资源简介

2.2.3 课时1 直线的一般式方程
【学习目标】
1.掌握直线的一般式方程.(逻辑推理)
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.(直观想象)
3.会进行直线方程的五种形式之间的相互转化.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.前两节我们学习了直线方程的四种形式,你能写出这四种形式吗
【答案】①点斜式方程为y-y0=k(x-x0);②斜截式方程为y=kx+b;③两点式方程为=(x2≠x1,y2≠y1)或(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)=0;④截距式方程为+=1(a≠0,b≠0).
2.我们学习过四种表示直线的方程,它们有怎样的区别与联系
【答案】区别:四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的,方程的应用条件不同,呈现的表达形式也不同.
联系:四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画,得到直线的代数表示,即直线上点的横、纵坐标x,y之间的关系,且部分方程有限制条件.
3.上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性
【答案】点斜式方程、斜截式方程不适用于斜率不存在的情况;两点式方程的分式形式不适用于与两坐标轴平行的情况;截距式方程不适用于直线过原点、直线与两坐标轴平行的情况.
4.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗 为什么
【答案】都可以,原因如下:①当直线和y轴相交于点(0,b)时,倾斜角α≠,直线的斜率k存在,直线可表示成y=kx+b,可转化为kx+(-1)y+b=0,这是关于x,y的二元一次方程.
②当直线和y轴平行(包含重合)时,倾斜角α=,直线的斜率k不存在,不能用y=kx+b表示,而只能表示成x-a=0,它可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直线,则B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A2+B2≠0. (　　)
　　【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】D
【解析】因为直线的斜率k=-,所以直线的倾斜角为150°,故选D.
3.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为(　　).
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
【答案】C
【解析】由题意得,经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为y+2=-2(x-8),即2x+y-14=0.
4.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为　　　　;截距式方程为　　　　;斜截式方程为　　　　;一般式方程为　　　　.
【答案】y+4=(x-0)　+=1　y=x-4　x-y-4=0
【解析】由题意可得,点斜式方程为y+4=(x-0),截距式方程为+=1,斜截式方程为y=x-4,一般式方程为x-y-4=0.
【合作探究】
探究1：一般式方程
情境设置
　　问题1:观察下列直线方程:
直线l1:y-2=3(x-1);直线l2:y=3x+2;
直线l3:=;直线l4:+=1.
上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式吗
【答案】根据它们的方程,都能整理成二元一次方程的形式.
问题2:每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都能表示一条直线吗 为什么
【答案】能表示一条直线,理由如下:当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-,它表示过点0,-,斜率为-的直线;
当B=0时,方程Ax+By+C=0变成Ax+C=0,即x=-,它表示与y轴平行或重合的一条直线.
问题3:在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
【答案】当A=0,B≠0时,方程变为y=-,当C≠0时,表示的直线平行于x轴,当C=0时,与x轴重合;当A≠0,B=0时,方程变为x=-,当C≠0时,表示的直线平行于y轴,当C=0时,与y轴重合.
问题4:二元一次方程与直线的关系是什么
【答案】①二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.
②二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的,因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.
新知生成
　　直线的一般式方程
定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.
适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.
系数的几何意义:
①当B≠0时,斜率k=-,在y轴上的截距为-;
②当B=0,A≠0时,斜率不存在,在x轴上的截距为-.
解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式.
新知运用
例1　根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;
(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;
(4)经过点P1(3,-2)和点P2(5,-4).
方法指导　根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=-(x-8),
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得+=1,即2x-y-3=0.
(4)由两点式得=,即x+y-1=0.
【方法总结】在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的方法还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式.在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意其适用的前提条件.
巩固训练
1.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　.
【答案】x-y-6=0
【解析】设直线的斜截式方程为y=kx+b(k≠0),则由题意得k=tan 45°=1,b=-6,所以y=x-6,即x-y-6=0.
2.已知点A(2,-1),B(6,1),则在y轴上的截距为-3,且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　.
【答案】3x-4y-12=0
【解析】由于A(2,-1),B(6,1),故线段AB中点的坐标为(4,0),又直线在y轴上的截距是-3,∴直线方程为-=1,即3x-4y-12=0.
