资源简介

2.6.2　圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解并掌握圆与圆的五种位置关系的性质及判定.(直观想象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在之前,我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,那么圆与圆的位置关系又有几种呢
2.如何判断出两圆的位置关系
3.已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过代数的方法判断两圆的位置关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,那么两圆外切. (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交. (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　)
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　)
2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系为(　　).
A.相离　　　　　　　　　　B.相交
C.外切 D.内切
3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程是　　　　.
4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切,求实数m的值.
【合作探究】
探究1：圆与圆的位置关系
情境设置
　　某地12月24日拍到的日环食的全过程,如图所示.
可以用两个圆来表示上述变化过程.
根据上图,结合平面几何,判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系
问题:判断两圆的位置关系有什么方法
新知生成
1.圆与圆的位置关系
圆与圆之间存在以下三种位置关系:
(1)两圆相交,有两个公共点;
(2)两圆相切,包括内切与外切,只有一个公共点;
(3)两圆相离,包含外离与内含,没有公共点.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判定方法如下:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1, r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|　(2)代数法:通过两圆方程组成的方程组的公共解个数进行判断.
一元二
次方程
新知运用
例1　已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
【方法总结】几何法判断圆与圆的位置关系的一般步骤:(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式,此步骤不需要);(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2;(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系;(5)根据大小关系确定位置关系.
巩固训练
　　两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　).
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
探究2：两圆相交问题
情境设置
　　已知两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-6x+2y+1=0.
问题1:你能判断出两圆的位置关系吗
问题2:若将两个相交的圆的方程相减,你发现了什么 所得方程具有什么特性
新知生成
1.若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
2.两圆公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
新知运用
例2　已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
方法指导　(1)本题可先通过圆C1和圆C2的方程得出它们的圆心和半径长,再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比,即可得出结果;(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程,再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果.
【方法总结】　处理与圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.
巩固训练
　　已知两圆C1:x2+y2+2y-3=0和C2:x2+y2-4x-2y+1=0.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
探究3：两圆相切问题
情境设置
问题1:圆与圆相切包含哪几种情况
问题2:两圆相切可用什么方法求解
新知生成
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切).
新知运用
例3　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.
【方法总结】通过直线与圆,圆与圆的位置关系,建立数学模型,利用方程思想,解决求圆的方程问题.
巩固训练
　　若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切,则m=　　　　.
【随堂检测】
1.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+(y-3)2=1的内公切线有且仅有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.若圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　).
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
3.若圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则实数m的值为　　　　.
4.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,求圆C的方程.
22.6.2　圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解并掌握圆与圆的五种位置关系的性质及判定.(直观想象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在之前,我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,那么圆与圆的位置关系又有几种呢
【答案】有五种位置关系.
2.如何判断出两圆的位置关系
【答案】通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系判断.具体如下:
设两圆的圆心距为l,则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
①当l>r1+r2时,圆C1与圆C2外离;
②当l=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;
③当|r1-r2|④当l=|r1-r2|时,圆C1与圆C2内切;
⑤当l<|r1-r2|时,圆C1与圆C2内含.
3.已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如何通过代数的方法判断两圆的位置关系
【答案】联立两圆的方程,消去y后得到一个关于x的一元二次方程,当判别式Δ>0时,两圆相交;当Δ=0时,两圆外切或内切;当Δ<0时,两圆外离或内含.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,那么两圆外切. (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交. (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　)
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系为(　　).
A.相离　　　　　　　　　　B.相交
C.外切 D.内切
【答案】B
【解析】由题意得圆O1的圆心坐标为(1,0),半径r1=1;圆O2的圆心坐标为(0,2),半径r2=2.因为1=r2-r1<|O1O2|=3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程是　　　　.
【答案】x+3y=0
【解析】圆(x-1)2+(y-3)2=20化为一般式为x2+y2-2x-6y-10=0,　①
又圆x2+y2=10,即x2+y2-10=0,　②
由①-②得x+3y=0,即为直线AB的方程.
4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切,求实数m的值.
【解析】由x2-6x+y2-8y+m+6=0可得(x-3)2+(y-4)2=19-m,
因为19-m>0,所以m<19,
所以圆x2-6x+y2-8y+m+6=0的圆心坐标为(3,4),半径为,
又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,且圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切,所以=1+,解得m=3.
【合作探究】
探究1：圆与圆的位置关系
情境设置
　　某地12月24日拍到的日环食的全过程,如图所示.
可以用两个圆来表示上述变化过程.
