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2.7　用坐标方法解决几何问题
【学习目标】
1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.(直观想象、数学运算)
3.初步掌握求曲线方程的方法,解决一些较为复杂的几何问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是坐标法
【答案】在平面直角坐标系中,把点用坐标表示,将直线与圆等曲线用方程表示,通过研究方程来研究图形的性质,这种利用代数研究几何的方法被称为坐标法.
2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤是什么
【答案】(1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素;(2)进行有关代数运算,求解代数问题; (3)把代数运算结果“翻译”成几何结论.
3.求轨迹方程的一般步骤是什么
【答案】(1)建立适当的平面直角坐标系;
(2)设动点的坐标为(x,y);
(3)找出限制动点的几何条件;
(4)将坐标代入几何关系;
(5)化简式子.
自学检测
1.某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x2+y2=25
B. x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化
【答案】D
【解析】 建立的平面直角坐标系不同,得到的半圆方程也不同.
2.当点P在圆x2+y2=1上运动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　).
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
【答案】C
【解析】设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),
∵Q(3,0),∴∴x1=2x-3,y1=2y.
又点P在圆x2+y2=1上,
∴(2x-3)2+4y2=1,∴中点M的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.故选C.
3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一端点的轨迹方程.
【解析】∵A(4,2),B(3,5),∴|AB|=.
又∵等腰三角形的顶点是A,底边的另一个端点是C,
∴|CA|=,即点C在以点A为圆心,为半径的圆上,
∴可得该圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=10,
当点C位于点B关于圆心A对称的点处时,坐标为(2×4-3,2×2-5),即(5,-1),此时A,B,C三点共线,不符合题意;当点B和点C重合时也不符合题意.
故另一端点的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,y≠5且x≠5,y≠-1).
【合作探究】
探究1：用坐标法解决几何问题
情境设置
　　如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,过点B作△ABC的外接圆的切线交线段AC的延长线于点D,则线段AD的长是多少
问题1:若用坐标法解决上面问题,应怎样建立平面直角坐标系
【答案】以C为原点,AC所在的直线为x轴,BC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系比较合适.因为图中恰有这两条直线互相垂直且线段长度已知.
问题2:结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和AD的长.
【答案】如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,4),所以AB的中点坐标为,|AB|=5,
所以圆的方程为x-2+(y-2)2=,
所以切线BD的方程为-×x-+(4-2)(y-2)=,整理得3x-4y+16=0,
所以点D的坐标为-,0,|AD|=3+=.
新知生成
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
第一步,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆等,把平面几何问题转化为代数问题.
第二步,通过代数运算,解决代数问题.
第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.
新知运用
例1　如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明:E是CD的中点.
【解析】如图所示,以O为坐标原点,直径AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
设☉O的半径为r,|OE|=m(mx2+y2=r2,
设C(m,b1),D(m,b2),
则m2+=r2,m2+=r2,
即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的两根,
解方程得b=±,
不妨设b1=-,b2=,
则CD的中点坐标为m,,即(m,0).
故E(m,0)是CD的中点,即E是CD的中点.
【方法总结】坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系,建立坐标系的原则:(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴;(2)充分利用图形的对称性;(3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称;(4)关键点的坐标易求得.
巩固训练
如图所示,在圆O上任取一点C为圆心,作圆C,与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,且EF与CD相交于H.利用坐标法证明:EF平分CD.
【解析】
以O为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.
设|AB|=2r,D(a,0),则|CD|=,C(a,),
可得圆O: x2+y2=r2,圆C:(x-a)2+(y-)2=r2-a2.
两方程作差得直线EF的方程为2ax+2y=r2+a2.
令x=a,得y=,
则Ha,,
即H为CD的中点,所以EF平分CD.
探究2：求轨迹方程
情境设置
　　问题1:若点A(-1,0),B(1,0),则到A,B两点距离相等的点的轨迹是什么 其方程又是什么
【答案】其轨迹为线段AB的垂直平分线,其方程为x=0.
问题2:已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M的轨迹方程吗
【答案】设M(x,y),由题意有=2,整理得点M的轨迹方程为x2+y2=16.
新知生成
1.坐标法解决轨迹问题的基本思想
笛卡儿创立解析几何后,人们借助坐标系把形与数联系起来,使几何问题可以通过建立坐标,用代数方法来解决.在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中,我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系,也可以将图形用向量语言来描述,用向量运算来解决,再转化为坐标之间的关系.
2.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系;
(2)设动点的坐标为(x,y);
(3)找出限制动点的几何条件;
(4)将坐标代入几何关系;
(5)化简式子.
