资源简介

3.1.1　椭圆的标准方程
【学习目标】
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(数学抽象)
2.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(数学运算)
3.掌握用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
预学忆思
阅读教材第112页“实验”中的内容,思考下列问题:
1.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2上(绳子长度大于|F1F2|)(图3.1-1),那么套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线
2.笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗
3.观察教材第112页图3.1-2.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦距是什么 点P的轨迹方程是什么
4.设P(x,y),F1(0,-c),F2(0,c),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦点位置变了吗 焦距呢 点P的轨迹方程是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆. (　　)
(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关. (　　)
(3)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2. (　　)
(4)方程+=1(a>b>0)表示的曲线是椭圆. (　　)
2.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.9
3.若椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是　　　　　.
【合作探究】
探究1：椭圆的定义
情境设置
　　问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面和圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢
问题2:椭圆是圆锥曲线的一种,在科研、生产和生活中具有广泛的应用.在生活中,哪些地方有椭圆的身影呢
问题3:取一条细绳,用图钉把绳子两端固定,用铅笔尖(P)把细绳拉紧,在图纸上慢慢移动,看看能画出什么图形 改变固定细绳的图钉之间的距离,图形会发生什么变化 这一过程中,移动的笔尖(动点P)满足的几何条件是什么
问题4:在定义中,如果|PF1|+|PF2|≤|F1F2|,那么动点的轨迹又是什么
新知生成
椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距.
新知运用
例1　在椭圆中,已知焦距为2,椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于4,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为　　　　.
【方法总结】椭圆的定义具有双向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
巩固训练
设椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于10,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　.
探究2：椭圆的标准方程
情境设置
　　问题1:观察教材第112页图3.1-2,建立椭圆标准方程的步骤是什么
问题2:怎么能让方程+=1更简洁
问题3:
如图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗
问题4:椭圆的两种标准方程有什么异同点 如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置
问题5:确定椭圆的标准方程需要知道哪些量
新知生成
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
焦点坐标 (-c,0)与(c,0) (0,-c)与(0,c)
a,b,c的关系 c2=　a2-b2　
新知运用
一、求椭圆的标准方程
例2　求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,且经过两点(0,2)和(1,0);
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;
(3)经过点P(-2,1),Q(,-2).
【方法总结】1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤:①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它有焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
二、椭圆方程的应用
例3　若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-9C.
【方法总结】方程+=1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
巩固训练
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,c=,焦点在y轴上;
(2)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点;
(3)经过A,B两点.
2.(1)“3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若椭圆+=1的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　).
A.2　　　　 B.3　　　　 C.±3　　　　 D.9
探究3：求与椭圆定义有关的轨迹问题
例4　已知一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
【方法总结】若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.
巩固训练
　　如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.
【随堂检测】
1.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离是6,则点P到另一个焦点的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为　　　　　　　.
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围为(　　).
A.2C.44.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.
23.1.1　椭圆的标准方程
【学习目标】
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(数学抽象)
2.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(数学运算)
3.掌握用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
预学忆思
阅读教材第112页“实验”中的内容,思考下列问题:
1.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2上(绳子长度大于|F1F2|)(图3.1-1),那么套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线
【答案】椭圆.
2.笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗
【答案】是,其距离之和始终等于细绳的长度.
3.观察教材第112页图3.1-2.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦距是什么 点P的轨迹方程是什么
【答案】椭圆的焦距是2c,点P的轨迹方程是+=1.
4.设P(x,y),F1(0,-c),F2(0,c),其中c>0,且|PF1|+|PF2|=2a(a>c),则椭圆的焦点位置变了吗 焦距呢 点P的轨迹方程是什么
【答案】椭圆的焦点位置变了,焦点在y轴上,焦距没变,还是2c,点P的轨迹方程为+=1.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆. (　　)
(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关. (　　)
(3)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2. (　　)
(4)方程+=1(a>b>0)表示的曲线是椭圆. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.9
【答案】B
【解析】根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7.
3.若椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【答案】C
【解析】由题意知c=8,2a=20,∴a=10,∴b2=a2-c2=36,故椭圆的标准方程为+=1.
4.若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是　　　　　.
【答案】(-16,4)∪(4,24)
【解析】∵方程+=1表示椭圆,
∴解得-16∴k的取值范围是(-16,4)∪(4,24).
【合作探究】
探究1：椭圆的定义
情境设置
　　问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面和圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢
【答案】如图,
如果用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,那么当截面与轴所成的角度不同时,得到的截口曲线也不同.它们分别是椭圆、双曲线、抛物线,统称为圆锥曲线.
问题2:椭圆是圆锥曲线的一种,在科研、生产和生活中具有广泛的应用.在生活中,哪些地方有椭圆的身影呢
【答案】椭圆形桌子、盘子,火腿肠的斜切面等.
问题3:取一条细绳,用图钉把绳子两端固定,用铅笔尖(P)把细绳拉紧,在图纸上慢慢移动,看看能画出什么图形 改变固定细绳的图钉之间的距离,图形会发生什么变化 这一过程中,移动的笔尖(动点P)满足的几何条件是什么
【答案】第一幕:细绳两端相距特别近,图形很接近圆.
