资源简介

2.6.1　直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.我们已经学习了直线与圆的位置关系,怎样用几何法判断直线与圆的位置关系
【答案】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断它们之间的位置关系,若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
【答案】①如果直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,那么可以用圆心C(a,b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系;②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组的解的个数问题,这样当方程组无解时,直线与圆相离;当方程组有一组解时,直线与圆相切;当方程组有两组解时,直线与圆相交.
3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点
【答案】“几何法”与“代数法”是从不同的方面,不同的思路来判断直线与圆的位置关系的.“几何法”侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切. (　　)
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　)
(3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　)
(4)若一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,则这条直线一定过圆心. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
【答案】B
【解析】由题意得圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r,∴直线与圆相切.
3.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　　　　　　.
【答案】3x-2y-3=0
【解析】圆的方程x2+y2-2x-3=0,化为标准方程为(x-1)2+y2=4,则圆心坐标为(1,0),由kAB=-,得AB的垂直平分线的斜率为,且过圆心,从而所求直线方程为y-0=(x-1),即3x-2y-3=0.
4.若过点M(2,-3)作圆C:x2+y2=13的切线,则切线的方程为　　　　.
【答案】2x-3y-13=0
【解析】由圆C:x2+y2=13,得圆心C的坐标为(0,0),圆的半径r=,而|CM|===r,所以点M在圆C上,则过点M的圆的切线与CM所在的直线垂直,又M(2,-3),得到CM所在直线的斜率为-,所以切线的斜率为,则切线方程为y+3=(x-2),即2x-3y-13=0.
【合作探究】
探究1：直线与圆的位置关系
情境设置
　“海上生明月,天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的“小脑袋”,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现出迷人的风采.
问题1:在这个过程中,将月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系
【答案】三种,相交、相切和相离.
问题2:直线与圆相交有几个交点 圆心到直线的距离比半径大还是小
【答案】有两个交点,比半径小.
新知生成
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= dr
代数法:将直线与圆的方程联立,消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
新知运用
例1　已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.求当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
【解析】(法一)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-(法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为C(2,1),半径r=2.
圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离
d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-【方法总结】判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
巩固训练
1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是(　　).
A.相离　　　　　　　　 B.相切或相交
C.相交 D.相切
【答案】C
【解析】l过定点A(1,1),∵12+12-2×1=0,∴点A在圆上,∵直线x=1过点A且为圆的切线,又l的斜率存在,∴l与圆一定相交,故选C.
2.设m>0,则直线l:(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为(　　).
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
【答案】C
【解析】圆心到直线l的距离为d=,圆的半径为r=,∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴d≥r,故直线l和圆O相切或相离.
探究2：圆的弦长问题
情境设置
　　我们知道直线与圆有三种位置关系,其中相交是最重要的一种,如图所示.
问题1:如何求图中AB的长度
【答案】过圆心作OC⊥AB,则|AB|=2.
问题2:除了解直角三角形,还有其他求弦长的方法吗
【答案】有,把直线与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,利用两点间距离公式求解.
新知生成
　　求弦长常用的三种方法:
(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系l2+d2=r2解题;
(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长;
(3)利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|==|y1-y2|.
注意点:(1)弦长公式的前提是判别式大于零;
(2)斜率不存在时|AB|=|y1-y2|.
新知运用
例2　求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
方法指导　(法一)首先求圆心、半径,然后解弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形即可.
(法二)求交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.
(法三)利用弦长公式求弦长.
【解析】(法一)圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,
其圆心坐标为(0,1),半径r=.
所以点(0,1)到直线l的距离d==,
则l=2=,所以截得的弦长为.
(法二)设直线l与圆C交于A,B两点.
由得交点A(1,3),B(2,0),
所以|AB|==.
(法三)设直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
由消去x得y2-3y=0,所以y1+y2=3,y1y2=0,
所以|AB|=·
=×3=.
【方法总结】求弦长常用的三种方法:(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系解题.(2)先求交点坐标,再直接用两点间距离公式计算弦长.(3)利用弦长公式求解.
巩固训练
1.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　).
A.4　　　　　B.6　　　　　C.8　　　　　D.10
【答案】D
【解析】设圆心为C,则C(2,0),过点M的弦为直径时,长度最长为2×3=6,过点M的弦以M为中点且与CM垂直时,长度最短,最短为2=2=4,所以6+4=10.
2.圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为　　　　　　　　.
【答案】(x-2)2+(y+1)2=4
【解析】设圆的半径为r,
由条件得圆心到直线y=x-1的距离d==.
又由题意知,半弦长为,
∴r2=2+2=4,得r=2.
∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
探究3：圆的切线问题
情境设置
　　问题1:过平面一点P可作几条圆的切线
【答案】当点P在圆内时,切线不存在;当点P在圆上时,只能作一条圆的切线;当点P在圆外时,可作两条圆的切线.
问题2:设切线方程时要注意什么
【答案】设切线方程时要注意斜率是否存在,切记要对切线的斜率不存在的情况单独讨论,不要漏解.
新知生成
　　求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法
(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径长,可求得k的值,切线方程即可求出.
(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k的值,切线方程即可求出.
另讨论斜率不存在的情况下是否符合条件.
新知运用
例3　已知圆C的圆心为(-1,2),且该圆被直线l:2x-y-1=0 截得的弦长为4.
(1)求该圆的方程;
(2)求过点P(-4,-2)的该圆的切线方程.