探究2：直线的一般式方程的应用
例2　已知直线l: 5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
解析 　(1)将直线l的方程整理为y-=a,
∵直线l的斜率为a,且过定点A,又点A在第一象限内,∴不论a为何值,l恒过第一象限.
(2)直线OA的斜率kOA==3.
如图所示,要使l不经过第二象限,只需斜率a≥kOA=3.
∴a≥3,即a的取值范围是[3,+∞).
【方法总结】　(1)要证直线l总经过某一象限,只需证直线l总经过该象限内的一个定点即可.
(2)要证直线l不经过某一象限,可将该直线方程转化为斜截式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号.
巩固训练
　　已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)①当a=-1时,直线l的方程为y+3=0,显然不符合题意.
②当a≠-1时,令x=0,则y=a-2,
令y=0,则x=.
∵l在两坐标轴上的截距相等,
∴a-2=,
解得a=2或a=0,
经检验均是方程的解.
综上,a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,故要使l不经过第二象限,只需解得a≤-1,
∴实数a的取值范围为(-∞,-1].
【随堂检测】
1.直线+=1的一般式方程为(　　).
A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
【答案】C
【解析】直线+=1化成一般式方程为4x+3y-12=0.
2.若ax+by+c=0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足条件(　　).
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
【答案】D
【解析】y轴方程表示为x=0,所以a,b,c满足的条件为b=c=0,且a≠0.
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　.
【答案】2x-y+1=0
【解析】由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1),化成一般式为2x-y+1=0.
4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是　　　　.
【答案】3
【解析】∵已知直线的倾斜角为45°,∴该直线的斜率存在且为1,可得解得m=3.
22.2.3 课时1 直线的一般式方程
【学习目标】
1.掌握直线的一般式方程.(逻辑推理)
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.(直观想象)
3.会进行直线方程的五种形式之间的相互转化.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.前两节我们学习了直线方程的四种形式,你能写出这四种形式吗
2.我们学习过四种表示直线的方程,它们有怎样的区别与联系
3.上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性
4.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗 为什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直线,则B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A2+B2≠0. (　　)
　
2.在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为(　　).
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
4.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为　　　　;截距式方程为　　　　;斜截式方程为　　　　;一般式方程为　　　　.
【合作探究】
探究1：一般式方程
情境设置
　　问题1:观察下列直线方程:
直线l1:y-2=3(x-1);直线l2:y=3x+2;
直线l3:=;直线l4:+=1.
上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式吗
问题2:每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都能表示一条直线吗 为什么
问题3:在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
问题4:二元一次方程与直线的关系是什么
新知生成
　　直线的一般式方程
定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.
适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.
系数的几何意义:
①当B≠0时,斜率k=-,在y轴上的截距为-;
②当B=0,A≠0时,斜率不存在,在x轴上的截距为-.
解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式.
新知运用
例1　根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;
(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;
(4)经过点P1(3,-2)和点P2(5,-4).
方法指导　根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.
【方法总结】在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的方法还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式.在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意其适用的前提条件.
巩固训练
1.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　.
2.已知点A(2,-1),B(6,1),则在y轴上的截距为-3,且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　.
探究2：直线的一般式方程的应用
例2　已知直线l: 5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
解析 　(1)将直线l的方程整理为y-=a,
∵直线l的斜率为a,且过定点A,又点A在第一象限内,∴不论a为何值,l恒过第一象限.
(2)直线OA的斜率kOA==3.
如图所示,要使l不经过第二象限,只需斜率a≥kOA=3.
∴a≥3,即a的取值范围是[3,+∞).
【方法总结】　(1)要证直线l总经过某一象限,只需证直线l总经过该象限内的一个定点即可.
(2)要证直线l不经过某一象限,可将该直线方程转化为斜截式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号.
巩固训练
　　已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【随堂检测】
1.直线+=1的一般式方程为(　　).
A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
2.若ax+by+c=0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足条件(　　).
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=c=0
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　.
4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是　　　　.
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