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2.2.3 课时2 直线的方向向量与法向量
【学习目标】
1.了解直线的方向向量与法向量.(数学抽象、直观想象)
2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是直线的方向向量 它与斜率k有什么关系
2.直线l的方向向量v唯一吗 为什么
3.直线的法向量与直线的方向向量有什么关系 直线的法向量是唯一的吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线y=kx+b的全体方向向量为(k,1). (　　)
(2)直线y=kx+b的一个法向量为(k,-1). (　　)
2.若直线过A(0,1),B(2,-1)两点,则下列不是直线的方向向量的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(0,1) D.(1,-1)
3.在平面直角坐标系中,直线l的倾斜角是60°,则直线l的全体方向向量为(　　)(其中λ≠0).
A.λ(,1) B.λ(1,)
C.λ,-1 D.λ-1,
4.已知直线l的一个方向向量为(3,4),且过点(-1, 2),则直线l的点斜式方程为　　　　 　.
【合作探究】
探究1：直线的方向向量
情境设置
　　问题1:求直线y=-2x+1的全体方向向量.
问题2:求直线Ax+By+C=0(A,B不能同时为0)的全体方向向量.
新知生成
1.直线的方向向量
与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量,用它们来表示直线的方向.
直线l的方向向量v并不唯一,v的所有的非零实数倍λv都是方向向量.反过来,所有的方向向量都与 l 平行,因此它们相互平行,互为实数倍.
2.斜率为k的直线的方向向量
斜率为k的直线的方向向量为(1, k)的非零实数倍.
3.直线一般式的方向向量
直线Ax+By+C=0的全体方向向量为λ(-B,A),其中λ为任意非零实数.
新知运用
例1　(1)求直线2x+2y-1=0的全体方向向量.
(2)已知直线l的一个方向向量为,且经过点P(2,-1),求直线l的方程.
【方法总结】求直线的方向向量可以化为点斜式,也可以根据一般式的直线的方向向量公式求解.此外,倾斜角为α的直线的一个方向向量为(cos α, sin α).已知方向向量求直线方程,可根据方向向量与直线的关系,求出斜率,再根据条件写出直线方程.
巩固训练
　　写出直线2x+y+1=0的一个方向向量m=　　　.
探究2：直线的法向量
情境设置
　　问题1:求直线y=kx+b的法向量.
问题2:类比直线l:Ax+By+C=0(A,B不能同时为0)的方向向量,推导直线l的法向量.
新知生成
1.直线的法向量
与直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的非零向量(A,B)称为直线l的一个法向量.
2.点斜式与一般式的法向量
(1)斜率为k的直线的一个法向量为(k,-1).
(2)直线方程 Ax+By+C=0 (A, B不同时为0)的法向量为(A,B).
新知运用
例2　写出满足下列条件的直线的方程:
(1)垂直于向量(-1,5)并且经过点A(3,-1);
(2)经过点A(-2,3)和B(1,-7).
【方法总结】已知过点P(x0,y0),且其一个法向量为(A,B)的直线方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.
巩固训练
过点(2,-1)且法向量为(2,-1)的直线方程是　　　　.
【随堂检测】
1.若直线l的倾斜角等于135°,则直线l的一个方向向量是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,-) D.(3,)
2.过点A(-1,5)且以n=(-2,-1)为法向量的直线方程为　　　　.
3.已知直线l过点P(-1,2),Q(2,-2),求直线l的法向量及方程.
22.2.3 课时2 直线的方向向量与法向量
【学习目标】
1.了解直线的方向向量与法向量.(数学抽象、直观想象)
2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是直线的方向向量 它与斜率k有什么关系
【答案】 与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量;斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍.
2.直线l的方向向量v唯一吗 为什么
【答案】 直线l的方向向量v并不唯一,因为v的所有非零实数倍λv都是方向向量.
3.直线的法向量与直线的方向向量有什么关系 直线的法向量是唯一的吗
【答案】 直线的法向量与直线的方向向量垂直;直线的法向量不唯一.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线y=kx+b的全体方向向量为(k,1). (　　)
(2)直线y=kx+b的一个法向量为(k,-1). (　　)
【答案】(1)×　(2)√
2.若直线过A(0,1),B(2,-1)两点,则下列不是直线的方向向量的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(0,1) D.(1,-1)
【答案】C
【解析】若直线过A(0,1),B(2,-1)两点,则=(2,-2),则(0,1)不是直线的方向向量,故选C.
3.在平面直角坐标系中,直线l的倾斜角是60°,则直线l的全体方向向量为(　　)(其中λ≠0).
A.λ(,1) B.λ(1,)
C.λ,-1 D.λ-1,
【答案】 B
【解析】因为直线l的倾斜角是60°,所以该直线的斜率k=,所以直线l的全体方向向量为λ(1,),故选B.
4.已知直线l的一个方向向量为(3,4),且过点(-1, 2),则直线l的点斜式方程为　　　　 　.
【答案】 y-2=(x+1)
【解析】因为直线l的一个方向向量为(3,4),所以直线l的斜率为,
所以直线l的点斜式方程为y-2=(x+1).
【合作探究】
探究1：直线的方向向量
情境设置
　　问题1:求直线y=-2x+1的全体方向向量.
【答案】 由题意知,直线的斜率k=-2,所以直线y=-2x+1的全体方向向量为λ(1,-2)(其中λ≠0,且λ∈R).
问题2:求直线Ax+By+C=0(A,B不能同时为0)的全体方向向量.