根据上图,结合平面几何,判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系
问题:判断两圆的位置关系有什么方法
【答案】判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
新知生成
1.圆与圆的位置关系
圆与圆之间存在以下三种位置关系:
(1)两圆相交,有两个公共点;
(2)两圆相切,包括内切与外切,只有一个公共点;
(3)两圆相离,包含外离与内含,没有公共点.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判定方法如下:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1, r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|　(2)代数法:通过两圆方程组成的方程组的公共解个数进行判断.
一元二
次方程
新知运用
例1　已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
【答案】B
【解析】由得两交点坐标分别为(0,0),(-a,a).
∵圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,
∴=2.
又a>0,∴a=2,
∴圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心为M(0,2),半径为r1=2.
又圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为N(1,1),半径为r2=1,
∴|MN|==.
∵r1-r2=1,r1+r2=3,且1<|MN|<3,
∴两圆相交.
【方法总结】几何法判断圆与圆的位置关系的一般步骤:(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式,此步骤不需要);(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2;(3)求两圆的圆心距d;(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系;(5)根据大小关系确定位置关系.
巩固训练
　　两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　).
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
【答案】C
【解析】(法一:几何法)把两圆的方程分别配方,化为标准方程是(x-1)2+y2=4,(x-2)2+(y+1)2=2,所以两圆的圆心分别为C1(1,0),C2(2,-1),半径分别为r1=2,r2=,则|C1C2|==,r1+r2=2+,r1-r2=2-,故r1-r2<|C1C2|(法二:代数法)联立方程解得即方程组有2组解,也就是说两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.
探究2：两圆相交问题
情境设置
　　已知两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-6x+2y+1=0.
问题1:你能判断出两圆的位置关系吗
【答案】能.圆C1的圆心为(1,0),半径为2;圆C2的圆心为(3,-1),半径为3.
两圆的圆心距d==.
因为1<<5,所以两圆相交.
问题2:若将两个相交的圆的方程相减,你发现了什么 所得方程具有什么特性
【答案】若将两个相交的圆的方程相减,得到y=2x-2,是直线方程.特性是它过两圆的交点,是两个相交圆的公共弦所在直线的方程.
新知生成
1.若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
2.两圆公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
新知运用
例2　已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
方法指导　(1)本题可先通过圆C1和圆C2的方程得出它们的圆心和半径长,再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比,即可得出结果;(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程,再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果.
【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径为r1=,
圆C2的圆心为C2(5,6),半径为r2=4,
两圆的圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,
所以|r1-r2|(2)由圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0,
圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3,
故公共弦长为2=2.
【方法总结】　处理与圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.
巩固训练
　　已知两圆C1:x2+y2+2y-3=0和C2:x2+y2-4x-2y+1=0.
(1)判断两圆的位置关系;
(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
【解析】(1)联立方程
消去y,整理得x2-2x=0,　①
因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,
所以两圆相交.
(2)将两圆方程作差得x+y-1=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-1=0,
由①得x1=0,x2=2,代入上式得y1=1,y2=-1,
所以两圆的交点坐标分别为(0,1),(2,-1),
由两点间的距离公式得=2,
所以所求弦长为2.
探究3：两圆相切问题
情境设置
问题1:圆与圆相切包含哪几种情况
【答案】内切和外切两种情况.
问题2:两圆相切可用什么方法求解
【答案】(1)几何法.利用圆心距d与两半径R,r之间的关系求得,d=R+r为外切,d=|R-r|为内切.
(2)代数法.将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程,利用Δ=0求解.
新知生成
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切).
新知运用
例3　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.
【解析】圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,
则圆心为C(1,0),半径为1.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由题意,可得
解得或
即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
【方法总结】通过直线与圆,圆与圆的位置关系,建立数学模型,利用方程思想,解决求圆的方程问题.
巩固训练
　　若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切,则m=　　　　.
【答案】1或121
【解析】圆x2+y2=m的圆心坐标为(0,0),半径r1=,
圆x2+y2+6x-8y-11=0的圆心坐标为(-3,4),半径r2=6.因为两圆内切,且圆心距d=5,
所以|6- |=5,
解得m=1或m=121.
【随堂检测】
1.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+(y-3)2=1的内公切线有且仅有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】B
【解析】因为两圆的圆心距为3,半径之和为2,故两圆外离,所以两圆的内公切线的条数为2.
2.若圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　).
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
【答案】C
【解析】线段AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.
3.若圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则实数m的值为　　　　.
【答案】2或-5
【解析】由题意知,C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2,由题意得|C1C2|=5,即(m+1)2+(m+2)2=25,解得m=2或m=-5.
4.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,求圆C的方程.
【解析】设圆C的半径为r,
圆心距为d==5,
当圆C与圆O外切时,r+1=5,即r=4,
当圆C与圆O内切时,r-1=5,即r=6,
∴圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.
2

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