资源简介

2.4　点到直线的距离
【学习目标】
1.领会两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能灵活运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解决相关问题.(直观想象、数学运算)
3.初步学会使用解析法研究几何问题.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2两点间的距离|P1P2|
【答案】①当x1≠x2,y1=y2时,|P1P2|=|x2-x1|;
②当x1=x2,y1≠y2时,|P1P2|=|y2-y1|;
③当x1≠x2,y1≠y2时,|P1P2|= .
2.如何用代数法求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
【答案】当A=0,B≠0时,点P0到直线l的距离为y0+;当B=0,A≠0时,点P0到直线l的距离为x0+;当A≠0,B≠0时,作P0Q垂直直线l于点Q,由直线l的斜率为-,可得l的垂线P0Q的斜率为,进而求出垂线P0Q的方程,再联立P0Q与直线l的方程,解得点Q的坐标,最后利用两点间的距离公式求出|P0Q|,即点P0到直线l的距离.
3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 如果能,如何转化
【答案】能.因为一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离,所以在一条直线上找到一个已知点,求这个点到另一条直线的距离即可.
4.在使用点到直线的距离公式时,对直线方程的形式有何要求
【答案】使用点到直线的距离公式的前提是直线方程为一般式.
5.如何求两条平行直线间的距离
【答案】因为两条平行线间的距离处处相等,所以可以转化为点到直线的距离求解,也可以利用两条平行直线间的距离公式,即两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程是一样的. (　　)
(2)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　)
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. (　　)
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
【答案】C
【解析】∵|AB|==5,∴a=-5或a=1.
3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　).
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】由题意知l1∥l2,则l1与l2之间的距离为=.
4.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为　　　　.
【答案】-4
【解析】由=,得m=-4或m=0,
∵点P在第二象限,∴m<0,故m=-4.
【合作探究】
探究1：两点间的距离公式
情境设置
　　在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和C,现在计划在公路上某处建一个公交站点,以方便两村村民的出行.
问题1:如何选址能使站点到两个村的距离之和最小
【答案】如图,过点C作公路的垂线,使CH=HB,连接AB交公路于点P,则在P处建公交站点,可使站点到两个村的距离之和最小,最小值为AB.
问题2:如果点A,B在x轴上,那么怎样求|AB|
【答案】当点A,B在x轴上时,yA=yB=0,|AB|=|xA-xB|.
问题3:如果点A,B在y轴上,那么怎样求|AB|
【答案】当点A,B在y轴上时,xA=xB=0,|AB|=|yA-yB|.
问题4:如果点A,B不在坐标轴上,那么如何求|AB|
【答案】因为=(xB-xA,yB-yA),
所以|AB|=||=.
新知生成
　　两点间的距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式|P1P2|=.
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|.
当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.
当点P1,P2中有一个是原点时,|P1P2|=或|P1P2|=.
新知运用
例1　(1)已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
(2)已知点M(x,-4)与点N(2,3)间的距离为7,求实数x的值.
方法指导　(1)设出点P的坐标,建立方程求解;(2)根据两点间的距离公式,列方程求解.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,0),
则有|PA|==,
|PB|==.
由|PA|=|PB|,得=,解得x=-,
所以点P的坐标为-,0,
所以|PA|==.
(2)由|MN|=7,得|MN|==7,即x2-4x-45=0,解得x1=9,x2=-5,
故所求实数x的值为9或-5.
【方法总结】已知两点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求两点间的距离,可直接运用两点间的距离公式|P1P2|=.若已知两点间的距离,求点的坐标,可设未知数,逆用两点间的距离公式列出方程,从而解决问题.
巩固训练
1.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　).
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
【答案】C
　　
【解析】如图,|AB|====2,|BC|====4,|AC|===2,∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC为直角三角形.故选C.