第二幕:细绳两端相距适中,图形扁一些,椭圆形状更直观.
第三幕:细绳两端相距较远,笔尖绕着细绳转动,图形更扁长.
点P到两定点的距离之和是常数.
问题4:在定义中,如果|PF1|+|PF2|≤|F1F2|,那么动点的轨迹又是什么
【答案】当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹为线段F1F2;
当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,点P的轨迹不存在.
新知生成
椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距.
新知运用
例1　在椭圆中,已知焦距为2,椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于4,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为　　　　.
【答案】
【解析】由题意知|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2.
在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|,　①
又|PF1|+|PF2|=4,　②
联立①②可得|PF1|=,
所以=|PF1||F1F2|sin∠PF1F2=××2×=.
【方法总结】椭圆的定义具有双向作用,即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
巩固训练
设椭圆上的一点P与两个焦点F1,F2的距离之和等于10,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　.
【答案】8
【解析】由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,且|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,
又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
探究2：椭圆的标准方程
情境设置
　　问题1:观察教材第112页图3.1-2,建立椭圆标准方程的步骤是什么
【答案】(1)建系,以F1F2的中点为坐标原点,F1F2所在直线为x轴,F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系;
(2)设点P(x,y);
(3)寻找动点满足的几何特征:|PF1|+|PF2|=2a(a>0);
(4)列式:+=2a(a>0);
(5)化简.
问题2:怎么能让方程+=1更简洁
【答案】不妨设b2=a2-c2,再化简方程,得+=1(a>b>0).
问题3:
如图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗
【答案】a=|PF2|,b=|OP|,c=|OF2|.
问题4:椭圆的两种标准方程有什么异同点 如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置
【答案】相同点:从形式上看,平方+平方=1,且c2=a2-b2,a>b>0.不同点:x和y顺序交换,焦点位置不同,哪个变量下的分母大,焦点就对应在哪个轴上.
问题5:确定椭圆的标准方程需要知道哪些量
【答案】a,b的值及焦点的位置.
新知生成
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
焦点坐标 (-c,0)与(c,0) (0,-c)与(0,c)
a,b,c的关系 c2=　a2-b2　
新知运用
一、求椭圆的标准方程
例2　求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,且经过两点(0,2)和(1,0);
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;
(3)经过点P(-2,1),Q(,-2).
【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0),
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为+x2=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
由椭圆的定义知,
2a=+=2,即a=.
又c=2,所以b2=a2-c2=6.
故所求的椭圆的标准方程为+=1.
(3)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),
因为点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上,
所以解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
【方法总结】1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤:①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它有焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
二、椭圆方程的应用
例3　若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-9C.
【答案】C
【解析】依题意可得解得故选C.
【方法总结】方程+=1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
巩固训练
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,c=,焦点在y轴上;
(2)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点;
(3)经过A,B两点.
【解析】(1)由a=4,c=,得b2=a2-c2=1.
∵焦点在y轴上,∴其标准方程为+x2=1.
(2)椭圆+y2=1的焦点坐标为(-1,0),(1,0),
设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
∵所求椭圆过点,
∴2a=+=4,
∴a=2.
∵a2=b2+c2,∴b2=3,
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
(3)设所求的椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n),
把A,B两点的坐标分别代入,
得解得
∴所求椭圆的标准方程为+y2=1.
2.(1)“3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若椭圆+=1的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　).
A.2　　　　 B.3　　　　 C.±3　　　　 D.9
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)由方程+=1表示的曲线是椭圆,可得解得3又3而3所以“3(2)根据焦点坐标可知,焦点在x轴上,所以a2=25,b2=m2,c2=16,
又因为m2=b2=a2-c2=9,解得m=±3.
探究3：求与椭圆定义有关的轨迹问题
例4　已知一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
【解析】由
已知得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图.
由题设知|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义知,点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16,
故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
【方法总结】若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.
巩固训练
　　如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.
【解析】根据题意可得,圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为5.
由垂直平分线的性质可知,|MQ|=|MA|,
∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|=5.
∴点M的轨迹为椭圆,其中2a=5,焦点为C(-1,0),A(1,0),
∴a=,c=1,
∴b2=a2-c2=-1=.
∴所求点M的轨迹方程为+=1,
即+=1.
【随堂检测】
1.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离是6,则点P到另一个焦点的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,则|PF1|+|PF2|=2a=10,
又点P到椭圆一个焦点的距离是6,故点P到另一个焦点的距离为4.
2.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则由已知得c=1,|F1F2|=2,所以4=|PF1|+|PF2|=2a,解得a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆的标准方程为+=1.
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围为(　　).
A.2C.4【答案】B
【解析】若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则6-k>k-2>0,解得24.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.
【答案】120°
【解析】由椭圆的定义知a2=9,b2=2,
∴a=3,c2=a2-b2=7,即c=,
∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴在△PF1F2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2=
==-,
又0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=120°.
2

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