资源简介

2.3.2　两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.进一步巩固两条直线的位置关系的相关知识.
2.掌握两条直线相交位置关系的判定,学会求其交点坐标.
3.掌握直线系方程的关系.
【自主预习】
预学忆思
1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系
【答案】直线l上每一个点的坐标都满足其直线方程,也就是说直线l上的点的坐标都是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
2.由两直线l1、l2的方程组成的方程组解的情况与两直线的位置关系有何对应关系
【答案】①若方程组无解,则l1∥l2;
②若方程组有且只有一个解,则l1与l2相交;
③若方程组有无数个解,则l1与l2重合.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不论m取何值,x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.(　　)
(2)两直线l1与l2有无数个公共点,则l1∥l2. (　　)
(3)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两直线相交. (　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√
2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,2) B.(1,1)
C.(1,2) D.(2,1)
【答案】C
【解析】由得两直线的交点坐标为(1,2),故选C.
3.下列各直线中,与直线2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
【答案】D
【解析】直线2x-y-3=0的斜率为2,A,B,C选项中的直线斜率均为2,D选项中的直线的斜率为-2,故D符合题意.
【合作探究】
探究1：两条直线的交点坐标
情境设置
观察图形,思考下列问题:
问题1:在两直线方程联立的方程组中,每一个方程都可表示为一条直线,那么方程组的解表示什么
　　【答案】两直线的公共部分,即交点.
问题2:如何求上述两直线的交点坐标
【答案】将两直线方程联立,求方程组的解即可.
问题3:两条直线相交的条件是什么
【答案】两条直线相交的条件:①将两直线方程联立,解方程组,当方程组只有一个解时,两直线相交.②设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0,B2≠0).③若两直线的斜率都存在,设两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2相交 k1≠k2.
新知生成
方程组的解与两直线的交点个数
方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解
直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个
直线l1与l2的位置关系 相交 平行 重合
新知运用
例1　(1)(多选题)下列选项中,正确的有(　　).
A.直线l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3)
B.直线l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1)
C.直线l1:2x+y+2=0和l2:y=-2x+3的交点坐标为(-2,2)
D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交
(2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-24 B.24 C.6 D.±6
【答案】(1)AD　(2)A
【解析】(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交,交点坐标为(1,3),A正确;
方程组有无数组解,这表明直线l1和l2重合,B错误;
方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2,C错误;
方程组的解为方程组的解为方程组的解为所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1),D正确.
(2)因为两直线相交,所以k≠-.
联立解得因为直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,所以y==0,解得k=-24.
巩固训练
1.判断下列各组中直线l1与l2是否相交.若相交,求出它们的交点.
(1)l1:x-4y-1=0,l2:x+2y-4=0.
(2)l1:x-y-2=0,l2:x+y+2=0.
(3)l1:x-3y-2=0,l2:2x-3y+1=0.
【解析】(1)由题设,l1中A1=1,B1=-4,l2中A2=1,B2=2,则A1B2-A2B1=1×2-1×(-4)=6≠0,
所以l1与l2相交,由方程组解得即交点为3,.
(2)由题设,l1中A1=,B1=-1,l2中A2=1,B2=,则A1B2-A2B1=×-1×(-1)=4≠0,
所以l1与l2相交,由方程组解得即交点为(1,-).
(3)由题设,l1中A1=,B1=-3,l2中A2=2,B2=-3,则A1B2-A2B1=×(-3)-2×(-3)=0,
又当y=0时,l1中x=,l2中x=-,所以l1与l2不重合,
所以l1与l2平行.
2.当k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x+4y-4=0的交点P在第一象限
【解析】当k=-时,l1与l2平行,不符合题意.
当k≠-时,联立方程组
解得∴P,.
∵点P在第一象限,∴解得∴当探究2：经过两条直线交点的直线方程
情境设置
问题:怎样表示经过两条直线交点的直线系方程
【答案】 经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
新知生成
　　直线系方程
一般地,经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示为:
(1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
(2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不同时为零).
新知运用
例2　求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
【解析】(法一)联立方程组
解得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x+y-1=0平行,所以所求直线的斜率为-3.
故所求直线的方程为y+=-3,即15x+5y+16=0.
　　(法二)设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.　①
因为所求直线与直线3x+y-1=0平行,
所以有解得λ=.
代入①式,得x+y+=0,即15x+5y+16=0.
【方法总结】经过两条直线交点的直线方程的求法:(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
巩固训练
已知直线l经过原点,且经过直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
【答案】 B
【解析】设所求直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,因为l过原点,所以λ=8,则所求直线的方程为2x-y=0.
【随堂检测】
1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(4,1) B.(1,4)
C. D.
【答案】C
【解析】由方程组得即直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是.
2.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　).
A.(-3,-1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(-2,1)
【答案】C
【解析】直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,
令解得
所以直线l恒过定点(-3,1).故选C.
3.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则实数a的值为　　　　.
【答案】-1
【解析】联立解得又点(4,-2)在直线ax+2y+8=0上,所以4a+2×(-2)+8=0,解得a=-1.
4.不论a取何值,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过第　　　　象限.
【答案】四
【解析】直线方程可化为a(x+2y)+(-3x+6)=0,
令得
∴该直线恒过定点(2,-1),
∵点(2,-1)在第四象限,∴直线恒过第四象限.
22.3.2　两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.进一步巩固两条直线的位置关系的相关知识.
2.掌握两条直线相交位置关系的判定,学会求其交点坐标.
3.掌握直线系方程的关系.
【自主预习】
预学忆思
1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系
2.由两直线l1、l2的方程组成的方程组解的情况与两直线的位置关系有何对应关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不论m取何值,x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.(　　)
(2)两直线l1与l2有无数个公共点,则l1∥l2. (　　)
(3)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两直线相交. (　　)
2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,2) B.(1,1)
C.(1,2) D.(2,1)
3.下列各直线中,与直线2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
【合作探究】
探究1：两条直线的交点坐标
情境设置
观察图形,思考下列问题:
问题1:在两直线方程联立的方程组中,每一个方程都可表示为一条直线,那么方程组的解表示什么
　
问题2:如何求上述两直线的交点坐标
问题3:两条直线相交的条件是什么
新知生成
方程组的解与两直线的交点个数
方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解
直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个
直线l1与l2的位置关系 相交 平行 重合
新知运用
例1　(1)(多选题)下列选项中,正确的有(　　).
A.直线l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3)
B.直线l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1)
C.直线l1:2x+y+2=0和l2:y=-2x+3的交点坐标为(-2,2)
D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交
(2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-24 B.24 C.6 D.±6
巩固训练
1.判断下列各组中直线l1与l2是否相交.若相交,求出它们的交点.
(1)l1:x-4y-1=0,l2:x+2y-4=0.
(2)l1:x-y-2=0,l2:x+y+2=0.
(3)l1:x-3y-2=0,l2:2x-3y+1=0.
2.当k为何值时,直线l1:y=kx+3k-2与直线l2:x+4y-4=0的交点P在第一象限
探究2：经过两条直线交点的直线方程
情境设置
问题:怎样表示经过两条直线交点的直线系方程
新知生成
　　直线系方程
一般地,经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示为:
(1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
(2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不同时为零).
新知运用
例2　求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
【方法总结】经过两条直线交点的直线方程的求法:(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
巩固训练
已知直线l经过原点,且经过直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
【随堂检测】
1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(4,1) B.(1,4)
C. D.
2.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　).
A.(-3,-1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(-2,1)
3.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则实数a的值为　　　　.
4.不论a取何值,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过第　　　　象限.
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