资源简介

1.3.3　课时2　等比数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(逻辑推理、数学运算)
2.在具体的问题情境中,能发现数列的等比关系,并解决相应的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系
2.当等比数列{an}的公比q=-1时,若k是偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若等比数列{an}的公比为q,则{a2n}的公比为q2. (　　)
(2)若等比数列{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q. (　　)
2.在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.120 C.210 D.520
3.若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k=　　　　.
【合作探究】
探究1：等比数列前n项和的函数特征
情境设置
　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题:当q≠1时,从函数的角度分析Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么
新知生成
　　若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),则数列{an}是等比数列.
新知运用
例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列.
【方法总结】　(1)已知Sn,可通过an=求{an}的通项公式,注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则数列{an}是等比数列.
巩固训练
　　若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+,则r=　　　　.
探究2：等比数列连续n项和的性质
情境设置
　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题1:你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n
问题2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
新知生成
1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0,n∈N+),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列,且公比为　qn　.
新知运用
例2　设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=　　　　.
方法指导　根据等比数列前n项和的性质,利用等差中项的性质建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值.
【方法总结】处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
巩固训练
　　在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　.
探究3：等比数列不连续n项和的性质
情境设置
　　问题:类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质
新知生成
　　若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则
①在其前2n项中,=q;
②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1),
S奇=a1+qS偶.
新知运用
例3　若等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
方法指导　根据奇、偶数项之和与奇、偶数项之比建立方程组,利用q=即可求得公比q的值.
【方法总结】若等比数列{an}共有2n项,则要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,则要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
巩固训练
　　若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　　.
【随堂检测】
1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.31 B.33 C.35 D.37
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　).
A.2 B. C. D.3
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=(　　).
A.32 B.64 C.72 D.216
4.若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为　　　　.
21.3.3　课时2　等比数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(逻辑推理、数学运算)
2.在具体的问题情境中,能发现数列的等比关系,并解决相应的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系
【答案】A=-B.
2.当等比数列{an}的公比q=-1时,若k是偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列吗
【答案】不是.如数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=S4-S2=S6-S4=…=0,不是等比数列.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若等比数列{an}的公比为q,则{a2n}的公比为q2. (　　)
(2)若等比数列{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q. (　　)
【答案】(1)√　(2)√
2.在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.140 B.120 C.210 D.520
【答案】A
【解析】∵S2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2·(S6-S4),∴S6-S4=80.
又∵S4=60,∴S6=140.
3.若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k=　　　　.
【答案】1
【解析】∵Sn=3n+1-3k=3·3n-3k,∴3=3k,即k=1.
【合作探究】
探究1：等比数列前n项和的函数特征
情境设置
　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题:当q≠1时,从函数的角度分析Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么
【答案】若q≠1,则Sn==qn-=Aqn-A,其中A=.
故等比数列Sn关于n的解析式对应的函数模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
注意点:等比数列前n项和公式的结构特点是qn的系数与常数项互为相反数.
新知生成
　　若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),则数列{an}是等比数列.
新知运用
例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列.
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1;
当n=1时,a1=S1=31-2=1,不适合上式.
∴an=
(法一)易知a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.
(法二)当等比数列{bn}的公比q≠1时,其前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比Sn=3n-2可知,1≠-2,所以{an}不是等比数列.
【方法总结】　(1)已知Sn,可通过an=求{an}的通项公式,注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则数列{an}是等比数列.
巩固训练
　　若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+,则r=　　　　.
【答案】-
【解析】∵Sn=2n-2+=×2n+,
∴=-,即r=-.
探究2：等比数列连续n项和的性质
情境设置
　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题1:你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n
【答案】(法一)Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.
(法二)Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m
=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn
=Sn+qnSm.
问题2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
【答案】当q=-1时,例如an=(-1)n,当k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k都等于零,不能构成等比数列.
当q≠-1时,Sn≠0,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k构成等比数列,
因为S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk,
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k,
所以==qk,所以Sk,S2k-Sk,S3k-S2k构成等比数列.
新知生成
1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).
2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0,n∈N+),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列,且公比为　qn　.
新知运用
例2　设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=　　　　.
方法指导　根据等比数列前n项和的性质,利用等差中项的性质建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值.
【答案】3∶4
【解析】由等比数列的性质得S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),不妨令S3=2,则S6=1,代入解得S9=,故S9∶S3=3∶4.
【方法总结】处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
巩固训练
　　在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　.
【答案】70
【解析】(法一)设数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠1),则
两式相除得1+q10=3,∴q10=2,
∴=-10,
∴S30==-10×(1-8)=70.
(法二)∵S10,S20-S10,S30-S20仍成等比数列,且S10=10,S20=30,
∴S30-30=,
∴S30=70.
探究3：等比数列不连续n项和的性质
情境设置
　　问题:类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质
【答案】若等比数列{an}的项数有2n项,则其偶数项和S偶=a2+a4+…+a2n;其奇数项和S奇=a1+a3+…+a2n-1.
容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有=q.
若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.
新知生成
　　若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则
①在其前2n项中,=q;
②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1),
S奇=a1+qS偶.
新知运用
例3　若等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
方法指导　根据奇、偶数项之和与奇、偶数项之比建立方程组,利用q=即可求得公比q的值.
【答案】2
【解析】由题意知
解得
故公比q===2.
【方法总结】若等比数列{an}共有2n项,则要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,则要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
巩固训练
　　若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　　.
【答案】2　9
【解析】由等比数列的性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2.
S2n+1==341+170=511,解得n=4,即这个等比数列的项数为9.
【随堂检测】
1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.31 B.33 C.35 D.37
【答案】B
【解析】根据等比数列的性质得=q5,
∴=25,∴S10=33.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　).
A.2 B. C. D.3
【答案】B
【解析】设公比为q(q≠0),由题意知q≠-1,根据等比数列前n项和的性质,得==1+q3=3,解得q3=2.于是===.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=(　　).
A.32 B.64 C.72 D.216
【答案】B
【解析】因为S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,所以其公比为2,故S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64.
4.若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为　　　　.
【答案】300
【解析】由=2,S偶-S奇=100可知,S偶=200,S奇=100,故S2n=S奇+S偶=300.
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