资源简介

2.2.1　直线的点斜式方程
【学习目标】
1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.(逻辑推理、直观想象)
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(逻辑推理)
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.确定一条直线的几何要素是什么
【答案】①一点和斜率,可以确定一条直线;②两点,可以确定一条直线.
2.已知直线上一点P0(x0,y0)与这条直线的斜率k,我们能否将直线上的一点P(x,y)满足的关系表示出来
【答案】能,当x≠x0时,根据斜率公式=k可知点P(x,y)满足的关系式为y-y0=k(x-x0);当x=x0时,点P(x,y)满足的关系式为x=x0.
3.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=,对吗
【答案】不对.前者含点(x0,y0),后者不含点(x0,y0).
4.在式子y=kx+b中,k,b的几何意义是什么
【答案】k,b的几何意义:k是直线y=kx+b的斜率,b是直线y=kx+b在y轴上的截距(纵截距).
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3). (　　)
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　)
(3)经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方程为x=x0. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　 (3)√
2.已知直线的方程为y+3=-(x-1),则(　　).
A.该直线过点(-1,-3),斜率为-1
B.该直线过点(-1,-3),斜率为1
C.该直线过点(1,-3),斜率为-1
D.该直线过点(1,-3),斜率为1
【答案】C
【解析】因为直线方程为y+3=-(x-1),所以直线的斜率为-1,且当x=1时,y=-3,故直线过点(1,-3).
3.已知过点A(,1)的直线l的倾斜角为60°,则直线l的方程为(　　).
A.y=-x+4
B.y-1=(x-)
C.y=-x-4
D.y-1=(x+)
【答案】B
【解析】因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=,又直线过点A(,1),由直线方程的点斜式可得直线l的方程为y-1=(x-).
4.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　).
A.y=x+2
B.y=-x+2
C.y=-x-2
D.y=x-2
【答案】D
【解析】∵α=60°,∴k=tan 60°=,∴直线l的方程为y=x-2.
【合作探究】
探究1：直线的点斜式方程
情境设置
　　斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,索塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线.
问题1:已知某一斜拉索过索塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗
【答案】不确定,从一点可引出多条斜拉索.
问题2:若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件 该直线的方程是什么
【答案】满足y-b=kx.该直线方程为y-b=kx.
问题3:直线的点斜式方程的前提条件是什么
【答案】过一点P(x0,y0)和斜率存在.只有这两个条件都具备,才可以写出直线的点斜式方程.
问题4:当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征
【答案】方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条直线.
问题5:如果直线l过点P0(x0,y0)且垂直于x轴,此时的直线方程是什么
【答案】
当l与x轴垂直时,它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x0,如图所示.
新知生成
1.点斜式:方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
2.特殊的直线方程
直线l过定点P(x0,y0),
当直线l的倾斜角为90°时,l没有斜率,则l不能用点斜式方程表示,此时l与x轴垂直,方程为x=x0.
新知运用
例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程:
(1)过点A(-4,3),斜率k=3;
(2)过点B(-1,4),倾斜角为135°;
(3)过点C(-1,2),且与y轴平行;
(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.
【解析】(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3[x-(-4)].
(2)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)].
(3)∵直线与y轴平行,∴斜率不存在.由于直线上所有点的横坐标都是-1,故这条直线的方程为x=-1,该直线没有点斜式方程.
(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.
【方法总结】　(1)求直线的点斜式方程的步骤
(2)当直线的斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
巩固训练
　　求满足下列条件的直线的点斜式方程:
(1)过点P(4,-2),倾斜角为150°;
(2)过两点A(1,3),B(2,5).
【解析】(1)∵α=150°,∴k=tan 150°=-,
∴直线的点斜式方程为y+2=-(x-4).
(2)∵k==2,
∴直线的点斜式方程为y-3=2(x-1).
探究2：直线的斜截式方程
情境设置
　　问题1:方程y=kx+b的特点是什么
【答案】左端y的系数恒为1,右端x的系数为k,常数项为b.
问题2:直线方程的斜截式是由什么推导而来的
【答案】是由点斜式推导而来的.
问题3:直线y=kx+b在y轴上的截距是恒为正数吗
【答案】不一定,y轴上的截距是直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标,它可能是正数,也可能是负数,还可能为0.
新知生成
　　我们把直线l:y=kx+b与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与在y轴上的截距b确定,因此我们把方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.
特别提醒:(1)倾斜角是直角的直线没有斜截式方程.
(2)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
新知运用
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2.
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的方程为y=2x+5.
(2)因为直线的倾斜角α=150°,所以其斜率k=tan 150°=-,由斜截式可得所求直线的方程为y=-x-2.
