资源简介

2.2.2　直线的两点式方程
【学习目标】
1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围.(直观想象)
2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.(逻辑推理)
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,如何求直线P1P2的方程
【答案】先求直线P1P2的斜率k=,然后利用点斜式求直线P1P2的方程为y-y1=(x-x1).
2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗 能表示过任意两点的直线方程吗
【答案】当且仅当x1≠x2,y1≠y2时才等价.不能,当且仅当x1≠x2,y1≠y2时成立.
3.若P1(0,b),P2(a,0),且a≠0,b≠0,如何求直线P1P2的方程
【答案】利用点斜式可求得y=-x+b,即+=1.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　)
(2)过原点的直线没有截距式方程. (　　)
(3)过点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.过(1,1),(2,-1)两点的直线方程为(　　).
A.y=2x-1　　　　　　B.y=x+
C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+
【答案】C
【解析】∵直线过两点(1,1)和(2,-1),∴直线的两点式方程为=,整理得y=-2x+3.
3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为　　　　.
【答案】-1
【解析】由方程知直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-5,故截距之和为4+(-5)=-1.
4.已知直线l的两点式方程为=,则直线l的斜率为　　　　.
【答案】-
【解析】由题意知直线l过点(-5,0),(3,-3),
所以l的斜率为=-.
【合作探究】
探究1：直线的两点式方程
情境设置
　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A,B两处,并使该区商业中心O到A,B两处的距离之和最短.
　问题1:在上述问题中,实际上解题的关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点A,B能否确定
【答案】可以确定.
问题2:若给定两点A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以用两点式写出直线AB的方程
【答案】(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,可以表示任何直线,包括与坐标轴垂直的直线.
问题3:直线的两点式方程能用=(x1≠x2,y1≠y2)代替吗
【答案】方程=所表示的图形不含点(x1,y1),故不能表示整条直线,故不能用其代替两点式方程.
问题4:过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗 为什么 过点(2,3),(5,3)的直线呢
【答案】能,两点式方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0适合过任意两点的直线.过点(2,3),(5,3)的直线也能用两点式表示.
问题5:方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗
【答案】不同.前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程,适用于过任意两点的直线方程.
新知生成
　　直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
示意图
直线方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
适用范围 任意两点
　　若x1≠x2,y1≠y2,则两点式方程也可以写成=.
新知运用
例1　已知△ABC的三个顶点为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程.
方法指导　点A,B,C的坐标已知,可以根据坐标来选择用点斜式还是两点式求解.
【解析】∵A(2,-1),B(2,2),∴A,B两点的横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2.
∵A(2,-1),C(4,1),∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为=,即y=x-3.
同理可由直线的两点式方程得直线BC的方程为=,即y=-x+3.
∴三边AB,AC,BC所在的直线方程分别为x=2,y=x-3,y=-x+3.
【方法总结】当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,若两点的连线不垂直于坐标轴,则考虑用两点式的分式形式求方程.
巩固训练
1.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.
【答案】-2
【解析】由直线的两点式方程,
得=,即=,
∴直线AB的方程为y+1=-x+2.
∵点P(3,m)在直线AB上,
∴m+1=-3+2,解得m=-2.
2.已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
【解析】直线经过点A(1,0),B(m,1),利用两点式,可得直线方程为(1-0)(x-1)-(m-1)(y-0)=0,即x-(m-1)y-1=0.
探究2：直线的截距式方程
情境设置
　　问题1:怎样理解直线的截距式方程
【答案】①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距.
②由截距式方程可知,截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线,因此,截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线.
③过原点的直线可以表示为y=kx;与x轴垂直的直线可以表示为x=x0;与y轴垂直的直线可以表示为y=y0.
问题2:方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗
【答案】都不是截距式方程.截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为1.
新知生成
　　直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0
示意图
直线方程 +=1
适用范围 斜率存在且不为零,不过原点
　　(1)截距式方程等号左边以“+”相连,等号右边是1.
(2)a叫作直线在x轴上的截距,a∈R,且a≠0,不一定有a>0.
新知运用
例2　求过点(4,-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
方法指导　讨论截距等于0和不等于0两种情况,然后设方程求解.
【解析】(法一)设直线在x轴,y轴上的截距分别为a,b.
①当a≠0,b≠0时,设l的方程为+=1.
∵点(4,-3)在直线l上,∴+=1,
若a=b,则a=b=1,直线l的方程为y=-x+1.
若a=-b,则a=7,b=-7,此时直线l的方程为y=x-7.
②当a=b=0时,直线过原点,且过点(4,-3),
∴直线l的方程为3x+4y=0.
综上可知,所求直线l的方程为y=-x+1或y=x-7或3x+4y=0.
(法二)设直线l的方程为y+3=k(x-4),
令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.
∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,
∴|-4k-3|=,
解得k=1或k=-1或k=-,
∴所求的直线l的方程为y=x-7或y=-x+1或3x+4y=0.
【方法总结】　(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直的情况.
巩固训练
　　求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程.
【解析】由题意知,当直线l在坐标轴上的截距均为零时,
　　直线l的方程为y=x;
当直线l在坐标轴上的截距不为零时,
设l的方程为+=1,
将点(5,2)代入方程得+=1,解得a=,
所以直线l的方程为x+2y-9=0.
综上可知,所求直线l的方程为y=x或x+2y-9=0.