2.在直线2x-3y+5=0上求点P,使点P到A(2,3)的距离为,则点P的坐标是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
【答案】C
【解析】设点P(x0,y0),则y0=.由PA=,得(x0-2)2+-32=13,即(x0-2)2=9,解得x0=-1或x0=5.当x0=-1时,y0=1;当x0=5时,y0=5.∴点P的坐标为(-1,1)或(5,5).
探究2：点到直线的距离公式
情境设置
在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.
问题1:请同学们帮助设计一下,在理论上怎样铺路可以使这条连接饭馆和公路的道路最短
【答案】过饭馆作公路的垂线,沿着这条垂线铺路可以使这条连接饭馆和公路的道路最短.
问题2:能用向量求饭馆(设为点P)到公路(设为直线l)的距离吗 如何求
【答案】能,如图所示.
在直线l上取一点M,设向量n为与直线l垂直的单位向量(考虑单位向量的方向,不妨记以点P为出发点所作有向线段为单位向量),向量在向量n方向上的投影向量就是,所以||=||·|cos|=|n·|.
问题3:你能归纳出点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式吗
【答案】能,距离d=.
问题4:使用点到直线的距离公式,对直线方程有什么要求
【答案】直线方程要化为一般式.
问题5:在直线方程Ax+By+C=0中,当A=0或B=0时,点到直线的距离公式是否成立
【答案】公式成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可以用数形结合的方法求解.
新知生成
　　点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
新知运用
例2　求点P(3,-2)到下列直线的距离.
(1)y=x+;(2)y=6;(3)x=4.
【解析】(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d==.
(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.
【方法总结】点到直线的距离的求解方法:(1)求点到直线的距离,首先要把直线化成一般式方程,然后套用点到直线的距离公式;(2)当点与直线有特殊位置关系时,也可以用公式求解,但是这样会把问题变复杂了,要注意数形结合.
巩固训练
1.(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　).
A.3x+4y-21=0
B.4x+3y-21=0
C.x=3
D.y=3
【答案】AC
【解析】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.由题意可得=2,解得k=-,所以直线l的方程为3x+4y-21=0.综上,可得直线l的方程为x=3或3x+4y-21=0.
2.求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程.
【解析】设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,则由点到直线的距离公式知d===,
解得m=9或m=-3,
故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
探究3：两条平行直线间的距离
情境设置
观察下面平面直角坐标系中的直线,思考下列问题.
问题1:若过点P(x0,y0)的直线l'与l: Ax+By+C=0平行,则点P到直线l的距离和直线l'与直线l间的距离相等吗
【答案】相等.
问题2:怎样理解两条平行直线间的距离公式
【答案】①求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以利用公式求解.
②利用公式求两条平行直线间的距离时,两条直线的方程必须是一般式,且x,y的系数对应相等.
③当两条直线都与x轴或y轴垂直时,可利用数形结合来解决.
当两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则距离d=|x2-x1|;
当两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则距离d=|y2-y1|.
新知生成
　　(1)两条平行直线间的距离:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
(2)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.
新知运用
例3　若两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　.
【答案】
【解析】将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
由两平行线间的距离公式得=.
【方法总结】求两平行直线间的距离,先要将两直线方程化为一次项系数相同的方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.
巩固训练
　　求与直线l:5x-12y+6=0平行且与直线l距离为3的直线方程.
【解析】设与直线l平行的直线方程为5x-12y+b=0,
根据两平行直线间的距离公式得=3,
解得b=45或b=-33.
所以直线l的方程为5x-12y+45=0或5x-12y-33=0.
【随堂检测】
1.已知O为坐标原点,点P在直线x+y-1=0上运动,则|OP|的最小值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】易知|OP|的最小值即为坐标原点O到直线x+y-1=0的距离,则|OP|min=d==.
2.已知直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　).
A.4 B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线3x+2y-3=0可以化为6x+4y-6=0,由两条平行直线间的距离公式,得d==.
3.若点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为　　　　.
【答案】(2,10)或(-10,10)
【解析】由点M到x轴的距离等于10可知,其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM,±10).由两点间距离公式,得|MN|==10或|MN|==10,解得xM=-10或xM=2,所以点M的坐标为(2,10)或(-10,10).
