资源简介

3.2.2　课时1　双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1.了解双曲线的图形及简单几何性质.(直观想象)
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(直观想象)
3.会用双曲线的几何性质解决相应的问题.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.类比椭圆的几何性质,结合图形,你能得到双曲线-=1(a>0,b>0)的哪些几何性质
2.你知道双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点坐标、实轴长、虚轴长分别是什么吗
3.双曲线的渐近线的定义是什么 你能写出渐近线方程吗
4.双曲线离心率的表达形式与椭圆一样,那么它们的范围相同吗
5.什么是等轴双曲线 它的离心率是多少
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同. (　　)
(2)若双曲线的渐近线互相垂直,则离心率e=. (　　)
(3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. (　　)
(4)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. (　　)
2.已知双曲线C:y2-=1,则该双曲线的实轴长为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.2
3.已知双曲线C:-=1的离心率为3,则m=(　　).
A.3 B. C.2 D.1
4.若双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m=　　　　　.
【合作探究】
探究1：双曲线的范围、对称性和顶点
情境设置
　　问题1:观察平面直角坐标系中的双曲线C:-=1(a>0,b>0),它有怎样的范围 你能利用它的方程给出证明吗
问题2:观察双曲线的形状,它有怎样的对称性 在平面直角坐标系中,要证明一个图形关于坐标轴或原点对称,就是要证明什么 你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗
问题3:观察双曲线,你觉得有哪些比较特殊的点 你能通过方程给出证明吗
新知生成
双曲线的简单几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性质 图形
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:(0,0)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长为2a. 虚轴:线段B1B2,长为2b. 实半轴长为a,虚半轴长为b
　　特别提醒:(1)焦点到渐近线的距离为b;
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图;
(3)双曲线上的点到焦点的最小值为c-a.
新知运用
例1　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长,并作出草图.
方法指导　先把方程化为标准形式,求出a,b,c的值,然后求解.
【方法总结】由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
巩固训练
求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长、虚半轴长和焦点坐标.
探究2：双曲线的渐近线
情境设置
　　问题1:利用信息技术画出双曲线-=1和两条直线±=0.在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线-=0的距离d.沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d的大小关系,你发现了什么
问题2:学习了渐近线的概念,我们如何比较准确地画出双曲线
问题3:渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗
问题4:已知两条渐近线的方程为Ax±By=0(A>0,B>0),如何设双曲线方程
新知生成
1.渐近线
一般地,双曲线-=1(a>0,b>0)的两支向外延伸时,与两条直线±=0逐渐接近,我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线.实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交.
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率e=.
特别提醒:与双曲线-=1或-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ或-=λ(λ≠0).
新知运用
例2　(1)已知双曲线C:-=1与双曲线x2-y2=6有相同的焦点,则C的渐近线方程为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
(2)已知焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,焦距为2,则该双曲线的标准方程为　　　　.
巩固训练
1.已知双曲线x2-=1(b>0)的焦距为2,则其渐近线方程为(　　).
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.若双曲线C:x2-my2=1的一条渐近线与直线y=2x+1平行,则m的值为(　　).
A.4 B. C.2 D.
3.两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
探究3：双曲线的离心率
情境设置
　　问题1:椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,那么双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢
问题2:如何用a,b表示双曲线的离心率
新知生成
双曲线的离心率:双曲线的半焦距与实半轴长的比,叫作双曲线的离心率.
范围:双曲线的离心率e=>1.
新知运用
例3　(1)若双曲线 -=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知点A,B分别为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为(　　).
A. B.2 C. D.
方法指导　(1)渐近线经过点(3,-4) 渐近线的斜率 离心率;(2)由已知条件画图 点M的坐标 代入双曲线方程得离心率.
【方法总结】求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,则可直接利用e=求解,若已知a,b,则可利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,则可通过关系式b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的高次方程求解.
巩固训练
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,则C的离心率为(　　).
A. B.2 C. D.
2.焦点在x轴上,离心率为,且过点(-5,3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
【随堂检测】
1.双曲线-y2=1的顶点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(　　).
A. B. C. D.
3.两顶点间的距离是6,且两焦点的连线被两顶点和中心四等分的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
4.求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
23.2.2　课时1　双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1.了解双曲线的图形及简单几何性质.(直观想象)
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(直观想象)
3.会用双曲线的几何性质解决相应的问题.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.类比椭圆的几何性质,结合图形,你能得到双曲线-=1(a>0,b>0)的哪些几何性质
【答案】x,y的范围,实轴长,虚轴长,焦点,焦距,对称性,顶点坐标和离心率.
2.你知道双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点坐标、实轴长、虚轴长分别是什么吗
【答案】顶点坐标是(-a,0),(a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b.
3.双曲线的渐近线的定义是什么 你能写出渐近线方程吗
【答案】一般地,双曲线-=1(a>0,b>0)的两支向外延伸时,与两条直线y=±x逐渐接近,这两条直线叫作双曲线的渐近线.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
4.双曲线离心率的表达形式与椭圆一样,那么它们的范围相同吗
【答案】它们的范围不同,双曲线离心率的范围是(1,+∞),椭圆离心率的范围是(0,1).
5.什么是等轴双曲线 它的离心率是多少
【答案】实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,它的离心率e=.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同. (　　)
(2)若双曲线的渐近线互相垂直,则离心率e=. (　　)
(3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. (　　)
(4)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.已知双曲线C:y2-=1,则该双曲线的实轴长为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.2
【答案】B
【解析】因为双曲线C:y2-=1的实半轴长a=1,所以该双曲线的实轴长为2.