【方法总结】　(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
巩固训练
　　求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且在y轴上的截距是-5的直线方程.
【解析】∵直线y=-x+1的斜率k=-,∴其倾斜角α=120°,由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°,故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,
∴所求直线的方程为y=x-5.
【随堂检测】
1.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
【答案】C
【解析】因为直线y+2=k(x+1),所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1,-2).
2.过点P(0,1)且斜率为2的直线的方程为(　　).
A.y=-2x+1 B.y=2x+1
C.y=-x+1 D.y=x+1
【答案】B
【解析】已知直线的斜率为2,且直线过点P(0,1),则用斜截式得到该直线方程为y=2x+1.
3.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为　　　　.
【答案】-9
【解析】由y+=(x-1),得y=x-9,
∴l在y轴上的截距为-9.
4.已知直线y=-x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过点P(3,-4);
(2)在y轴上的截距为3.
【解析】∵直线y=-x+5的斜率k=tan α=-,又α∈[0°,180°),∴α=150°,故所求直线l的倾斜角为30°,斜率k'=.
(1)由直线l过点P(3,-4),得 y+4=(x-3),
∴直线l的方程为y=x--4.
(2)在y轴上的截距为3,由斜截式方程得y=x+3.
22.2.1　直线的点斜式方程
【学习目标】
1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.(逻辑推理、直观想象)
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(逻辑推理)
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.确定一条直线的几何要素是什么
2.已知直线上一点P0(x0,y0)与这条直线的斜率k,我们能否将直线上的一点P(x,y)满足的关系表示出来
3.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=,对吗
4.在式子y=kx+b中,k,b的几何意义是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3). (　　)
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　)
(3)经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方程为x=x0. (　　)
2.已知直线的方程为y+3=-(x-1),则(　　).
A.该直线过点(-1,-3),斜率为-1
B.该直线过点(-1,-3),斜率为1
C.该直线过点(1,-3),斜率为-1
D.该直线过点(1,-3),斜率为1
3.已知过点A(,1)的直线l的倾斜角为60°,则直线l的方程为(　　).
A.y=-x+4
B.y-1=(x-)
C.y=-x-4
D.y-1=(x+)
4.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　).
A.y=x+2
B.y=-x+2
C.y=-x-2
D.y=x-2
【合作探究】
探究1：直线的点斜式方程
情境设置
　　斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,索塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线.
问题1:已知某一斜拉索过索塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗
问题2:若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件 该直线的方程是什么
问题3:直线的点斜式方程的前提条件是什么
问题4:当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征
问题5:如果直线l过点P0(x0,y0)且垂直于x轴,此时的直线方程是什么
新知生成
1.点斜式:方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
2.特殊的直线方程
直线l过定点P(x0,y0),
当直线l的倾斜角为90°时,l没有斜率,则l不能用点斜式方程表示,此时l与x轴垂直,方程为x=x0.
新知运用
例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程:
(1)过点A(-4,3),斜率k=3;
(2)过点B(-1,4),倾斜角为135°;
(3)过点C(-1,2),且与y轴平行;
(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.
【方法总结】　(1)求直线的点斜式方程的步骤
(2)当直线的斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
巩固训练
　　求满足下列条件的直线的点斜式方程:
(1)过点P(4,-2),倾斜角为150°;
(2)过两点A(1,3),B(2,5).
探究2：直线的斜截式方程
情境设置
　　问题1:方程y=kx+b的特点是什么
问题2:直线方程的斜截式是由什么推导而来的
问题3:直线y=kx+b在y轴上的截距是恒为正数吗
新知生成
　　我们把直线l:y=kx+b与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与在y轴上的截距b确定,因此我们把方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.
特别提醒:(1)倾斜角是直角的直线没有斜截式方程.
(2)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
新知运用
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2.
【方法总结】　(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
巩固训练
　　求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且在y轴上的截距是-5的直线方程.
【随堂检测】
1.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(1,2)
2.过点P(0,1)且斜率为2的直线的方程为(　　).
A.y=-2x+1 B.y=2x+1
C.y=-x+1 D.y=x+1
3.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为　　　　.
4.已知直线y=-x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过点P(3,-4);
(2)在y轴上的截距为3.
2

展开更多......

收起↑