方法指导　(1)先求出圆心到直线的距离,即可根据弦长求出半径,从而得出方程;(2)分类讨论,当斜率存在时,根据圆心到直线的距离为半径可求出斜率,当斜率不存在时,也满足.
【解析】(1)设圆C的方程是(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0),d为圆心到直线2x-y-1=0的距离,
则d==,
∴弦长为2=4,即r2=9,∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=9.
(2)当切线的斜率存在时,设切线方程为y+2=k(x+4),即kx-y+4k-2=0,
由=3,得k=,
∴切线方程为7x-24y-20=0,
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=-4.
故圆的切线方程为7x-24y-20=0或x=-4.
【方法总结】过圆外一点的切线必有两条,当几何法或代数法求得的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合法求出.
巩固训练
　　已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)若直线ax-y+4=0与圆C相切,求实数a的值;
(2)求过点M的圆C的切线方程.
【解析】由题意,圆C的圆心C(1,2),r=2.
(1)由题意,=2,解得a=0或a=.
(2)过点M且斜率不存在的直线为x=3,与圆C相切.
过点M且斜率存在的直线,设其方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
∴=2,解得k=,
故所求切线的方程为x-y-=0,即3x-4y-5=0.
综上,所求切线的方程为x=3或3x-4y-5=0.
【随堂检测】
1.直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相离 B.相交
C.相切 D.不确定
【答案】B
【解析】因为圆(x-1)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(1,-1),半径为4,圆心到直线的距离d===3<4,所以直线与圆相交.
2.已知点M在圆x2+y2=2上,点N在直线l:y=x-3上,则|MN|的最小值是(　　).
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】由题意可知,圆心O(0,0),
所以圆心O(0,0)到直线l:y=x-3的距离为=,所以|MN|的最小值为-r=-=.
3.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向圆引切线,则切线长为　　　　.
【答案】2
【解析】点P(2,3)到圆心(1,1)的距离为=,
则切线长为=2.
4.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围是　　　　.
【答案】{m|m<-2或m>2}
【解析】因为直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,所以>,解得m<-2或m>2.
22.6.1　直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.我们已经学习了直线与圆的位置关系,怎样用几何法判断直线与圆的位置关系
2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切. (　　)
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　)
(3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　)
(4)若一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,则这条直线一定过圆心. (　　)
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
3.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　　　　　　.
4.若过点M(2,-3)作圆C:x2+y2=13的切线,则切线的方程为　　　　.
【合作探究】
探究1：直线与圆的位置关系
情境设置
　“海上生明月,天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的“小脑袋”,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现出迷人的风采.
问题1:在这个过程中,将月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系
问题2:直线与圆相交有几个交点 圆心到直线的距离比半径大还是小
新知生成
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= dr
代数法:将直线与圆的方程联立,消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
新知运用
例1　已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.求当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
【方法总结】判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
巩固训练
1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是(　　).
A.相离　　　　　　　　 B.相切或相交
C.相交 D.相切
2.设m>0,则直线l:(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为(　　).
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
探究2：圆的弦长问题
情境设置
　　我们知道直线与圆有三种位置关系,其中相交是最重要的一种,如图所示.
问题1:如何求图中AB的长度
问题2:除了解直角三角形,还有其他求弦长的方法吗
新知生成
　　求弦长常用的三种方法:
(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系l2+d2=r2解题;
(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长;
(3)利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|==|y1-y2|.
注意点:(1)弦长公式的前提是判别式大于零;
(2)斜率不存在时|AB|=|y1-y2|.
新知运用
例2　求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
方法指导　(法一)首先求圆心、半径,然后解弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形即可.
(法二)求交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.
(法三)利用弦长公式求弦长.
【方法总结】求弦长常用的三种方法:(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系解题.(2)先求交点坐标,再直接用两点间距离公式计算弦长.(3)利用弦长公式求解.
巩固训练
1.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　).
A.4　　　　　B.6　　　　　C.8　　　　　D.10
2.圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为　　　　　　　　.
探究3：圆的切线问题
情境设置
　　问题1:过平面一点P可作几条圆的切线
问题2:设切线方程时要注意什么
新知生成
　　求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法
(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径长,可求得k的值,切线方程即可求出.
(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k的值,切线方程即可求出.
另讨论斜率不存在的情况下是否符合条件.
新知运用
例3　已知圆C的圆心为(-1,2),且该圆被直线l:2x-y-1=0 截得的弦长为4.
(1)求该圆的方程;
(2)求过点P(-4,-2)的该圆的切线方程.
方法指导　(1)先求出圆心到直线的距离,即可根据弦长求出半径,从而得出方程;(2)分类讨论,当斜率存在时,根据圆心到直线的距离为半径可求出斜率,当斜率不存在时,也满足.
【方法总结】过圆外一点的切线必有两条,当几何法或代数法求得的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合法求出.
巩固训练
　　已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)若直线ax-y+4=0与圆C相切,求实数a的值;
(2)求过点M的圆C的切线方程.
【随堂检测】
1.直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相离 B.相交
C.相切 D.不确定
2.已知点M在圆x2+y2=2上,点N在直线l:y=x-3上,则|MN|的最小值是(　　).
A. B. C. D.1
3.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向圆引切线,则切线长为　　　　.
4.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围是　　　　.
2

展开更多......

收起↑