4.若点(3,)到直线x+my-4=0的距离等于1,则m的值为　　　　.
【答案】0或
【解析】由题意知1=,
∴=|m-1|,解得m=0或m=.
22.4　点到直线的距离
【学习目标】
1.领会两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能灵活运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解决相关问题.(直观想象、数学运算)
3.初步学会使用解析法研究几何问题.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2两点间的距离|P1P2|
2.如何用代数法求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 如果能,如何转化
4.在使用点到直线的距离公式时,对直线方程的形式有何要求
5.如何求两条平行直线间的距离
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程是一样的. (　　)
(2)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　)
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. (　　)
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. (　　)
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　).
A.1 B. C. D.2
4.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为　　　　.
【合作探究】
探究1：两点间的距离公式
情境设置
　　在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和C,现在计划在公路上某处建一个公交站点,以方便两村村民的出行.
问题1:如何选址能使站点到两个村的距离之和最小
问题2:如果点A,B在x轴上,那么怎样求|AB|
问题3:如果点A,B在y轴上,那么怎样求|AB|
问题4:如果点A,B不在坐标轴上,那么如何求|AB|
新知生成
　　两点间的距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式|P1P2|=.
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|.
当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.
当点P1,P2中有一个是原点时,|P1P2|=或|P1P2|=.
新知运用
例1　(1)已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
(2)已知点M(x,-4)与点N(2,3)间的距离为7,求实数x的值.
方法指导　(1)设出点P的坐标,建立方程求解;(2)根据两点间的距离公式,列方程求解.
【方法总结】已知两点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求两点间的距离,可直接运用两点间的距离公式|P1P2|=.若已知两点间的距离,求点的坐标,可设未知数,逆用两点间的距离公式列出方程,从而解决问题.
巩固训练
1.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是(　　).
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
2.在直线2x-3y+5=0上求点P,使点P到A(2,3)的距离为,则点P的坐标是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
探究2：点到直线的距离公式
情境设置
在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.
问题1:请同学们帮助设计一下,在理论上怎样铺路可以使这条连接饭馆和公路的道路最短
问题2:能用向量求饭馆(设为点P)到公路(设为直线l)的距离吗 如何求
问题3:你能归纳出点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式吗
问题4:使用点到直线的距离公式,对直线方程有什么要求
问题5:在直线方程Ax+By+C=0中,当A=0或B=0时,点到直线的距离公式是否成立
新知生成
　　点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
新知运用
例2　求点P(3,-2)到下列直线的距离.
(1)y=x+;(2)y=6;(3)x=4.
【方法总结】点到直线的距离的求解方法:(1)求点到直线的距离,首先要把直线化成一般式方程,然后套用点到直线的距离公式;(2)当点与直线有特殊位置关系时,也可以用公式求解,但是这样会把问题变复杂了,要注意数形结合.
巩固训练
1.(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　).
A.3x+4y-21=0
B.4x+3y-21=0
C.x=3
D.y=3
2.求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程.
探究3：两条平行直线间的距离
情境设置
观察下面平面直角坐标系中的直线,思考下列问题.
问题1:若过点P(x0,y0)的直线l'与l: Ax+By+C=0平行,则点P到直线l的距离和直线l'与直线l间的距离相等吗
问题2:怎样理解两条平行直线间的距离公式
新知生成
　　(1)两条平行直线间的距离:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
(2)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.
新知运用
例3　若两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　.
【方法总结】求两平行直线间的距离,先要将两直线方程化为一次项系数相同的方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.
巩固训练
　　求与直线l:5x-12y+6=0平行且与直线l距离为3的直线方程.
【随堂检测】
1.已知O为坐标原点,点P在直线x+y-1=0上运动,则|OP|的最小值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.1 C. D.2
2.已知直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　).
A.4 B.
C. D.
3.若点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为　　　　.
4.若点(3,)到直线x+my-4=0的距离等于1,则m的值为　　　　.
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