资源简介

2.1　直线的斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象、直观想象)
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.(逻辑推理)
3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图,过一点P可以作无数条直线a,b,c,…,可见,答案是否定的.
1.a,b,c…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗
2.下图中标的倾斜角α对不对
3.刻画直线倾斜程度的量,除了倾斜角,还有其他的吗 坡度是斜率吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角,都存在斜率. (　　)
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k=tan α. (　　)
(4)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞). (　　)
2.若直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为(　　).
A. B.
C.1 D.
.
4.已知坐标平面内,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率.
【合作探究】
探究1：直线的倾斜角
情境设置
　　小明在无聊的时候拿起一支笔,哗啦啦地转起来,他的同桌也学了起来,但手指头总是不够协调,水笔在手上还没转足半圈,已经没了惯性,“啪嗒”一声掉在桌子上.
问题1:若把上图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动,把点P放在坐标系内,不论怎么旋转,它相对x轴的位置有几种情形
问题2:直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角
问题3:在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角吗
新知生成
　　倾斜角的概念
(1)倾斜角
当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角α=0.
直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π.
特别提醒:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角.方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.
新知运用
例1　 设直线l过坐标原点O,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　).
　　A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
方法指导　根据题意,画出图形,再根据倾斜角的定义判断.
【方法总结】求直线的倾斜角的方法及注意事项
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
巩固训练
　　如图,已知直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　.
探究2：直线的斜率
情境设置
　　在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为α.
问题1:已知直线l经过点O(0,0),P(,1),α与点O,P的坐标有什么关系
问题2:类似地,如果直线l经过点P1(-1,1),P2(,0),α与点P1,P2的坐标又有什么关系
问题3:直线l的倾斜角α与点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么内在联系
新知生成
1.斜率的定义
一条直线的倾斜角αα≠的正切值k称为这条直线的　斜率　,即k=tan α.
2.斜率公式
如果直线经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),那么该直线的斜率公式为k=.
3.(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(2)直线的倾斜角与斜率的关系
①直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映.用斜率比用倾斜角更方便.
②倾斜角可正可零不可为负,而斜率k不仅可正,可零,而且可以为负.
③当倾斜角α=90°时,直线的斜率不存在;当α≠90°时,可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式,即k=tan α(α≠90°).
新知运用
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
【方法总结】解决斜率问题的方法:(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用公式k=tan α(α≠90°)解决;(2)由两点坐标求斜率,运用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
巩固训练
1.若过点P(1,1),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是　　　　.
2.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.
探究3：一次函数与直线的关系
情境设置
问题1:一次函数的图象是什么 如何判断函数的单调性
问题2:若一次函数y=kx+b的图象为直线 l,如何求l 的斜率
新知生成
　　如图,对照一次函数 y=kx+b的图象,可以得到:
当斜率k >0时,倾斜角α是锐角,直线从左到右上升,因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1同号,此时一次函数是增函数.
当斜率k < 0时,倾斜角α是钝角,直线从左到右下降,因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1异号,此时一次函数是减函数.
新知运用
例3　过点P(0,-1)作直线l,且直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,求直线l的倾斜角α和斜率k的取值范围.
【方法总结】涉及直线与线段有交点的问题,常借助数形结合与斜率公式求解.解题时要特别注意倾斜角与90°的大小关系.
巩固训练
过点P(1,-2)作直线l,若直线l与连接A(0,-1)与B(2, 1)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为　　　　.
【随堂检测】
1.若直线l的斜率为,则l的倾斜角为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.若直线l经过点A(2,-1),B(,2),则l的倾斜角为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈,∪,π,则k的取值范围是　　　　.
4.已知点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
22.1　直线的斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象、直观想象)
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.(逻辑推理)
3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图,过一点P可以作无数条直线a,b,c,…,可见,答案是否定的.
1.a,b,c…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗
【答案】它们都经过点P,它们的倾斜程度不相同.
2.下图中标的倾斜角α对不对
【答案】都不对.
3.刻画直线倾斜程度的量,除了倾斜角,还有其他的吗 坡度是斜率吗
【答案】有,如斜率也能刻画直线的倾斜程度.坡度不是斜率,当直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率与坡度是类似的.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角,都存在斜率. (　　)
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k=tan α. (　　)
(4)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞). (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.若直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
【答案】B
【解析】作出直线l,如图所示,由图易知,应选B.
3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为(　　).
A. B.
C.1 D.
【答案】A
【解析】由题意可知,直线l的斜率k=tan 30°=.
4.已知坐标平面内,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率.
【解析】已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB==0,kAC==-1.∵B,C两点的横坐标相等,∴直线BC的斜率不存在.
【合作探究】
探究1：直线的倾斜角
情境设置
