资源简介

1.3.2　等比数列与指数函数
【学习目标】
1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理)
2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模)
3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算)
4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,当a1与q分别满足什么条件时,{an}是递增数列、递减数列
2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列,那么数列{lg an}也是等比数列吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. (　　)
(2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　　)
2.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　).
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
4.已知等比数列{an}的公比为q,首项a1>0,则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【合作探究】
探究1：等比数列与指数函数的关系
情境设置
　　已知在等比数列{an}中,a2=3,a5=.
问题1:求数列{an}的通项公式.
问题2:画出数列{an}的图象.
问题3:判断数列{an}的单调性.
新知生成
1.等比数列{an}的图象
由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqx(c为常数)的图象,而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成等比数列{an}的图象.
值得指出的是,当等比数列的公比q=1时,等比数列的各项都为常数a1,其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点.
2.等比数列的单调性
当q>1时,
若a1>0,则等比数列{an}是递增数列;
若a1<0,则等比数列{an}是递减数列.
当q=1时,等比数列{an}是非零的常数列.
当0若a1>0,则等比数列{an}是递减数列;
若a1<0,则等比数列{an}是递增数列.
当q<0时,等比数列{an}是摆动数列.
新知运用
例1　已知等比数列{an}是递增数列,若a5-a1=60,a4-a2=24,则公比q为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2 C.或-2 D.2或
【方法总结】涉及求公比的问题,先由已知条件得出关于实数q的等式,解出q的值,进一步求出a1的值和数列{an}的通项公式,最后对数列{an}的单调性进行验证,由此可得出结果.
巩固训练
　　已知数列{an}满足:① n∈N+,an+1>an;② n∈N+,an+1=tan(t为常数);③ M>0,使得an探究2：等比数列的判定与证明
情境设置
　　问题1:利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
问题2:在数列{an}中,若an+1=2an,则数列{an}是等比数列吗
问题3:若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1,q为非零常数,n∈N+).反之,能说明数列{an}是等比数列吗
问题4:如何证明数列{an+1}是等比数列
新知生成
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列.
(4)构造法:在条件中出现an+1=kan+b的关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
新知运用
例2　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.
【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法,注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任意一项不等于零.
巩固训练
　　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2-an,求证:{an}为等比数列.
探究3：由等比数列构造新等比数列
情境设置
　　问题:等比数列{an}的前4项分别为1,2,4,8,判断下列结论是否正确.
.
新知生成
1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{|an|},{}都是等比数列,且公比分别是q,,|q|,q2.
3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和.
注意点:在构造新的等比数列时,要注意新数列中有的项是否为0,比如公比q=-1时,连续相邻两项的和都是0,故不能构成等比数列.
新知运用
例3　如果数列{an}是等比数列,那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【方法总结】由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中的项是否为0,主要是针对q<0的情况.
巩固训练
　　设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是长、宽分别为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,3,…),则{An}为等比数列的充要条件为(　　).
A.{an}是等比数列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
2.等比数列{an}为单调递减数列,写出满足上述条件的一个数列{an}的通项公式:　　　　.
3.某工厂2022年1月的生产总值为a万元,计划从2022年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,则到2023年8月底该厂的生产总值为　　　万元.
4.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).证明:数列是等比数列.
21.3.2　等比数列与指数函数
【学习目标】
1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理)
2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模)
3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算)
4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,当a1与q分别满足什么条件时,{an}是递增数列、递减数列
【答案】(1)或 {an}为递增数列;
(2)或 {an}为递减数列.
2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列,那么数列{lg an}也是等比数列吗
【答案】不是等比数列,是等差数列.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. (　　)
(2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】(法一)∵a3,a5的等比中项为±a4,
∴a3a5=,
又a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),即-4a4+4=0,解得a4=2.
又∵q3===8,∴q=2,
∴a2=a1q=×2=.
(法二)∵a3a5=4(a4-1),
∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1),
将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,
解得q=2,
∴a2=a1q=.
3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　).
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
【答案】B
【解析】∵=·=q·q=q2,n≥2且n∈N+,
∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.
4.已知等比数列{an}的公比为q,首项a1>0,则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若q<0,则等比数列{an}为摆动数列,由于等比数列{an}为递减数列,故q>0.
若a1>0,则an=a1qn-1>0,
因为an+1所以q<1,
所以a1>0,等比数列{an}为递减数列 0所以若a1>0,则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件.
【合作探究】
探究1：等比数列与指数函数的关系
情境设置
　　已知在等比数列{an}中,a2=3,a5=.
问题1:求数列{an}的通项公式.
【答案】设公比为q,则有解得所以数列{an}的通项公式是an=6×n-1.
问题2:画出数列{an}的图象.
【答案】数列{an}的图象如图所示.
问题3:判断数列{an}的单调性.
【答案】由图可知该数列是单调递减数列.
新知生成
1.等比数列{an}的图象
由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqx(c为常数)的图象,而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成等比数列{an}的图象.
值得指出的是,当等比数列的公比q=1时,等比数列的各项都为常数a1,其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点.
2.等比数列的单调性
当q>1时,
若a1>0,则等比数列{an}是递增数列;
若a1<0,则等比数列{an}是递减数列.
