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1.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理)
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn
2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn
3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么
自学检
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　　)
2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,若q=-,S5=11,则a1=　　　　.
3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n=　　　　.
4.已知某厂去年的产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为　　　　.
【合作探究】
探究1：等比数列的前n项和公式
情境设置
　　问题1:等比数列的前n项和公式的推导除了教材中用的方法,还有其他的方法吗
问题2:能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和
新知生成
公比为q的等比数列{an}的前n项和公式
(1)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和项数唯一确定;
(2)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和末项唯一确定.
新知运用
例1　求下列等比数列前8项的和.
(1),,,…;
(2)a1=27,a9=,q<0.
例2　在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
巩固训练
　　在等比数列{an}中,
(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;
(2)已知S4=1,S8=17,求an.
探究2：等比数列前n项和公式的实际应用
例3　小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.
【方法总结】解决数列应用题时,一是明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列或等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是明确是求an,还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题.
巩固训练
　　某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
【随堂检测】
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　).
A. B.- C. D.-
3.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取(　　)元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
4.在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=-8,a3=-2,求S4.
(2)若S6=315,q=2,求a1.
21.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理)
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn
【答案】当q=1时,a1=a2=…=an,
故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn
【答案】利用公式Sn=计算.
3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么
【答案】若等比数列的公比为字母,应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1,分情况选取合适的公式来解答.
自学检
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　　)
【答案】(1)×　(2)√
2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,若q=-,S5=11,则a1=　　　　.
【答案】16
【解析】∵S5==×a1=11,
∴a1=16.
3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n=　　　　.
【答案】6
【解析】由Sn===189,得q=2.又an=a1qn-1=3×2n-1=96,所以n=6.
4.已知某厂去年的产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为　　　　.
【答案】11a(1.15-1)
【解析】因为去年的产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
【合作探究】
探究1：等比数列的前n项和公式
情境设置
　　问题1:等比数列的前n项和公式的推导除了教材中用的方法,还有其他的方法吗
【答案】有.根据等比数列的定义,有===…==q(q≠1),
所以a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q,即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,
所以=q,即=q,进而可求得Sn=.
问题2:能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和
【答案】能.将an=a1qn-1,代入Sn=中,可得Sn=.
新知生成
公比为q的等比数列{an}的前n项和公式
(1)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和项数唯一确定;
(2)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和末项唯一确定.
新知运用
例1　求下列等比数列前8项的和.
(1),,,…;
(2)a1=27,a9=,q<0.
【解析】(1)因为a1=,q=,
所以S8==.
(2)由a1=27,a9=,可得=27·q8,
又由q<0,可得q=-,
所以S8====.
例2　在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【解析】(1)由题意知解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)(法一)由题意知解得所以S5==.
(法二)由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,所以S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128,a1+an=66,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根,
得或
又Sn==126,所以q=2或q=.
【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
巩固训练
　　在等比数列{an}中,
(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;
(2)已知S4=1,S8=17,求an.
【解析】(1)由Sn=得11=,解得q=-2,又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1,解得n=5.
(2)若q=1,则S8=2S4,不符合题意,所以q≠1,所以S4==1,S8==17,
　　两式相除得=1+q4=17,解得q=2或q=-2,所以a1=或a1=-,
所以an=·2n-1或an=-·(-2)n-1.
探究2：等比数列前n项和公式的实际应用
例3　小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.
【解析】(法一)设小华每期付款为x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,
则A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,
A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,
…
A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,
解得x=
=≈880.81.
故小华每期付款金额约为880.81元.
(法二)设小华每期付款为x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,
则A2=x,
A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),
A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),
…
A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).
∵年底付清欠款,
∴A12=5000×1.00812,
即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=≈880.81.
故小华每期付款金额约为880.81元.
【方法总结】解决数列应用题时,一是明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列或等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是明确是求an,还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题.
巩固训练
　　某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
【解析】由题意知,第1年投入800万元,
第2年投入800×1-万元,
…
第n年投入800×1-n-1万元,
所以每年的投入资金数构成首项为800,公比为1-的等比数列.
所以n年内的总投入Sn=800+800×1-+…+800×1-n-1=4000×1-n万元.
由题意知,第1年旅游业的收入为400万元,
第2年旅游业的收入为400×1+万元,
…
第n年旅游业的收入为400×1+n-1万元,
所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400,公比为1+的等比数列.
所以n年内旅游业的总收入Tn=400+400×1++…+400×1+n-1=1600×n-1万元.
故n年内旅游业的总投入为4000×1-n万元,总收入为1600×n-1万元.
【随堂检测】
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】Sn==.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　).
A. B.- C. D.-
【答案】C
【解析】由题意知公比q≠1,则S3==a1q+10a1,化简得q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.
3.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取(　　)元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
【答案】A
【解析】一年后,可取回a(1+x)元,
两年后,可取回a(1+x)2元,
三年后,可取回a(1+x)3元,
四年后,可取回a(1+x)4元,
五年后,可取回a(1+x)5元.故选A.
4.在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=-8,a3=-2,求S4.
(2)若S6=315,q=2,求a1.
【解析】(1)由题意可得q2===,
所以q=-或q=.
当q=-时,S4==-5;
当q=时,S4==-15.
综上所述,S4=-15或S4=-5.
(2)由题意得S6==315,解得a1=5.
2

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