　　小明在无聊的时候拿起一支笔,哗啦啦地转起来,他的同桌也学了起来,但手指头总是不够协调,水笔在手上还没转足半圈,已经没了惯性,“啪嗒”一声掉在桌子上.
问题1:若把上图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动,把点P放在坐标系内,不论怎么旋转,它相对x轴的位置有几种情形
【答案】如图,有4种情形.
问题2:直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角
【答案】能是0°,不能大于平角.
问题3:在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角吗
【答案】每一条直线都有倾斜角.
新知生成
　　倾斜角的概念
(1)倾斜角
当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角α=0.
直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π.
特别提醒:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角.方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.
新知运用
例1　 设直线l过坐标原点O,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　).
　　A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
方法指导　根据题意,画出图形,再根据倾斜角的定义判断.
【答案】D
【解析】根据题意,画出图形,如图所示:
易知0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.
通过画图(如图所示)可知,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
故选D.
【方法总结】求直线的倾斜角的方法及注意事项
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
巩固训练
　　如图,已知直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　.
【答案】30°
【解析】因为直线l1的倾斜角为150°,所以∠BCA=30°,所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°.
探究2：直线的斜率
情境设置
　　在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为α.
问题1:已知直线l经过点O(0,0),P(,1),α与点O,P的坐标有什么关系
【答案】如图,
向量=(,1),且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义,有tan α==.
问题2:类似地,如果直线l经过点P1(-1,1),P2(,0),α与点P1,P2的坐标又有什么关系
【答案】如图,
=(-1-,1-0)=(-1-,1).平移向量到,则点P的坐标为(-1-,1),且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义,有tan α==1-.
问题3:直线l的倾斜角α与点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么内在联系
【答案】如图,
向量=(x2-x1,y2-y1).平移向量到,则点P的坐标为(x2-x1,y2-y1),且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义,有tan α=.
新知生成
1.斜率的定义
一条直线的倾斜角αα≠的正切值k称为这条直线的　斜率　,即k=tan α.
2.斜率公式
如果直线经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),那么该直线的斜率公式为k=.
3.(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(2)直线的倾斜角与斜率的关系
①直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映.用斜率比用倾斜角更方便.
②倾斜角可正可零不可为负,而斜率k不仅可正,可零,而且可以为负.
③当倾斜角α=90°时,直线的斜率不存在;当α≠90°时,可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式,即k=tan α(α≠90°).
新知运用
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
【解析】(1)存在.直线AB的斜率kAB==1,
即tan α=1,又0°≤α<180°,
所以倾斜角α=45°.
(2)存在.直线CD的斜率kCD==-1,即tan α=-1,
又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°.
(3)不存在.因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°.
【方法总结】解决斜率问题的方法:(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用公式k=tan α(α≠90°)解决;(2)由两点坐标求斜率,运用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
巩固训练
1.若过点P(1,1),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 -∞,
【解析】∵直线PQ的倾斜角为钝角,∴kPQ<0,即=<0,∴a<,即实数a的取值范围是-∞,.
2.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.
【答案】(3,0)或(0,3)
【解析】由题意知,kPA=-1.若点P在x轴上,则设P(m,0)(m≠1),则=-1,解得m=3;若点P在y轴上,则设P(0,n),则=-1,解得n=3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3).
探究3：一次函数与直线的关系
情境设置
问题1:一次函数的图象是什么 如何判断函数的单调性
【答案】一次函数的图象是一条直线;它的单调性根据其一次项系数判断.
问题2:若一次函数y=kx+b的图象为直线 l,如何求l 的斜率
【答案】若假设x1≠x2,则任取直线 l上两个不同的点A(x1, kx1+b), B(x2, kx2+b).
由直线斜率公式可知, l的斜率为==k.
新知生成
　　如图,对照一次函数 y=kx+b的图象,可以得到:
当斜率k >0时,倾斜角α是锐角,直线从左到右上升,因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1同号,此时一次函数是增函数.
当斜率k < 0时,倾斜角α是钝角,直线从左到右下降,因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1异号,此时一次函数是减函数.
新知运用
例3　过点P(0,-1)作直线l,且直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,求直线l的倾斜角α和斜率k的取值范围.
【解析】因为kPA==-1,kPB==1,
且l与线段AB相交,如图,
所以kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1,
所以-1≤tan α≤1.
因为y=tan x在及上均为增函数,
所以直线l的倾斜角α的取值范围为0,∪.
故斜率k的取值范围是[-1,1],倾斜角α的取值范围是0,∪.
【方法总结】涉及直线与线段有交点的问题,常借助数形结合与斜率公式求解.解题时要特别注意倾斜角与90°的大小关系.
巩固训练
过点P(1,-2)作直线l,若直线l与连接A(0,-1)与B(2, 1)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为　　　　.
【答案】(-∞,-1]∪[3,+∞)
【解析】
如图所示,连接PA,PB,此时直线PA和直线PB均与线段AB相交,
又kPA==-1,kPB==3,
由题意知直线l的斜率存在,根据直线的倾斜角与斜率k的关系知,
满足条件的直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
【随堂检测】
1.若直线l的斜率为,则l的倾斜角为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线l的倾斜角为α,则tan α=,
又∵α∈[0,π),∴α=.故选C.
2.若直线l经过点A(2,-1),B(,2),则l的倾斜角为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】C
【解析】因为l经过点A(2,-1),B(,2),
所以k==-=tan α,故α=120°.
3.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈,∪,π,则k的取值范围是　　　　.
【答案】[-,0)∪,1
【解析】∵α∈,∪,π,当≤α<时,≤tan α<1,∴≤k<1.当≤α<π时,-≤tan α<0,∴-≤k<0.∴k∈[-,0)∪,1.
4.已知点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
【解析】由题意知,直线AC的斜率存在,即m≠-1,
∴kAC=,kBC=,
∴=3·,
整理得-m-1=(m-5)(m+1),即(m+1)(m-4)=0,
∴m=4或m=-1(舍去),∴m=4.
2

展开更多......

收起↑