资源简介

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
【学习目标】
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象)
2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理)
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.我们知道,平面中的两条不重合直线有两种位置关系:相交、平行.当直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系 证明你的结论.
2.两条直线平行,它们的斜率一定相等吗
3.当两条相交直线的斜率都存在时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交.在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形,直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等,则这两条直线平行. (　　)
(2)若l1∥l2,则k1=k2. (　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. (　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行. (　　)
2.已知点A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率kl=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-3 B.3 C.- D.
3.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　).
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
4.已知l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=　　　　.
【合作探究】
探究1：两条直线平行的判定
情境设置
　　问题1:如果两条直线中某条直线的斜率不存在,那么怎么判断它们的位置关系
问题2:如何用斜率关系证明三点共线
新知生成
　　两条直线平行
(1)两条直线都有斜率且不重合时的平行
已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(2)特殊情况下的两条直线的平行
若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率也不存在,反之,若两条不重合直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.
特别提醒:讨论两条直线平行时,要分斜率存在和斜率不存在两种情形,缺少任何一种情形都有可能发生错误.
新知运用
例1　求m,n的值,使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足:
(1)平行于x轴;
(2)平行于直线l2:7x-y+15=0.
【方法总结】　(1)判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行,因为斜率相等也可能推出两条直线重合.
(2)应用两条直线平行求参数值时,应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论.
巩固训练
判断下列各组直线是否平行,并说明理由.
(1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+1.
(2)l1:x+2y-1=0,l2:x+2y=0.
(3)l1:x+2=0,l2:2x=1.
探究2：两条直线垂直的判定
情境设置
　　问题1:如果两条直线垂直,那么这两条直线的方向向量具有怎样的关系
问题2:若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1吗
新知生成
　　两条直线垂直
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于　-1　;反之,如果它们的斜率之积等于　-1　,那么它们互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特别提醒:l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
新知运用
例2　(1)已知l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
【方法总结】利用斜率公式判定两条直线垂直的步骤:
一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则该直线的斜率不存在,这时只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等,若相等,则两条直线垂直;若不相等,则进行第二步.二代:将点的坐标代入斜率公式.三求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.
巩固训练
1.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
2.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的斜截式方程为　　　　.
探究3：由一般式确定两条直线的位置关系
情境设置
问题1:给出直线的一般式,如何解决两条直线平行或垂直中的参数问题
问题2:直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不全为0,A2,B2也不全为0.当l1∥l2时,直线方程中的系数应满足什么关系
问题3:在问题2的条件下,当l1⊥l2时,直线方程中的系数应满足什么关系
新知生成
1.直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.
(1)两条直线平行的条件
l1∥l2 法向量平行 A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ是非零实数.
(2)两条直线垂直的条件
l1⊥l2 法向量垂直 (A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
新知运用
例3　(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
【方法总结】在利用直线的一般式求解直线的平行或垂直问题时,参数的值或取值范围易忽视讨论.
巩固训练
已知直线l的方程为3x+4y-12=0,当直线l'满足下列条件时,求直线l'的一般式方程.
(1)过点(-1,3)且与l平行;
(2)过点(-1,3)且与l垂直.
【随堂检测】
1.已知经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则实数m的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
2.已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+(2a-3)y+5=0垂直,则a=(　　).
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.已知在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为AC,BC的中点,则直线EF的斜率为　　　　.
4.已知在平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),C,m,D(0,-3).
(1)若点C在直线AB上,求m的值;
(2)若直线AC与直线BD平行,求m的值;
(3)若直线AC与直线BC垂直,求m的值.
22.3.1　两条直线平行与垂直的判定
【学习目标】
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象)
2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理)
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.我们知道,平面中的两条不重合直线有两种位置关系:相交、平行.当直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系 证明你的结论.
【答案】相等,因为两条直线平行,它们的倾斜角相等.
2.两条直线平行,它们的斜率一定相等吗
【答案】不一定,因为两条直线平行,有可能它们的斜率都不存在.