当q=1时,等比数列{an}是非零的常数列.
当0若a1>0,则等比数列{an}是递减数列;
若a1<0,则等比数列{an}是递增数列.
当q<0时,等比数列{an}是摆动数列.
新知运用
例1　已知等比数列{an}是递增数列,若a5-a1=60,a4-a2=24,则公比q为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2 C.或-2 D.2或
【答案】D
【解析】因为等比数列{an}是递增数列,则数列{an}的公比q满足q>0且q≠1,
所以====,即2q2-5q+2=0,解得q=或q=2.
若q=,则a4-a2=a1q(q2-1)=-a1=24,解得a1=-64,
此时an=a1qn-1=-64×,所以数列{an}为递增数列,符合题意;
若q=2,则a4-a2=a1q(q2-1)=6a1=24,解得a1=4,
此时an=a1qn-1=4×2n-1=2n+1,所以数列{an}为递增数列,符合题意.
综上所述,q=或q=2.故选D.
【方法总结】涉及求公比的问题,先由已知条件得出关于实数q的等式,解出q的值,进一步求出a1的值和数列{an}的通项公式,最后对数列{an}的单调性进行验证,由此可得出结果.
巩固训练
　　已知数列{an}满足:① n∈N+,an+1>an;② n∈N+,an+1=tan(t为常数);③ M>0,使得an【答案】-(答案不唯一)
【解析】由①②知,数列{an}是递增的等比数列,所以或
由③知, M>0,使得an所以an=-满足题意.
探究2：等比数列的判定与证明
情境设置
　　问题1:利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
【答案】关键是能够证明(n∈N+)是一个非零常数.
问题2:在数列{an}中,若an+1=2an,则数列{an}是等比数列吗
【答案】不一定.当an≠0时,数列{an}是等比数列;当an=0时,数列{an}不是等比数列.
问题3:若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1,q为非零常数,n∈N+).反之,能说明数列{an}是等比数列吗
【答案】能.根据等比数列的定义可以判断.
问题4:如何证明数列{an+1}是等比数列
【答案】证明=q(q≠0)即可.
新知生成
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列.
(4)构造法:在条件中出现an+1=kan+b的关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
新知运用
例2　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.
【解析】(1)因为Sn=2an+n-4,
所以当n=1时,S1=2a1+1-4=a1,解得a1=3.
(2)因为Sn=2an+n-4,
所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1)-4,
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),
即an=2an-1-1,
所以an-1=2(an-1-1),
又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),且b1=a1-1=2≠0,所以bn=2n(n∈N+),
所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法,注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任意一项不等于零.
巩固训练
　　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2-an,求证:{an}为等比数列.
【解析】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,
所以an+1=an.
又因为S1=2-a1=a1,所以a1=1≠0,
又由an+1=an知an≠0,
所以=,所以an=n-1(n∈N+),
所以数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
探究3：由等比数列构造新等比数列
情境设置
　　问题:等比数列{an}的前4项分别为1,2,4,8,判断下列结论是否正确.
(1){3an}是等比数列;(2){3+an}是等比数列;(3)是等比数列;(4){a2n}是等比数列.
【答案】由等比数列的定义可判断出(1)(3)(4)正确.
新知生成
1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{|an|},{}都是等比数列,且公比分别是q,,|q|,q2.
3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和.
注意点:在构造新的等比数列时,要注意新数列中有的项是否为0,比如公比q=-1时,连续相邻两项的和都是0,故不能构成等比数列.
新知运用
例3　如果数列{an}是等比数列,那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【答案】D
【解析】取等比数列an=(-1)n,则an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比数列,故D不一定是等比数列;对于其他选项,均满足等比数列通项公式的性质.
【方法总结】由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中的项是否为0,主要是针对q<0的情况.
巩固训练
　　设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是长、宽分别为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,3,…),则{An}为等比数列的充要条件为(　　).
A.{an}是等比数列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同
【答案】D
【解析】因为Ai是长、宽为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,3,…),所以Ai=aiai+1(i=1,2,3,…),
则数列{An}的通项公式为An=anan+1.
根据等比数列的定义,知数列{An}(n=1,2,3,…)为等比数列的充要条件是===q(常数),故选D.
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
【答案】D
【解析】因为=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.
2.等比数列{an}为单调递减数列,写出满足上述条件的一个数列{an}的通项公式:　　　　.
【答案】an=(答案不唯一)
【解析】∵等比数列{an}为单调递减数列,∴a1>0,01,∴满足上述条件的一个数列{an}的通项公式为an=.
3.某工厂2022年1月的生产总值为a万元,计划从2022年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,则到2023年8月底该厂的生产总值为　　　万元.
【答案】a(1+m%)19
【解析】设从2022年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,
∴=1+m%,∴数列{an}是首项为a1=a,公比为q=1+m%的等比数列,
∴an=a(1+m%)n-1,故2023年8月底该厂的生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元).
4.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).证明:数列是等比数列.
【解析】由a1=1,an+1=Sn,得an>0,Sn>0.
由an+1=Sn,an+1=Sn+1-Sn,
得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),
整理得nSn+1=2(n+1)Sn,
所以=2·,即=2.
因为==1,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,通项公式为=2n-1.
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