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3.1.2　课时2　椭圆简单几何性质的应用
【学习目标】
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断点、直线与椭圆的位置关系.(逻辑推理)
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.点与圆有几种位置关系 点与椭圆呢
【答案】点与圆有3种位置关系:点在圆内,点在圆外,点在圆上.点与椭圆也有3种位置关系:点在椭圆内,点在椭圆外,点在椭圆上.
2.判断直线与圆的位置关系有哪几种方法
【答案】①几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断,d=r 相切;d>r 相离;d3.能否利用判断直线与圆的位置关系的几何法判断直线与椭圆的位置关系
【答案】不能采用几何法,但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P(2,1)在椭圆+=1的内部. (　　)
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　　)
(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+=1相交. (　　)
(4)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交或相切. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.(多选题)已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.点(-3,-2)不在椭圆上
B.点(3,-2)在椭圆上
C.点(-3,2)在椭圆上
D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上
【答案】BC
【解析】由椭圆的对称性知,点(-3,-2),(-3,2),(3,-2)均在椭圆上.
3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　).
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
【答案】A
【解析】把x+y-3=0代入+y2=1,
得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.
∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,
∴直线与椭圆相离.
4.已知直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则k的值为　　　　　.
【答案】-
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+1代入+y2=1,得(1+4k2)x2+8kx=0,则x1+x2=-,因为AB中点的横坐标为1,所以-=1,解得k=-.
【合作探究】
探究1：点与椭圆的位置关系
情境设置
　　问题:如何判断点与椭圆的位置关系
【答案】把点的坐标代入椭圆方程左边进行计算,其值大于1,点在椭圆外;其值小于1,点在椭圆内;其值等于1,点在椭圆上.
新知生成
点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上 +=1　;
点P在椭圆内部 +<1　;
点P在椭圆外部 +>1　.
新知运用
例1　若直线y=kx+1恒过定点A,且点A位于焦点在x轴上的椭圆+=1的内部(含边界),求实数m的取值范围.
方法指导　先求定点A,然后根据点A在椭圆内部(含边界),建立不等式求解.
【解析】由题意知直线y=kx+1过定点A(0,1).
∵点A在椭圆+=1内或椭圆上,∴+≤1,∴m≥1.又椭圆焦点在x轴上,∴m<5,故实数m的取值范围为[1,5).
【方法总结】判断点与椭圆的位置关系,可将点的坐标代入椭圆方程,然后判断.已知关键点的位置求参数范围,可根据点的位置建立不等式求解.
巩固训练
　　已知直线l过点(3,-1),且椭圆C的方程为+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.1或2 C.2 D.0
【答案】C
【解析】因为直线l过定点(3,-1),且+<1,
所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
探究2：直线与椭圆的位置关系
情境设置
　　问题1:如图所示,移动直线l,观察直线l与椭圆有几种位置关系.
【答案】有三种,相切、相交、相离.
问题2:已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系
【答案】要判断直线与椭圆的位置关系,应通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
Δ>0 直线与椭圆相交;
Δ=0 直线与椭圆相切;
Δ<0 直线与椭圆相离.
新知生成
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:由消去y(或x)得到一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
新知运用
例2　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
方法指导　联立直线与椭圆方程,将原问题转化为关于x的一元二次方程解的个数的判断问题.
【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.
该方程的根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ>0,即-3该方程有两个不同的实数解,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)当Δ=0,即m=±3时,
该方程有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即m>3或m<-3时,直线与椭圆没有公共点.
【方法总结】判断直线与椭圆的位置关系的方法
巩固训练
　　在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.
【解析】由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0.
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,所以Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>.
故k的取值范围为∪.
探究3：弦长与中点弦问题
情境设置
　　问题1:借助椭圆图形分析,你认为椭圆+=1(a>b>0)上的点到焦点的距离的最大值和最小值各是多少
【答案】点(a,0),(-a,0)与焦点F1(-c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离,分别为a+c和a-c.
问题2:如何求直线与圆相交的弦长 能用此法求直线与椭圆相交的弦长吗
【答案】直线与圆相交的弦长问题,常常通过半弦长、圆的半径与圆心到直线的距离构成的直角三角形来求解,此法不能用来求直线与椭圆相交的弦长.
新知生成
1.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程,构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,
则
由①-②,得(-)+(-)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-.
2.求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆两个交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:|P1P2|=·|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
特别提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
新知运用
例3　过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分.
(1)求此弦所在的直线方程;
(2)求此弦长.
【解析】(1)当直线的斜率不存在时,此弦中点必然在x轴上,与其中点为M(2,1)矛盾,故直线斜率存在.
(法一)设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,易知点M(2,1)在椭圆内,即Δ>0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2=.又M(2,1)为AB的中点,∴==2,解得k=-.故所求直线的方程为x+2y-4=0.
(法二)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,则+4=16,+4=16,两式相减得(-)+4(-)=0,
∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴=-=-,即kAB=-.
又直线AB过点M(2,1),
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
(2)由(1)知x1+x2=4,x1x2==0,
∴|AB|=·
=·=2.
【方法总结】1.求直线与椭圆相交弦长的方法:①直接利用两点间的距离公式,当弦的两个端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长;②利用弦长的公式求解.
2.解决椭圆中点弦问题的两种方法:①利用根与系数的关系,联立直线方程和椭圆方程,构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;②点差法,利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标与斜率的关系.