探究3：中点坐标公式的应用
情境设置
　　如图,已知A,B,C三点,且B是AC的中点.
问题1:若已知点A(x1,y1),B(x,y),C(x2,y2),如何根据向量法用点A,C的坐标表示点B的坐标
【答案】根据向量相等,建立方程求解.
因为=,所以(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y),
所以即
问题2:问题1中的x,y的表达式适合求任何两点的中点坐标吗
【答案】适合求任何两点的中点坐标.
新知生成
　　线段的中点坐标公式
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设P(x,y)是线段P1P2的中点,
则
新知运用
例3　在△ABC中,点A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).
(1)求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程;
　　(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【解析】(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.因为线段AB,AC的中点坐标分别为,1,-,-2,所以这条直线的方程为=,整理得6x-8y-13=0.
(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即7x-y-11=0.
【方法总结】中点坐标公式,是求中点坐标的常用公式,记住公式是解题的关键.
巩固训练
　　在△ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线MN的方程.
【解析】(1)设点C(x,y),由题意得=0,=0,
解得x=-5,y=-3.故所求点C的坐标是(-5,-3).
(2)由(1)知,点M的坐标是0,-,点N的坐标是(1,0),
可得直线MN的方程是+=1,即5x-2y-5=0.
【随堂检测】
1.在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　　).
A.+=1　　　　　 B.+=1
C.-=1 D.+=1
【答案】A
2.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(　　).
A.y=-x-1 B.y=-x+1
C.y=x+1 D.y=x-1
【答案】D
【解析】由直线的两点式方程,得=,化简得y=x-1.
3.若直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=　　　　.
【答案】-24
【解析】令x=0,得y=;令y=0,得x=-.则有-=2,所以k=-24.
4.求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
【解析】(法一)①当直线l在坐标轴上的截距均为0时,方程为y=x,即2x-5y=0;
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时,
可设方程为+=1,即x-y=a,
又∵l过点A(5,2),∴5-2=a,a=3,
∴l的方程为x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
(法二)由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为y-2=k(x-5),
当x=0时,y=2-5k,当y=0时,x=5-.
根据题意得2-5k=-5-,解得k=或k=1.
当k=时,直线方程为y-2=(x-5),即2x-5y=0;
当k=1时,直线方程为y-2=1×(x-5),即x-y-3=0.
所以直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
22.2.2　直线的两点式方程
【学习目标】
1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围.(直观想象)
2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.(逻辑推理)
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,如何求直线P1P2的方程
2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗 能表示过任意两点的直线方程吗
3.若P1(0,b),P2(a,0),且a≠0,b≠0,如何求直线P1P2的方程
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　)
(2)过原点的直线没有截距式方程. (　　)
(3)过点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　)
2.过(1,1),(2,-1)两点的直线方程为(　　).
A.y=2x-1　　　　　　B.y=x+
C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+
3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为　　　　.
4.已知直线l的两点式方程为=,则直线l的斜率为　　　　.
【合作探究】
探究1：直线的两点式方程
情境设置
　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A,B两处,并使该区商业中心O到A,B两处的距离之和最短.
　问题1:在上述问题中,实际上解题的关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点A,B能否确定
问题2:若给定两点A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以用两点式写出直线AB的方程
问题3:直线的两点式方程能用=(x1≠x2,y1≠y2)代替吗
问题4:过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗 为什么 过点(2,3),(5,3)的直线呢
问题5:方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗
新知生成
　　直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
示意图
直线方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
适用范围 任意两点
　　若x1≠x2,y1≠y2,则两点式方程也可以写成=.
新知运用
例1　已知△ABC的三个顶点为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程.
方法指导　点A,B,C的坐标已知,可以根据坐标来选择用点斜式还是两点式求解.
【方法总结】当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,若两点的连线不垂直于坐标轴,则考虑用两点式的分式形式求方程.
巩固训练
1.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.
2.已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
探究2：直线的截距式方程
情境设置
　　问题1:怎样理解直线的截距式方程
问题2:方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗
新知生成
　　直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0
示意图
直线方程 +=1
适用范围 斜率存在且不为零,不过原点
　　(1)截距式方程等号左边以“+”相连,等号右边是1.
(2)a叫作直线在x轴上的截距,a∈R,且a≠0,不一定有a>0.
新知运用
例2　求过点(4,-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
方法指导　讨论截距等于0和不等于0两种情况,然后设方程求解.
【方法总结】　(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直的情况.
巩固训练
　　求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程.
探究3：中点坐标公式的应用
情境设置
　　如图,已知A,B,C三点,且B是AC的中点.
问题1:若已知点A(x1,y1),B(x,y),C(x2,y2),如何根据向量法用点A,C的坐标表示点B的坐标
问题2:问题1中的x,y的表达式适合求任何两点的中点坐标吗
新知生成
　　线段的中点坐标公式
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设P(x,y)是线段P1P2的中点,
则
新知运用
例3　在△ABC中,点A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).
(1)求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程;
　　(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【方法总结】中点坐标公式,是求中点坐标的常用公式,记住公式是解题的关键.
巩固训练
　　在△ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线MN的方程.
【随堂检测】
1.在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　　).
A.+=1　　　　　 B.+=1
C.-=1 D.+=1
2.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(　　).
A.y=-x-1 B.y=-x+1
C.y=x+1 D.y=x-1
3.若直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=　　　　.
4.求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
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