资源简介

3.1.2　课时1　椭圆的简单几何性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(直观想象)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(数学运算)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.我们前面学过的椭圆是怎样定义的 椭圆的标准方程怎么表示
2.椭圆+=1(a>b>0)中x,y的取值范围各是什么
3.椭圆+=1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么
4.椭圆+=1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么
5.椭圆的离心率怎么表示 其取值范围是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点. (　　)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c. (　　)
(3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆. (　　)
(4)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a. (　　)
2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　).
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
3.若椭圆短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(　　).
A. B. C. D.
4.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
【合作探究】
探究1：　椭圆的范围、对称性、顶点
情境设置
　　问题1:如何求椭圆方程+=1(a>b>0)中x,y的取值范围呢
问题2:若椭圆方程为+=1(a>b>0),你能比较准确地画出它的图形吗
问题3:关于x轴、y轴及原点的对称点的特征是什么 如何利用方程说明椭圆的对称性
问题4:椭圆+=1(a>b>0)上的哪些点比较特殊 如何得到这些点的坐标
新知生成
椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1　(a>b>0)
范围 　-a≤x≤a且-b≤y≤b　 　-b≤x≤b且-a≤y≤a　
对称性 对称轴为　坐标轴　,对称中心为　原点　
顶点 　A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)　 　A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)　
轴长 短轴长|B1B2|=　2b　,长轴长|A1A2|=　2a　
焦点 　F1(-c,0),F2(c,0)　 　F1(0,-c),F2(0,c)　
焦距 |F1F2|=　2c　
　　特别提醒:(1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(2)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(3)通径:过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,其长为;过焦点最长的弦为长轴.
新知运用
例1　求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
方法指导　由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆的方程;②研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方程化成标准形式,然后写出其几何性质.
【方法总结】用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式;(2)确定焦点位置;(3)求出a,b,c的值;(4)写出椭圆的几何性质.
巩固训练
(1)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则(　　).
A.椭圆C1与C2的顶点相同
B.椭圆C1与C2的长轴长相同
C.椭圆C1与C2的短轴长相同
D.椭圆C1与C2的焦距相等
　　(2)椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离的(　　).
A.最大值为5,最小值为4　　B.最大值为10,最小值为8
C.最大值为10,最小值为6 D.最大值为9,最小值为1
探究2：椭圆的离心率
情境设置
　　问题1:e的变化对椭圆的形状有什么影响
问题2:你能利用三角函数的知识解释为什么e越大椭圆越扁平,e越小椭圆越接近于圆吗
问题3:如何用a,b表示离心率
新知生成
1.定义:将椭圆的半焦距与长半轴长的比称为椭圆的离心率,用e表示,即e=.
2.性质:椭圆离心率e的取值范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时,图形变成圆,它的方程为x2+y2=a2.
新知运用
例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
方法指导　根据已知条件建立方程,结合a,b,c的关系,解方程可得结论.
【方法总结】求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,则可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,则可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的齐次方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
巩固训练
已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F为椭圆的右焦点,PF⊥x轴,过点P且斜率为的直线恰好经过左顶点,则椭圆的离心率为(　　).
A. B. C. D.
探究3：利用几何性质求椭圆的标准方程
例3　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是10,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
【方法总结】利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤如下:
①确定焦点位置;
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);
③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
巩固训练
　　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;
　　(2)经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率.
【随堂检测】
1.椭圆+=1的长轴长为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2　 B.4 C.8 D.4
2.若焦点在y轴上的椭圆+=1(m>0)的离心率为,则m的值为　　　　.
3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为　　　　.
4.在椭圆+=1(a>b>0)中,F为椭圆的右焦点,A为椭圆的左顶点,B为椭圆的短轴的上顶点,若⊥,则该椭圆的离心率为　　　　.
23.1.2　课时1　椭圆的简单几何性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(直观想象)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(数学运算)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.我们前面学过的椭圆是怎样定义的 椭圆的标准方程怎么表示
【答案】把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.