巩固训练
　　已知椭圆C:+=1,直线l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若线段AB的中点坐标为(1,1),求直线l的方程;
(2)若直线l过点P(1,0),且△OAB的面积为,求直线l的方程.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
两式作差得=-,整理可得kAB==-·=-·,
又线段AB的中点坐标为(1,1),则x1+x2=2,y1+y2=2,∴kAB=-×=-,
∴直线l的方程为y-1=-(x-1),即l的方程为x+2y-3=0.
(2)当直线l的斜率为0时,O,A,B三点共线,不符合题意,则直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=ty+1,
由得(t2+2)y2+2ty-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴S△OAB=|OP|·|y1-y2|===,解得t=±1,
∴直线l的方程为x=y+1或x=-y+1,即直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
【随堂检测】
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
【答案】B
【解析】直线y=kx-k+1恒过定点(1,1).因为+<1,所以点(1,1)在椭圆+=1的内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆相交.故选B.
2.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是(　　).
A. B.- C.± D.±
【答案】C
【解析】由得(3k2+2)x2+12kx+6=0.
由题意知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.
3.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点是F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点M的坐标为(1,-1),则椭圆E的标准方程为(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【答案】B
【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=-2,
+=1,　①
+=1,　②
由①-②,得+=0,
∴kAB==-=.
∵kAB==,∴=,又c2=a2-b2=9,
解得b2=9,a2=18,∴椭圆E的标准方程为+=1.
4.已知直线l:y=x-,椭圆C:x2+4y2=4.
(1)求证:直线l与椭圆C有两个交点.
(2)求这两个交点所成的弦长.
【解析】(1)由消去y整理得5x2-4x-3=0,
故Δ=(-4)2-4×5×(-3)=76>0,
所以直线l与椭圆C有两个交点.
(2)设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知x1+x2=,x1·x2=-,
所以|AB|=
=
=·=·
=·=.
23.1.2　课时2　椭圆简单几何性质的应用
【学习目标】
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断点、直线与椭圆的位置关系.(逻辑推理)
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.点与圆有几种位置关系 点与椭圆呢
2.判断直线与圆的位置关系有哪几种方法
3.能否利用判断直线与圆的位置关系的几何法判断直线与椭圆的位置关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P(2,1)在椭圆+=1的内部. (　　)
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　　)
(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+=1相交. (　　)
(4)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交或相切. (　　)
2.(多选题)已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.点(-3,-2)不在椭圆上
B.点(3,-2)在椭圆上
C.点(-3,2)在椭圆上
D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上
3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　).
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
4.已知直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则k的值为　　　　　.
【合作探究】
探究1：点与椭圆的位置关系
情境设置
　　问题:如何判断点与椭圆的位置关系
新知生成
点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上 +=1　;
点P在椭圆内部 +<1　;
点P在椭圆外部 +>1　.
新知运用
例1　若直线y=kx+1恒过定点A,且点A位于焦点在x轴上的椭圆+=1的内部(含边界),求实数m的取值范围.
方法指导　先求定点A,然后根据点A在椭圆内部(含边界),建立不等式求解.
【方法总结】判断点与椭圆的位置关系,可将点的坐标代入椭圆方程,然后判断.已知关键点的位置求参数范围,可根据点的位置建立不等式求解.
巩固训练
　　已知直线l过点(3,-1),且椭圆C的方程为+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.1或2 C.2 D.0
探究2：直线与椭圆的位置关系
情境设置
　　问题1:如图所示,移动直线l,观察直线l与椭圆有几种位置关系.
问题2:已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系
新知生成
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:由消去y(或x)得到一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
新知运用
例2　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
方法指导　联立直线与椭圆方程,将原问题转化为关于x的一元二次方程解的个数的判断问题.
【方法总结】判断直线与椭圆的位置关系的方法
巩固训练
　　在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.
探究3：弦长与中点弦问题
情境设置
　　问题1:借助椭圆图形分析,你认为椭圆+=1(a>b>0)上的点到焦点的距离的最大值和最小值各是多少
问题2:如何求直线与圆相交的弦长 能用此法求直线与椭圆相交的弦长吗
新知生成
1.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程,构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,
则
由①-②,得(-)+(-)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-.
2.求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆两个交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:|P1P2|=·|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
特别提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
新知运用
例3　过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分.
(1)求此弦所在的直线方程;
(2)求此弦长.
【方法总结】1.求直线与椭圆相交弦长的方法:①直接利用两点间的距离公式,当弦的两个端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长;②利用弦长的公式求解.
2.解决椭圆中点弦问题的两种方法:①利用根与系数的关系,联立直线方程和椭圆方程,构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;②点差法,利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标与斜率的关系.
巩固训练
　　已知椭圆C:+=1,直线l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若线段AB的中点坐标为(1,1),求直线l的方程;
(2)若直线l过点P(1,0),且△OAB的面积为,求直线l的方程.
【随堂检测】
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是(　　).
A. B.- C.± D.±
3.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点是F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点M的坐标为(1,-1),则椭圆E的标准方程为(　　).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.已知直线l:y=x-,椭圆C:x2+4y2=4.
(1)求证:直线l与椭圆C有两个交点.
(2)求这两个交点所成的弦长.
2

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