3.当两条相交直线的斜率都存在时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交.在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形,直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系
【答案】若斜率存在,则k1k2=-1;若有一条直线的斜率为0,则另一条直线的斜率不存在.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等,则这两条直线平行. (　　)
(2)若l1∥l2,则k1=k2. (　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. (　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知点A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率kl=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-3 B.3 C.- D.
【答案】B
【解析】由题意知kAB==3,∵l∥AB,∴kl=3.
3.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　).
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
【答案】D
【解析】设l1,l2的斜率分别为k1,k2,由题意知k1·k2=-1,所以l1⊥l2.故选D.
4.已知l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=　　　　.
【答案】0
【解析】设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,∵l1∥l2,且k2==-1,∴k1==-1,∴m=0.
【合作探究】
探究1：两条直线平行的判定
情境设置
　　问题1:如果两条直线中某条直线的斜率不存在,那么怎么判断它们的位置关系
【答案】当直线的斜率不存在时,可以画图判断它们的位置关系.
问题2:如何用斜率关系证明三点共线
【答案】对于A,B,C三点,如果直线AB的斜率等于直线AC的斜率,或直线AB与AC的斜率均不存在,它们有公共点A,那么A,B,C三点共线.
新知生成
　　两条直线平行
(1)两条直线都有斜率且不重合时的平行
已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(2)特殊情况下的两条直线的平行
若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率也不存在,反之,若两条不重合直线的斜率都不存在,则这两条直线平行.
特别提醒:讨论两条直线平行时,要分斜率存在和斜率不存在两种情形,缺少任何一种情形都有可能发生错误.
新知运用
例1　求m,n的值,使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足:
(1)平行于x轴;
(2)平行于直线l2:7x-y+15=0.
【解析】(1)当直线l1平行于x轴时,直线l1的斜率为0,即m-1=0,得m=1.
又直线l1不与x轴重合,所以-n+7≠0,即n≠7.
综上所述,当m=1且n≠7时,直线l1平行于x轴.
(2)将7x-y+15=0化为斜截式得y=7x+15,得到直线l2的斜率k2=7,截距b2=15.
当l1∥l2时,应有直线l1的斜率k1=k2=7且截距b1≠b2=15,即m-1=7且-n+7≠15,∴m=8且n≠-8.
【方法总结】　(1)判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行,因为斜率相等也可能推出两条直线重合.
(2)应用两条直线平行求参数值时,应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论.
巩固训练
判断下列各组直线是否平行,并说明理由.
(1)l1:y=3x+2,l2:y=3x+1.
(2)l1:x+2y-1=0,l2:x+2y=0.
(3)l1:x+2=0,l2:2x=1.
【解析】(1)平行.理由如下:设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2.
由l1,l2的方程可知k1=k2=3,且b1≠b2,故l1∥l2.
(2)平行.理由如下:设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2.
因为l1,l2的方程可分别化为斜截式l1:y=-x+,l2:y=-x,所以k1=k2=-且b1≠b2,所以l1∥l2.
(3)平行.理由如下:由l1,l2的方程可知,l1⊥x轴,l2⊥x轴,且两条直线l1,l2在x轴上的截距不相同,故l1∥l2.
探究2：两条直线垂直的判定
情境设置
　　问题1:如果两条直线垂直,那么这两条直线的方向向量具有怎样的关系
【答案】如果两条直线垂直,那么这两条直线的方向向量垂直.
问题2:若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1吗
【答案】不一定,如果两条直线l1,l2中的一条与x轴平行(或重合),另一条与x轴垂直(即与y轴平行或重合),即两条直线中一条的倾斜角为0°,另一条的倾斜角为90°,从而一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,但这两条直线互相垂直.
新知生成
　　两条直线垂直
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于　-1　;反之,如果它们的斜率之积等于　-1　,那么它们互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特别提醒:l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
新知运用
例2　(1)已知l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
【解析】(1)由题意得,直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意知,l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意;
当l1的斜率k1存在时,a≠5,
由斜率公式得k1==,
k2==.
