题,你能发现它们的共同特点吗
【答案】对于数列(1),从第2项起,每一项与前一项的比都等于9;对于数列(2),从第2项起,每一项与前一项的比都等于2;对于数列(3),从第2项起,每一项与前一项的比都等于8.
也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.
问题3:常数列是等差数列吗 是等比数列吗
【答案】是等差数列,但不一定是等比数列,如常数列0,0,0,….
问题4:是否存在既是等差数列又是等比数列的数列
【答案】存在,如数列3,3,3,…既是等差数列又是等比数列.
新知生成
　　等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
新知运用
例1　判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】(1)不是等比数列;(2)是等比数列,公比为1;(3)是等比数列,公比为;(4)不是等比数列;(5)是等比数列,公比为-4.
【方法总结】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0(对于含参数的数列则需要分类讨论).
巩固训练
　　以下数列中,能判定是等比数列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①数列1,2,6,18,…;②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】①数列不符合等比数列的定义,不是等比数列;
②前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;
③当a=0时,不是等比数列;
④该数列符合等比数列的定义,是等比数列.
探究2：等比数列的通项公式
情境设置
　　问题1:类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式
【答案】(1)累乘法:
设在等比数列{an}中,=q(n∈N+,n≥2,q为非零常数),则=q,=q,…,=q,
将以上(n-1)个等式相乘,得··…·=qn-1,
整理得an=a1qn-1,
当n=1时,上面的式子也成立,
所以等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
(2)归纳法:
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则据其定义可得,
a2÷a1=q,即a2=a1·q,
a3÷a2=q,即a3=a2·q=a1·q2,
a4÷a3=q,即a4=a3·q=a1·q3,
…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
问题2:你能由等差数列中的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗
【答案】类比可得an=amqn-m.由等比数列的定义可知an=a1qn-1,am=a1qm-1,两式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m,即an=amqn-m(n,m∈N+).
新知生成
1.首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0).
2.等比数列通项公式的推广和变形:an=amqn-m.
新知运用
例2　已知在等比数列{an}中,
(1)a1=1,a4=8,求an;
(2)an=625,n=4,q=5,求a1;
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
【解析】(1)因为a4=a1q3=8,a1=1,
所以8=q3,解得q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1===5.
(3)因为
所以由,得q=,从而a1=32.
又an=1,所以32×n-1=1,
即26-n=20,故n=6.
【方法总结】等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这4个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这2个基本量,问题便迎刃而解.
巩固训练
求下列等比数列{an}的通项公式.
(1)a1=-2,a3=-8.
(2)a1=5,且2an+1=-3an.
(3)a5=8,a7=2,an>0.
【解析】(1)∵a3=a1q2,∴q2=4,解得q=±2,
∴an=(-2)×2n-1=-2n或an=(-2)×(-2)n-1=(-2)n.
(2)∵q==-,且a1=5,∴an=5×-n-1.
(3)由a7=a5·q2,得q2===,解得q=±,
∵an>0,∴q=,
∴an=a5·qn-5=8×n-5=n-8.
探究3：等比中项
情境设置
　　问题:任意两个不为零的数是否一定都有等比中项 若有,是否唯一
【答案】不一定,只有当两个数同号,即两个数之积大于零时,这两个数才有等比中项且有两个等比中项,这两个等比中项互为相反数.
新知生成
在a与b中间插入数G,使a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项,且G=±(ab>0).
新知运用
例3　(1)2与8的等比中项为　　　　;
(2)若1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,则a+b=　　　　.
【答案】(1)±4　(2)0或6
【解析】(1)由题意得,2与8的等比中项为±=±4.
(2)因为1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,
所以a==3,b=±=±3,
所以a+b的值为0或6.
【方法总结】　(1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,a,b异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
巩固训练
1.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　).
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
【答案】B
【解析】∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,∴b=-3,
∵a,c必同号,∴ac=b2=9.
2.若b既是a和c的等差中项,又是a和c的等比中项,则数列a,b,c的公比为　　　　.
【答案】1
【解析】由题意可知2b=a+c,且b2=ac,
∴2=ac,整理得(a-c)2=0,
∴a=c=b,∴a,b,c的公比为1.
探究4：等比数列通项公式的性质
情境设置
　　问题:你能由等差数列中的“若m+n=k+l,m,n,k,l∈N+,则am+an=ak+al”类比出等比数列中相似的性质吗
【答案】类比可得aman=akal,其中m+n=k+l,m,n,k,l∈N+.
推导过程:因为am=a1qm-1,an=a1qn-1,ak=a1qk-1,al=a1ql-1,
所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2,
因为m+n=k+l,所以aman=akal.
新知生成
　　设数列{an}为等比数列.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.
(2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
注意点:(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,则amanap=axayaz;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等比数列中,与首、末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
新知运用
例4　已知{an}为等比数列.