【答案】 直线上任意两点P(x0,y0),Q(x,y)的坐标满足等式:
Ax0+By0+C=0,　①
Ax+By+C=0.　②
由②-①得A(x-x0)+B(y-y0)=0.　③
当P,Q两点不重合时,=(x-x0,y-y0)代表了直线的全体方向向量,将③式的左边写成数量积的形式,得(A,B)·(x-x0,y-y0)=0.　④
由④可知,与向量(A,B)垂直,因此这条直线与向量(A,B)垂直.
又向量(-B,A)与向量(A,B)垂直,所以(-B,A)是直线的一个方向向量,故直线的全体方向向量为λ(-B,A),其中λ为任意非零实数.
新知生成
1.直线的方向向量
与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量,用它们来表示直线的方向.
直线l的方向向量v并不唯一,v的所有的非零实数倍λv都是方向向量.反过来,所有的方向向量都与 l 平行,因此它们相互平行,互为实数倍.
2.斜率为k的直线的方向向量
斜率为k的直线的方向向量为(1, k)的非零实数倍.
3.直线一般式的方向向量
直线Ax+By+C=0的全体方向向量为λ(-B,A),其中λ为任意非零实数.
新知运用
例1　(1)求直线2x+2y-1=0的全体方向向量.
(2)已知直线l的一个方向向量为,且经过点P(2,-1),求直线l的方程.
【解析】(1)(法一)由直线2x+2y-1=0变形可得y=-x+,
所以直线的斜率k=-,
所以向量(1,-)为直线的一个方向向量,
故该直线的全体方向向量为λ(1,-)(λ为任意非零实数).
(法二)根据一般式的方向向量可得直线2x+2y-1=0的全体方向向量为λ(-2,2)(λ为任意非零实数).
(2)由直线l的一个方向向量为-,1,得直线l的斜率k=-2,
故直线l的方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
【方法总结】求直线的方向向量可以化为点斜式,也可以根据一般式的直线的方向向量公式求解.此外,倾斜角为α的直线的一个方向向量为(cos α, sin α).已知方向向量求直线方程,可根据方向向量与直线的关系,求出斜率,再根据条件写出直线方程.
巩固训练
　　写出直线2x+y+1=0的一个方向向量m=　　　.
【答案】(1,-2)(答案不唯一)
【解析】由题意可知,直线2x+y+1=0可以化为y=-2x-1,
所以直线的斜率为-2,故直线的一个方向向量可以为(1,-2).
探究2：直线的法向量
情境设置
　　问题1:求直线y=kx+b的法向量.
【答案】若直线上任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1 ≠x2)的坐标满足k=,即y2-y1=k(x2-x1).
方向向量=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1, k(x2-x1))=(x2-x1)(1,k)=λ(1,k),
其中,λ=x2-x1可以取任何非零实数.
因为(k,-1)·(1,k)=0,所以斜率为k的直线的一个法向量为(k,-1).
问题2:类比直线l:Ax+By+C=0(A,B不能同时为0)的方向向量,推导直线l的法向量.
【答案】 因为直线l:Ax+By+C=0的一个方向向量为(-B,A),根据垂直关系可知直线l的一个法向量为(A,B).
新知生成
1.直线的法向量
与直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的非零向量(A,B)称为直线l的一个法向量.
2.点斜式与一般式的法向量
(1)斜率为k的直线的一个法向量为(k,-1).
(2)直线方程 Ax+By+C=0 (A, B不同时为0)的法向量为(A,B).
新知运用
例2　写出满足下列条件的直线的方程:
(1)垂直于向量(-1,5)并且经过点A(3,-1);
(2)经过点A(-2,3)和B(1,-7).
【解析】(1)(法一)由条件可知向量(-1,5)为所求直线的法向量,
故可设直线的一般式方程为-x+5y+m=0.
将点A(3,-1)代入上述方程,得-3-5+m=0,解得m=8.
因此所求直线方程为 x-5y-8=0.
(法二)直线方程为-(x-3)+5(y+1)=0,即x-5y-8=0.
(2)由已知条件可知直线的方向向量=(3,-10),则直线AB的法向量n=(10,3),
故直线方程为10(x+2)+3(y-3)=0,即10x+3y+11=0.
【方法总结】已知过点P(x0,y0),且其一个法向量为(A,B)的直线方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.
巩固训练
过点(2,-1)且法向量为(2,-1)的直线方程是　　　　.
【答案】 2x-y-5=0
【解析】设(x,y)是所求直线上任意一点,则2(x-2)-(y+1)=0,
即所求直线方程为2x-y-5=0.
【随堂检测】
1.若直线l的倾斜角等于135°,则直线l的一个方向向量是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,-1) B.(1,1)
C.(2,-) D.(3,)
【答案】A
【解析】∵直线l的倾斜角等于135°,∴直线l的斜率k=-1,
∴直线l的一个方向向量为(1,-1).
2.过点A(-1,5)且以n=(-2,-1)为法向量的直线方程为　　　　.
【答案】 2x+y-3=0
【解析】设B(x,y)是所求直线上不与点A重合的一点,则直线的方向向量为a==(x+1,y-5),又直线的法向量为n=(-2,-1),由a·n=0得-2(x+1)-(y-5)=0,即2x+y-3=0.
3.已知直线l过点P(-1,2),Q(2,-2),求直线l的法向量及方程.
【解析】由已知得=(3,-4),则直线l的法向量n=(4,3),
故直线l的方程为4(x+1)+3(y-2)=0,即4x+3y-2=0.
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