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1.4*　数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理)
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.如果你从袋子里拿出5个小球,发现全部都是绿色的,那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的
2.对于数列{an},已知a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜出其通项公式为an=.而在教材第37页中,根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明,说明猜想是正确的,其证明步骤是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　　)
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　　)
(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1的推导过程中,等式的项数不一定增加了一项. (　　)
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d,假设当n=k时,公式成立,则Sk=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1+(k-1)d
B.
C.ka1+d
D.(k+1)a1+d
3.用数学归纳法证明:++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　.
4.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步验证当n=1时,左边应取的项是　　　　.
【合作探究】
探究1：用数学归纳法证明等式
情境设置
　　问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么
新知生成
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
新知运用
例1　求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
【方法总结】用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明当n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
巩固训练
　　证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
探究2：用数学归纳法证明不等式
例2　已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N+),用数学归纳法证明:an方法指导　直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=1验证不等式成立,假设当n=k时不等式成立,证明当n=k+1时不等式也成立即可.
【方法总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,因为不运用归纳假设的证明不是数学归纳法.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由当n=k时成立得出当n=k+1时也成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
巩固训练
用数学归纳法证明:
1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).
探究3：“归纳—猜想—证明”问题
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=,且a1=.
(1)求a2,a3的值;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
方法指导　(1)令n=2,3可分别求出a2,a3.
(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想an,再用数学归纳法证明.
【方法总结】“归纳—猜想—证明”的一般步骤
巩固训练
已知函数y=f(n)(n∈N+),设f(1)=2,且对任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明.
【随堂检测】
1.对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即则当n=k+1时,=<==(k+1)+1.
∴当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为(　　).
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
3.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,则需证明当n=k+1时,f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　　　　.
4.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)根据(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
21.4*　数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理)
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.如果你从袋子里拿出5个小球,发现全部都是绿色的,那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的
【答案】不能.通过考察部分对象,得到一般的结论的方法,叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如,在数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等,他们所用的就是不完全归纳法,至于最终的结论能否成立,只能留给你们了.
2.对于数列{an},已知a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜出其通项公式为an=.而在教材第37页中,根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明,说明猜想是正确的,其证明步骤是什么
【答案】①验证当n=1时,猜想成立;②假设当n=k(n∈N+)时,猜想成立,然后证明当n=k+1时,猜想也成立,从而证明原猜想正确.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　　)
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　　)
(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1的推导过程中,等式的项数不一定增加了一项. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d,假设当n=k时,公式成立,则Sk=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1+(k-1)d
B.
C.ka1+d
D.(k+1)a1+d
【答案】C
【解析】假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k,即Sk=ka1+d.
3.用数学归纳法证明:++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　.
【答案】++…++>-.
4.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步验证当n=1时,左边应取的项是　　　　.
【答案】1+2+3+4
【解析】当n=1时,左边=1+2+3+4.
【合作探究】
探究1：用数学归纳法证明等式
情境设置
　　问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么
【答案】使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
新知生成
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
新知运用
例1　求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
【解析】①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.
②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),
当n=k+1时,左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2
=-k(2k+1)-(4k+3)
=-(2k2+5k+3)
=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)[2(k+1)+1]=右边,
所以当n=k+1时,等式也成立.
综上所述,等式对任何n∈N+都成立.
【方法总结】用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明当n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
巩固训练
　　证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
【解析】①当n=1时,左边=1-=,右边=,等式成立.
②假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即
1-+-+…+-=++…+,
那么,当n=k+1时,
1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++.
根据①和②,可知等式对任何n∈N+都成立.
探究2：用数学归纳法证明不等式
例2　已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N+),用数学归纳法证明:an方法指导　直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=1验证不等式成立,假设当n=k时不等式成立,证明当n=k+1时不等式也成立即可.
【解析】①当n=1时,a2=1+=,a1所以n=1时,不等式成立;
②假设当n=k(k∈N+)时,akak+2-ak+1=1+-ak+1
=1+-1+
=>0,
所以当n=k+1时,不等式成立.
由①和②可知,不等式an【方法总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,因为不运用归纳假设的证明不是数学归纳法.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由当n=k时成立得出当n=k+1时也成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
巩固训练
用数学归纳法证明:
1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).
【解析】①当n=2时,1+=<2-=,命题成立.
②假设n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,即1+++…+<2-.
当n=k+1时,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,命题成立.
由①和②知,原不等式在n∈N+,n≥2时均成立.
探究3：“归纳—猜想—证明”问题
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=,且a1=.
(1)求a2,a3的值;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
方法指导　(1)令n=2,3可分别求出a2,a3.
(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想an,再用数学归纳法证明.
【解析】(1)a2==,a1=,
则a2=,同理可得a3=.
(2)由a1=,a2=,a3=,…,猜想an=.
证明:①当n=1时,由(1)可知等式成立;
②假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即ak=,那么,当n=k+1时,由题设an=,得ak=,ak+1=,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·=,Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
所以ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-.
因此k(2k+3)ak+1=,所以ak+1==.
　　所以当n=k+1时猜想成立.
由①②可知,猜想对任何n∈N+都成立.
【方法总结】“归纳—猜想—证明”的一般步骤
巩固训练
已知函数y=f(n)(n∈N+),设f(1)=2,且对任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明.
【解析】(1)因为f(1)=2,f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),
所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,
f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8.
f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.
(2)猜想:f(n)=2n(n∈N+).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,f(1)=21=2,猜想正确.
②假设当n=k(k∈N+)时猜想正确,即f(k)=2k,
那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1,
所以当n=k+1时,猜想正确.
由①②知,对任意的n∈N+,都有f(n)=2n.
【随堂检测】
1.对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即则当n=k+1时,=<==(k+1)+1.
∴当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
【答案】D
【解析】在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,故选D.
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为(　　).
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
【答案】B
【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+k)(k+1+k)(k+k+2),
所以从“k到k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1).
3.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,则需证明当n=k+1时,f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　　　　.
【答案】+-
【解析】∵f(k)=+++…+,f(k+1)=++…+++,∴f(k+1)-f(k)=+-.
∵f(k+1)=f(k)+g(k),∴g(k)=+-.
4.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)根据(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
【解析】(1)因为a1=,an+1=(n∈N+),所以a2==,a3==,a4==.
(2)猜想:an=(n∈N+).用数学归纳法证明如下:①当n=1时,a1==,猜想成立;②假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1====,故当n=k+1时,猜想也成立.
由①②知,an=对所有n∈N+成立.
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