(1)若等比数列{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
【解析】(1)在等比数列{an}中,a2a4=,∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)由等比中项的性质,得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
【方法总结】利用等比数列的性质解题的基本思路:(1)充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中,常涉及次数较高的指数运算,通常建立关于a1,q的方程组求解,但这样解起来很麻烦.此时,利用等比数列的性质求解可使问题简单明了.另外,在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
巩固训练
　　若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【答案】50
【解析】根据等比数列的性质可得a10a11=a9a12,所以a10a11=e5.令S=ln a1+ln a2+…+ln a20,则S=ln a20+ln a19+…+ln a1,于是2S=20ln(a1a20)=20ln(a10a11)=20ln e5=100,所以S=50.
【随堂检测】
1.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a4=16,则a1=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意知a4=16=a1q3,则16=a1·23,解得a1=2.
2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足(　　).
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
【答案】D
【解析】因为a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,所以a需满足a≠0,a(1-a)≠0,a(1-a)2≠0,所以a≠0且a≠1.
3.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
【答案】B
【解析】由已知得a1+a2=1,a3+a4=9,∴q2=9,
∴q=3或q=-3(舍去),∴a4+a5=(a3+a4)q=27.
4.若在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则通项公式为an=(　　).
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
【答案】A
【解析】由a5=-8a2,知=-8=q3,所以q=-2.因为a5>a2,所以a5>0,a2<0,
所以a1=>0,所以a1=1,所以an=(-2)n-1.
21.3.1　等比数列及其通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义,掌握等比中项的概念并会应用.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握等比数列的通项公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.阅读教材第22页案例中的4个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
2.等比数列的定义是什么
3.等比数列的公比q能否为零
4.若c是a,b的等比中项,则c2=ab,反之成立吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,则{an}是等比数列. (　　)
(2)在等比数列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常数列一定是等比数列. (　　)
(4)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列. (　　)
2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为(　　).
A.an=2×3n+1 B.an=3×2n+1
C.an=2×3n-1 D.an=3×2n-1
3.下列数列为等比数列的是(　　).
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0,…
4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=　　　　.
【合作探究】
探究1：等比数列的概念
情境设置
　　(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何 ”
(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题:“一文(钱)日增一倍,倍至三十日,问计几何 ”
(3)“诸葛统兵”问题:“诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每人旗头俱八个,每个旗头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”
问题1:分别写出这三个问题所涉及的数组.
问题2:观察这三个问题,你能发现它们的共同特点吗
问题3:常数列是等差数列吗 是等比数列吗
问题4:是否存在既是等差数列又是等比数列的数列
新知生成
　　等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
新知运用
例1　判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【方法总结】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0(对于含参数的数列则需要分类讨论).
巩固训练
　　以下数列中,能判定是等比数列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①数列1,2,6,18,…;②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究2：等比数列的通项公式
情境设置
　　问题1:类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式
问题2:你能由等差数列中的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗
新知生成
1.首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0).
2.等比数列通项公式的推广和变形:an=amqn-m.
新知运用
例2　已知在等比数列{an}中,
(1)a1=1,a4=8,求an;
(2)an=625,n=4,q=5,求a1;
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
【方法总结】等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这4个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这2个基本量,问题便迎刃而解.
巩固训练
求下列等比数列{an}的通项公式.
(1)a1=-2,a3=-8.
(2)a1=5,且2an+1=-3an.
(3)a5=8,a7=2,an>0.
探究3：等比中项
情境设置
　　问题:任意两个不为零的数是否一定都有等比中项 若有,是否唯一
新知生成
在a与b中间插入数G,使a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项,且G=±(ab>0).
新知运用
例3　(1)2与8的等比中项为　　　　;
(2)若1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,则a+b=　　　　.
【方法总结】　(1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,a,b异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
巩固训练
1.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　).
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2.若b既是a和c的等差中项,又是a和c的等比中项,则数列a,b,c的公比为　　　　.
探究4：等比数列通项公式的性质
情境设置
　　问题:你能由等差数列中的“若m+n=k+l,m,n,k,l∈N+,则am+an=ak+al”类比出等比数列中相似的性质吗
新知生成
　　设数列{an}为等比数列.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.
(2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
注意点:(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,则amanap=axayaz;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等比数列中,与首、末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
新知运用
例4　已知{an}为等比数列.
(1)若等比数列{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
【方法总结】利用等比数列的性质解题的基本思路:(1)充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中,常涉及次数较高的指数运算,通常建立关于a1,q的方程组求解,但这样解起来很麻烦.此时,利用等比数列的性质求解可使问题简单明了.另外,在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
巩固训练
　　若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【随堂检测】
1.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a4=16,则a1=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足(　　).
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
3.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
4.若在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则通项公式为an=(　　).
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
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