由l1⊥l2知,k1k2=-1,
即·=-1,解得a=0.
综上所述,a的值为0或5.
【方法总结】利用斜率公式判定两条直线垂直的步骤:
一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则该直线的斜率不存在,这时只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等,若相等,则两条直线垂直;若不相等,则进行第二步.二代:将点的坐标代入斜率公式.三求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.
巩固训练
1.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
【答案】D
【解析】直线y=2x+1的斜率k1=2,则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k2=-,因为在y轴上的截距为4,所以直线的斜截式方程为y=-x+4.
2.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的斜截式方程为　　　　.
【答案】y=x+3
【解析】设BC边上的高为AD,则BC⊥AD,所以kAD·kBC=-1,因为kBC==-,即-·kAD=-1,所以kAD=,所以BC边上的高所在直线的方程为y-0=(x+5),即y=x+3.
探究3：由一般式确定两条直线的位置关系
情境设置
问题1:给出直线的一般式,如何解决两条直线平行或垂直中的参数问题
【答案】由平行或垂直可得到两条直线斜率的关系式,然后建立方程求解,注意斜率不存在的情况.
问题2:直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不全为0,A2,B2也不全为0.当l1∥l2时,直线方程中的系数应满足什么关系
【答案】当两条直线的斜率都不存在时,B1=B2=0,A1A2≠0,≠,
因此有A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0,
当两条直线的斜率都存在时,-=-且-≠-,
因此有A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,
所以l1∥l2的条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).
问题3:在问题2的条件下,当l1⊥l2时,直线方程中的系数应满足什么关系
【答案】若两条直线中的一条斜率不存在,则另一条斜率为0,如B2=0,A1=0,A1A2+B1B2=0;
若两条直线斜率都存在,则-·-=-1,即A1A2+B1B2=0,
所以l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.
新知生成
1.直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.
(1)两条直线平行的条件
l1∥l2 法向量平行 A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ是非零实数.
(2)两条直线垂直的条件
l1⊥l2 法向量垂直 (A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
新知运用
例3　(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
【解析】(1)由题意得2×3=m(m+1),
解得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,所以l1∥l2;
同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,
显然l1与l2不重合,所以l1∥l2.
所以m的值为2或-3.
(2)由题意知直线l1⊥l2,
所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1,
将a=±1代入方程,均满足题意,
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
【方法总结】在利用直线的一般式求解直线的平行或垂直问题时,参数的值或取值范围易忽视讨论.
巩固训练
已知直线l的方程为3x+4y-12=0,当直线l'满足下列条件时,求直线l'的一般式方程.
(1)过点(-1,3)且与l平行;
(2)过点(-1,3)且与l垂直.
【解析】(1)∵l'与l平行,∴可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴直线l'的方程为3x+4y-9=0.
(2)∵l'与l垂直,∴可设其方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
∴直线l'的方程为4x-3y+13=0.
【随堂检测】
1.已知经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则实数m的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
【答案】B
【解析】由题意知=1,解得m=1.
2.已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+(2a-3)y+5=0垂直,则a=(　　).
A.3 B.2 C.1 D.-1
【答案】C
【解析】由题意得a·1+1·(2a-3)=0,解得a=1.
3.已知在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为AC,BC的中点,则直线EF的斜率为　　　　.
【答案】-2
【解析】因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB,所以kEF=kAB==-2.
4.已知在平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),C,m,D(0,-3).
(1)若点C在直线AB上,求m的值;
(2)若直线AC与直线BD平行,求m的值;
(3)若直线AC与直线BC垂直,求m的值.
【解析】(1)因为点C在直线AB上,所以kAB=kAC,即=,解得m=.
(2)因为直线AC与直线BD平行,所以kAC=kBD,即=,解得m=,
经检验两直线不重合,所以m=.
(3)因为直线AC与直线BC垂直,且两直线斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,
即·=-1,解得m=.
2

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