当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程是+=1(a>b>0);
当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程是+=1(a>b>0).
2.椭圆+=1(a>b>0)中x,y的取值范围各是什么
【答案】-a≤x≤a,-b≤y≤b.
3.椭圆+=1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么
【答案】对称轴为x轴和y轴,对称中心为坐标原点(0,0).
4.椭圆+=1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么
【答案】与x轴的交点坐标为(±a,0),与y轴的交点坐标为(0,±b).
5.椭圆的离心率怎么表示 其取值范围是什么
【答案】离心率e=;0自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点. (　　)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c. (　　)
(3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆. (　　)
(4)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　).
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.x2+=1
【答案】A
【解析】依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b==,故所求椭圆的标准方程是+=1.
3.若椭圆短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知a=2c,∴e===.
4.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】∵e==,
∴=.
设==t(t>0),则a=5t,c=3t.
又△F1F2M的周长为2a+2c=16t=16,
∴t=1,∴a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=16.
∴椭圆C的标准方程为+=1.
【合作探究】
探究1：　椭圆的范围、对称性、顶点
情境设置
　　问题1:如何求椭圆方程+=1(a>b>0)中x,y的取值范围呢
【答案】由椭圆方程+=1(a>b>0),可知=1-≥0,所以椭圆上的点的横坐标都适合不等式≤1,即-a≤x≤a.同理,≤1,即-b≤y≤b.
问题2:若椭圆方程为+=1(a>b>0),你能比较准确地画出它的图形吗
【答案】能.根据椭圆+=1(a>b>0)中x,y的取值范围-a≤x≤a且-b≤y≤b,容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形框内,因此,可以较为准确地画出椭圆的大致图形,如图所示.
问题3:关于x轴、y轴及原点的对称点的特征是什么 如何利用方程说明椭圆的对称性
【答案】点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y),关于y轴的对称点为P2(-x,y),关于原点的对称点为P3(-x,-y).以-y代替y后,方程不变,说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上,所以椭圆关于x轴对称.同理,椭圆也关于y轴对称.以-x代替x,-y代替y,方程不变,说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上,所以椭圆关于原点对称.
问题4:椭圆+=1(a>b>0)上的哪些点比较特殊 如何得到这些点的坐标
【答案】与坐标轴的交点比较特殊,在椭圆+=1(a>b>0)中,令x=0,得y=±b,因此点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点;同理,令y=0,得x=±a,因此点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.
新知生成
椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1　(a>b>0)
范围 　-a≤x≤a且-b≤y≤b　 　-b≤x≤b且-a≤y≤a　
对称性 对称轴为　坐标轴　,对称中心为　原点　
顶点 　A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)　 　A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)　
轴长 短轴长|B1B2|=　2b　,长轴长|A1A2|=　2a　
焦点 　F1(-c,0),F2(c,0)　 　F1(0,-c),F2(0,c)　
焦距 |F1F2|=　2c　
　　特别提醒:(1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(2)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(3)通径:过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,其长为;过焦点最长的弦为长轴.
新知运用
例1　求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
方法指导　由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆的方程;②研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方程化成标准形式,然后写出其几何性质.
【解析】将椭圆方程变形为+=1,所以a=3,b=2,
故c===.
　　所以椭圆的长轴长为2a=6,焦距为2c=2,焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2).
【方法总结】用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式;(2)确定焦点位置;(3)求出a,b,c的值;(4)写出椭圆的几何性质.
巩固训练
(1)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则(　　).
A.椭圆C1与C2的顶点相同
B.椭圆C1与C2的长轴长相同
C.椭圆C1与C2的短轴长相同
D.椭圆C1与C2的焦距相等
　　(2)椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离的(　　).
A.最大值为5,最小值为4　　B.最大值为10,最小值为8
C.最大值为10,最小值为6 D.最大值为9,最小值为1
【答案】(1)D　(2)D
【解析】(1)由两个椭圆的标准方程可知,椭圆C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),长轴长为4,短轴长为4,焦距为4;椭圆C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),长轴长为8,短轴长为4,焦距为4.故选D.
