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2.5.2　圆的一般方程
【学习目标】
1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理)
2.会在不同条件下求圆的一般方程.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形
【答案】对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=4,它表示圆心为(1,-2),半径为2的圆;对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=-1,因为不存在点(x,y)满足这个方程,所以它不表示任何图形.
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程 这个方程是不是表示圆
【答案】配方得到的方程为x+2+y+2=.
当D2+E2-4F>0时,该方程表示以点-,-为圆心,为半径的圆;
当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点-,-;
当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因此它不表示任何图形.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　)
(3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　)
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　).
A.(2,3)　　　　　　　B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
【答案】D
【解析】∵-=2,-=-3,∴圆的圆心坐标是(2,-3).
3.过O(0,0),A(3,0),B(0,4)三点的圆的一般方程为　　　　　　　　　　　.
【答案】x2+y2-3x-4y=0
【解析】由题意知该圆的圆心为AB的中点,2,半径为,故其标准方程为x-2+(y-2)2=,化成一般方程为x2+y2-3x-4y=0.
4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为　　　　.
　　【答案】
【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m,∴r==,∴m=.
【合作探究】
探究1：圆的一般方程
情境设置
　　已知圆心为(2,3),半径为2,其标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.
　　问题1:上述方程能否化为二元二次方程的形式
【答案】可以,x2+y2-4x-6y+9=0.
问题2:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆
【答案】配方得(x-2)2+(y-3)2=0,方程不表示圆.
问题3:怎样理解圆的一般方程
【答案】圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点:x2,y2的系数相等且不为0;没有xy项.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,只有当D2+E2-4F>0时才表示圆.
新知生成
1.圆的一般方程的概念:
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-,-,半径长为.
3.当D2+E2-4F=0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-,-.
4.当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
温馨提醒:圆的标准方程和一般方程有如下关系
(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.
(3)
新知运用
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　).
A.R　　　　　　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　,半径是　　　　.
【答案】(1)B　(2)(-2,-4)　5
【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.
(2)由题意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心坐标为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.
【方法总结】对于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判断其是否表示圆时可用如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆;(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时,要注意所给的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
巩固训练
　　判断下列二元二次方程是否表示圆的方程.如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
【解析】(1)是.将原方程化为x2+y2-x+3y+=0,则D=-1,E=3,F=.
∵D2+E2-4F=1>0,
∴此方程表示圆,圆心坐标为,-,半径r=.
(2)不是.将原方程化为x2+y2-x+3y+=0,
则D=-1,E=3,F=.
∵D2+E2-4F=-1<0,
∴此方程不表示圆.
探究2：待定系数法的应用
情境设置
　　问题1:什么是待定系数法
【答案】待定系数法是一种求未知数的方法.将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式,然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫作待定系数法.
问题2:圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有几个参数 已知三点求圆的方程,用什么方法
【答案】圆的一般方程含有三个参数.已知三点求圆的方程,常用待定系数法.
新知生成
　　求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤如下:
(1)根据题意选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F的值,得到圆的标准方程或一般方程.
新知运用
例2　已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.
方法指导　分析已知条件,可以用待定系数法,建立方程组求解;也可以根据圆的几何性质,求出圆心和半径,然后写出方程.
【解析】(法一)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将点P,Q的坐标分别代入上式,
得
令x=0,得y2+Ey+F=0,　③
由已知得|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程③的根,
∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.　④
联立①②④解得或
故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
(法二:几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x-y-1=0,
∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,
设其坐标为C(a,a-1).
又圆C的半径长r=|CP|=.　⑤
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4,而圆心C到y轴的距离为|a|,
∴r2=a2+2,
代入⑤式整理得a2-6a+5=0,
解得a1=1,a2=5,
∴r1=,r2=.
故圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.
【方法总结】　待定系数法求圆的方程的解题策略:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r的值;(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F的值.
巩固训练
　　已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆的标准方程.
【解析】(法一)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵A,B,C在圆上,
∴
解得
∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,
即(x-1)2+(y+1)2=25.
(法二)∵kAB==,kAC==-3,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形,
∴外心是线段BC的中点,
坐标为(1,-1),r=|BC|=5,
∴△ABC的外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
【随堂检测】
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一个点
B.一个圆
C.一条直线
D.不存在
【答案】A
【解析】方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　.
【答案】4
【解析】以点(2,-4)为圆心,4为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+4)2=16,即x2+y2-4x+8y+4=0,故F=4.
3.若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则实数m的取值范围是　　　　　.
【答案】0,
【解析】由已知条件可得
解得04.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边上的中线所在直线的一般式方程;
(2)求圆M的一般方程.
【解析】(1)设BC边的中点为D(x,y),所以x==1,y==-2,则D(1,-2),
所以直线AD的斜率k==-,
则直线AD的方程为y-0=-(x+3),整理成一般式为x+2y+3=0.
(2)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
　　则解得
所以圆M的一般方程为x2+y2+x+y-6=0.
22.5.2　圆的一般方程
【学习目标】
1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理)
2.会在不同条件下求圆的一般方程.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程 这个方程是不是表示圆
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　)
(3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　)
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　)
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　).
A.(2,3)　　　　　　　B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
3.过O(0,0),A(3,0),B(0,4)三点的圆的一般方程为　　　　　　　　　　　.
4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为　　　　.
　　
【合作探究】
探究1：圆的一般方程
情境设置
　　已知圆心为(2,3),半径为2,其标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.
　　问题1:上述方程能否化为二元二次方程的形式
问题2:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆
问题3:怎样理解圆的一般方程
新知生成
1.圆的一般方程的概念:
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-,-,半径长为.
3.当D2+E2-4F=0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-,-.
4.当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
温馨提醒:圆的标准方程和一般方程有如下关系
(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.
(3)
新知运用
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　).
A.R　　　　　　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　,半径是　　　　.
【方法总结】对于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判断其是否表示圆时可用如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆;(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时,要注意所给的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
巩固训练
　　判断下列二元二次方程是否表示圆的方程.如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
探究2：待定系数法的应用
情境设置
　　问题1:什么是待定系数法
问题2:圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有几个参数 已知三点求圆的方程,用什么方法
新知生成
　　求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤如下:
(1)根据题意选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F的值,得到圆的标准方程或一般方程.
新知运用
例2　已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.
方法指导　分析已知条件,可以用待定系数法,建立方程组求解;也可以根据圆的几何性质,求出圆心和半径,然后写出方程.
【方法总结】　待定系数法求圆的方程的解题策略:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r的值;(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F的值.
巩固训练
　　已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆的标准方程.
【随堂检测】
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一个点
B.一个圆
C.一条直线
D.不存在
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　.
3.若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则实数m的取值范围是　　　　　.
4.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边上的中线所在直线的一般式方程;
(2)求圆M的一般方程.
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