3.求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.
(2)定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,可将x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得到点P的轨迹方程.
特别提醒:在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上,故应排除不合适的点.
新知运用
例2　若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,求点M的轨迹围成的区域的面积.
　　【解析】以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,如图.
设点M(x,y),则A(0,0),B(3,0),
由=2,化简并整理得(x-4)2+y2=4,
于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心,2为半径的圆,其面积为4π,
所以点M的轨迹围成的区域的面积为4π.
【方法总结】一般地,求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来,再进行变形化简,就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系,找等量关系.
巩固训练
已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
【解析】以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D(x0,y0).
∴　①
∵|AD|=3,∴(x0+2)2+=9.　②
将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.
∵点C不能在x轴上,∴y≠0.
综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).
【随堂检测】
1.一辆货车宽1.6米,若要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
【答案】B
【解析】以圆心为坐标原点,半圆的直径所在的直线为x轴,
　　
过圆心且与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
易知半圆所在的圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0),
由图可知,当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高,
此时x=0.8或x=-0.8,代入x2+y2=3.62,得y≈3.5(米)(负值已舍去).
2.若Rt△ABC的斜边的两个端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(　　).
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
【答案】C
【解析】由已知可得,线段AB的中点坐标为(2,0),因为△ABC为直角三角形,C为直角顶点,所以点C到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y≠0),即点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).
3.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　.
【答案】(x-2)2+(y+1)2=4
【解析】由条件知A(2,-1),设M(x,y),根据中点坐标公式可得点P(2x-2,2y+1),
　　∵点P在圆上,
∴(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,
整理得x2+y2-4x+2y+1=0,即(x-2)2+(y+1)2=4,
∴PA的中点M的轨迹方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
4.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北(东偏北45°)方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时长为多少
【解析】 以
A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则当台风中心经过以点B(40,0)为圆心,30 km为半径的圆内时,城市B处于危险区,
直线MN:y=x,圆B:(x-40)2+y2=302.
利用弦长公式可求得|MN|=20,
由题意知,当台风中心在线段MN上时,城市B处于危险区,因为台风移动速度为20 km/h,故城市B处于危险区的时长为1 h.
22.7　用坐标方法解决几何问题
【学习目标】
1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.(直观想象、数学运算)
3.初步掌握求曲线方程的方法,解决一些较为复杂的几何问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是坐标法
2.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤是什么
3.求轨迹方程的一般步骤是什么
自学检测
1.某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x2+y2=25
B. x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化
2.当点P在圆x2+y2=1上运动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　).
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一端点的轨迹方程.
【合作探究】
探究1：用坐标法解决几何问题
情境设置
　　如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,过点B作△ABC的外接圆的切线交线段AC的延长线于点D,则线段AD的长是多少
问题1:若用坐标法解决上面问题,应怎样建立平面直角坐标系
问题2:结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和AD的长.
新知生成
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
第一步,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆等,把平面几何问题转化为代数问题.
第二步,通过代数运算,解决代数问题.
第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.
新知运用
例1　如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明:E是CD的中点.
【方法总结】坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系,建立坐标系的原则:(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴;(2)充分利用图形的对称性;(3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称;(4)关键点的坐标易求得.
巩固训练
如图所示,在圆O上任取一点C为圆心,作圆C,与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,且EF与CD相交于H.利用坐标法证明:EF平分CD.
探究2：求轨迹方程
情境设置
　　问题1:若点A(-1,0),B(1,0),则到A,B两点距离相等的点的轨迹是什么 其方程又是什么
问题2:已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M的轨迹方程吗
新知生成
1.坐标法解决轨迹问题的基本思想
笛卡儿创立解析几何后,人们借助坐标系把形与数联系起来,使几何问题可以通过建立坐标,用代数方法来解决.在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中,我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系,也可以将图形用向量语言来描述,用向量运算来解决,再转化为坐标之间的关系.
2.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系;
(2)设动点的坐标为(x,y);
(3)找出限制动点的几何条件;
(4)将坐标代入几何关系;
(5)化简式子.
3.求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.
(2)定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,可将x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得到点P的轨迹方程.
特别提醒:在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上,故应排除不合适的点.
新知运用
例2　若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,求点M的轨迹围成的区域的面积.
【方法总结】一般地,求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来,再进行变形化简,就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系,找等量关系.
巩固训练
已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
【随堂检测】
1.一辆货车宽1.6米,若要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
2.若Rt△ABC的斜边的两个端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为(　　).
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　.
4.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北(东偏北45°)方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时长为多少
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