(2)由椭圆的标准方程可知,a=5,b=3,所以c=4,而椭圆上的点到其右焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,即最大值为9,最小值为1.
探究2：椭圆的离心率
情境设置
　　问题1:e的变化对椭圆的形状有什么影响
【答案】若e越接近1,则c就越接近a,从而b=越小,因此椭圆越扁;反之,若e越接近于0,则c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,标准方程为x2+y2=a2.
问题2:你能利用三角函数的知识解释为什么e越大椭圆越扁平,e越小椭圆越接近于圆吗
【答案】
如图,在Rt△BF2O中,c=|OF2|,b=|OB|,a=|F2B|,cos∠BF2O=,e越大,越大,∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小,越小,∠BF2O越大,椭圆越圆.
问题3:如何用a,b表示离心率
【答案】由e=得e2==,∴e=.
新知生成
1.定义:将椭圆的半焦距与长半轴长的比称为椭圆的离心率,用e表示,即e=.
2.性质:椭圆离心率e的取值范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时,图形变成圆,它的方程为x2+y2=a2.
新知运用
例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
方法指导　根据已知条件建立方程,结合a,b,c的关系,解方程可得结论.
【答案】B
【解析】不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0.由已知得=×2b,又a2=b2+c2,所以=,所以e=.故选B.
【方法总结】求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,则可直接利用e=求解;若已知a,b或b,c,则可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的齐次方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
巩固训练
已知P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F为椭圆的右焦点,PF⊥x轴,过点P且斜率为的直线恰好经过左顶点,则椭圆的离心率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
　　【解析】如
图所示,将x=c代入椭圆方程得|PF|=,|AF|=a+c,
　　由题意可得=,∴3b2=a2+ac,∴3a2-3c2=a2+ac,
∴3c2+ac-2a2=0,∴3e2+e-2=0,∴e=(负值已舍去).
探究3：利用几何性质求椭圆的标准方程
例3　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是10,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).
由已知得2a=10,即a=5,又e==,∴c=4,
∴b2=a2-c2=25-16=9,
∴椭圆方程为+=1或+=1.
(2)依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,2c=6,
∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的方程为+=1.
【方法总结】利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤如下:
①确定焦点位置;
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);
③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
巩固训练
　　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;
　　(2)经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率.
【解析】(1)若焦点在x轴上,则a=3,
∵e==,∴c=,
∴b2=a2-c2=9-6=3,
∴椭圆的标准方程为+=1.
若焦点在y轴上,则b=3,
∵e====,解得a2=27.
∴椭圆的标准方程为+=1.
∴所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)(法一)由题意知e2=1-=,
∴=,即a2=2b2.
设所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(法二)设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),
将点M的坐标代入椭圆方程可得+=k1或+=k2,
解得k1=,k2=,
故+=或+=,
即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
【随堂检测】
1.椭圆+=1的长轴长为(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2　 B.4 C.8 D.4
【答案】C
【解析】由+=1,可得a=4,所以长轴长为2a=8.
2.若焦点在y轴上的椭圆+=1(m>0)的离心率为,则m的值为　　　　.
【答案】
【解析】由题意知03.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为　　　　.
【答案】+=1
【解析】由题意得解得
因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
4.在椭圆+=1(a>b>0)中,F为椭圆的右焦点,A为椭圆的左顶点,B为椭圆的短轴的上顶点,若⊥,则该椭圆的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】由已知条件得,点A的坐标为(-a,0),点B的坐标为(0,b),点F的坐标为(c,0).
(法一)∵⊥,∴kAB·kFB=-1,即·=-1,化简得b2=ac,
则a2-c2=ac,即e2+e-1=0,解得e1=,e2=(舍去).
(法二)∵⊥,∴·=0,则(c,-b)·(a,b)=0,∴b2-ac=0,即b2=ac,
则a2-c2=ac,即e2+e-1=0,
解得e1=,e2=(舍去).
2

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