资源简介

2.5.1　圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义,体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理)
2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算)
3.结合圆的标准方程,体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.圆的定义是什么
2.确定圆的基本要素是什么
3.已知圆的圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出该圆的方程吗
4.点与圆的位置关系有几种
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　)
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),则此圆的半径一定是a. (　　)
(3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　　)
(4)若某点正好是圆的圆心,则该点是圆上的点. (　　)
2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　).
A.(-2,3),1　　　　　　
B.(2,-3),3
C.(-2,3),
D.(2,-3),
3.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是　　　　.
4.已知点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m上,求圆的方程.
【合作探究】
探究1：圆的标准方程
情境设置
　　“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米.
　　问题1:游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗
问题2:若以摩天轮的中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,则游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系
问题3:以(1,2)为圆心,3为半径的圆上任一点的坐标(x,y)满足什么关系
问题4:确定圆的标准方程需具备哪些条件
新知生成
　　圆的标准方程
(1)圆的定义:圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合.
(2)圆的基本要素是圆心和半径.
(3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特别提醒:(1)由圆的标准方程来看,要确定圆的标准方程需要三个独立的条件:圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径.
(2)当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、r为半径的圆.
新知运用
例1　求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
方法指导　(法一)利用待定系数法,设出圆的标准方程,根据条件建立关于参数的方程组求解;(法二)利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程;(法三)借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求出圆的方程.
【方法总结】求圆的标准方程的主要方法
(1)几何法:利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程.
(2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,其步骤为设方程、列式、求解.
巩固训练
　　求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
探究2：点与圆的位置关系
情境设置
爱好运动的李峰、张强、刁鹏三人进行掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上,规定谁的飞镖离靶心O越近,谁获胜,如图,A,B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点.
问题1:点与圆的位置关系有哪几种
问题2:如何判断他们的胜负
新知生成
1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断:
d>r 点在圆外;d=r 点在圆上;d2.根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)2新知运用
例2　(1)写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.
(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求实数a的取值范围.
　
【方法总结】　(1)判断点与圆的位置关系的方法:①只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可;②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的连接符号,并作出判断.
(2)若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数的取值范围.
巩固训练
　　已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为　　　　.
【随堂检测】
1.经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的标准方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
2.已知点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2,则点P(　　).
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不确定
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　).
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圆的方程.
22.5.1　圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义,体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理)
2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算)
3.结合圆的标准方程,体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.圆的定义是什么
【答案】平面内到一定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆.
2.确定圆的基本要素是什么
【答案】确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示.
3.已知圆的圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出该圆的方程吗
【答案】能.设圆上任一点M(x,y),则|MA|=r,由两点间的距离公式,得=r,化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
4.点与圆的位置关系有几种
【答案】在圆内、在圆上、在圆外,共三种.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　)
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),则此圆的半径一定是a. (　　)
(3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　　)
(4)若某点正好是圆的圆心,则该点是圆上的点. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　).
A.(-2,3),1　　　　　　
B.(2,-3),3
C.(-2,3),
D.(2,-3),
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2,-3),半径为.
3.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是　　　　.
【答案】x2+y2=4
【解析】以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x2+y2=4.
4.已知点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m上,求圆的方程.
【解析】∵点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m上,∴(1+2)2+12=m,∴m=10.故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.
【合作探究】
探究1：圆的标准方程
情境设置
　　“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮,它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米,转盘直径为153米.
　　问题1:游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗
【答案】一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的,都等于圆的半径.
问题2:若以摩天轮的中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,则游客在任一点(x,y)的坐标满足什么关系
【答案】=.
问题3:以(1,2)为圆心,3为半径的圆上任一点的坐标(x,y)满足什么关系
【答案】=3.
问题4:确定圆的标准方程需具备哪些条件
【答案】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数,要确定圆的标准方程需要确定这三个参数,其中圆心(a,b)是圆的定位条件,半径r是圆的定量条件.
新知生成
　　圆的标准方程
(1)圆的定义:圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合.
(2)圆的基本要素是圆心和半径.
(3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特别提醒:(1)由圆的标准方程来看,要确定圆的标准方程需要三个独立的条件:圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径.
(2)当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点O为圆心、r为半径的圆.
新知运用
例1　求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
方法指导　(法一)利用待定系数法,设出圆的标准方程,根据条件建立关于参数的方程组求解;(法二)利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程;(法三)借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求出圆的方程.
【解析】(法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知条件知
解得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法二)设点C为圆心,∵点C在直线x+y-2=0上,
∴可设点C的坐标为(a,2-a).
又∵该圆经过A,B两点,
∴|CA|=|CB|,
∴=,
解得a=1,
∴圆心坐标为C(1,1),半径r=|CA|=2,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法三)由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),
kAB==-1,
∴弦AB的垂直平分线的斜率k=1,
∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),
即y=x,则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点.
由得
即圆心为(1,1),圆的半径为=2,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
【方法总结】求圆的标准方程的主要方法
(1)几何法:利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程.
(2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,其步骤为设方程、列式、求解.
巩固训练
　　求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
【解析】(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,
∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),
又r=5,
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
探究2：点与圆的位置关系
情境设置
爱好运动的李峰、张强、刁鹏三人进行掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上,规定谁的飞镖离靶心O越近,谁获胜,如图,A,B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点.
问题1:点与圆的位置关系有哪几种
【答案】点在圆外、圆上、圆内,共三种.
问题2:如何判断他们的胜负
【答案】利用点与圆心的距离.
新知生成
1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断:
d>r 点在圆外;d=r 点在圆上;d2.根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)2新知运用
例2　(1)写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.
(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求实数a的取值范围.
　　【解析】(1)圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则点M1的坐标满足方程,故点M1在圆上;
点M2的坐标不满足方程,故点M2不在圆上.
(2)由题意知
即解得0≤a<1.
故实数a的取值范围是[0,1).
【方法总结】　(1)判断点与圆的位置关系的方法:①只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可;②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的连接符号,并作出判断.
(2)若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数的取值范围.
巩固训练
　　已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为　　　　.
【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】由题意知,(1-a)2+(1+a)2>4,则2a2-2>0,解得a<-1或a>1.
【随堂检测】
1.经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的标准方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
【答案】C
【解析】根据题意知,圆的圆心为(-1,1),过原点,则其半径r==,故其标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
2.已知点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2,则点P(　　).
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不确定
【答案】C
【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2,
∴点P在圆外.
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　).
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
【答案】A
【解析】(法一:直接法)
设圆的圆心为C(0,b),
则=1,
∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
(法二:数形结合法)
作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,圆心为(0,2),
故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圆的方程.
【解析】易知△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
所以圆心是斜边AC的中点,坐标为(2,2),半径是斜边长的一半,即r=,
所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
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