3.已知双曲线C:-=1的离心率为3,则m=(　　).
A.3 B. C.2 D.1
【答案】B
【解析】由题意得a2=m,b2=4,因为C的离心率为3,所以=9,解得m=.
4.若双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,则实数m=　　　　　.
【答案】4
【解析】∵双曲线x2-=1的焦点在x轴上,
∴渐近线方程为y=±x,∴=2,即m=4.
【合作探究】
探究1：双曲线的范围、对称性和顶点
情境设置
　　问题1:观察平面直角坐标系中的双曲线C:-=1(a>0,b>0),它有怎样的范围 你能利用它的方程给出证明吗
【答案】发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a或x≥a,纵坐标的范围是y∈R.证明如下:∵-=1,∴=+1≥1,即x2≥a2,解得x≥a或x≤-a.同理可得y∈R.
问题2:观察双曲线的形状,它有怎样的对称性 在平面直角坐标系中,要证明一个图形关于坐标轴或原点对称,就是要证明什么 你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗
【答案】双曲线是轴对称图形,也是中心对称图形.要证明一个图形关于坐标轴或原点对称,就要证明在标准方程中,把x换成-x,或把y换成-y,或把x,y同时换成-x,-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的.根据上述方法可以证明,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.
问题3:观察双曲线,你觉得有哪些比较特殊的点 你能通过方程给出证明吗
【答案】双曲线与坐标轴的交点比较特殊.
在标准方程-=1(a>0,b>0)中,令y=0,得x=±a;令x=0,则y无解.这说明双曲线有两个顶点,分别为A1(-a,0),A2(a,0).如图,对称轴上位于两顶点间的线段A1A2叫作双曲线-=1的实轴,其长度为2a,尽管此双曲线与y轴无公共点,但y轴上有两个特殊的点B1(0,-b),B2(0,b).我们称线段B1B2为双曲线的虚轴,其长度为2b.
新知生成
双曲线的简单几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性质 图形
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:(0,0)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长为2a. 虚轴:线段B1B2,长为2b. 实半轴长为a,虚半轴长为b
　　特别提醒:(1)焦点到渐近线的距离为b;
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图;
(3)双曲线上的点到焦点的最小值为c-a.
新知运用
例1　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长,并作出草图.
方法指导　先把方程化为标准形式,求出a,b,c的值,然后求解.
【解析】将9y2-4x2=-36化为标准方程,得-=1,即-=1,
所以a=3,b=2,c=.
故顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(-,0),(,0),
实轴长为2a=6,虚轴长为2b=4.
草图如图所示:
【方法总结】由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
巩固训练
求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长、虚半轴长和焦点坐标.
【解析】把双曲线方程9y2-16x2=144化为标准方程为-=1.
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,
所以c===5,焦点坐标为(0,-5),(0,5).
探究2：双曲线的渐近线
情境设置
　　问题1:利用信息技术画出双曲线-=1和两条直线±=0.在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线-=0的距离d.沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d的大小关系,你发现了什么
【答案】双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线,但永远不能到达这条直线.
问题2:学习了渐近线的概念,我们如何比较准确地画出双曲线
【答案】画双曲线时,我们可以先画矩形框,然后画出双曲线的渐近线,最后画双曲线,这样比较精确.
问题3:渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗
【答案】不是,渐近线相同的双曲线有无数条.
问题4:已知两条渐近线的方程为Ax±By=0(A>0,B>0),如何设双曲线方程
【答案】如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0).
新知生成
1.渐近线
一般地,双曲线-=1(a>0,b>0)的两支向外延伸时,与两条直线±=0逐渐接近,我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线.实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交.
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率e=.
特别提醒:与双曲线-=1或-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ或-=λ(λ≠0).
新知运用
例2　(1)已知双曲线C:-=1与双曲线x2-y2=6有相同的焦点,则C的渐近线方程为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
(2)已知焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,焦距为2,则该双曲线的标准方程为　　　　.
【答案】(1)C　(2)-y2=1
【解析】(1)由x2-y2=6,得-=1,由题意得m+2m+3=12,解得m=3,所以C的标准方程为-=1,所以C的渐近线方程为y=±x,故选C.
(2)由题设,可知=,c=,所以由a2+b2=c2=5,可得a2=4,b2=1,又焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为-y2=1.
巩固训练
1.已知双曲线x2-=1(b>0)的焦距为2,则其渐近线方程为(　　).
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【答案】A
【解析】由焦距2c=2,a2=1,得3=b2+1,解得b=,
∴=,∴渐近线方程为y=±x.
2.若双曲线C:x2-my2=1的一条渐近线与直线y=2x+1平行,则m的值为(　　).
A.4 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】因为双曲线C:x2-my2=1,所以m>0,则双曲线的渐近线方程为y=± x,又双曲线的一条渐近线与直线y=2x+1平行,所以=2,所以m=.
3.两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】-=1或-=1
【解析】设以y=±x为渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0).
当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6,解得λ=;
当λ<0时,a2=-9λ,∴2a=2=6,解得λ=-1.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
探究3：双曲线的离心率
情境设置
　　问题1:椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,那么双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢
【答案】双曲线的离心率e>1,且e越大,双曲线的开口就越开阔.
问题2:如何用a,b表示双曲线的离心率
【答案】e===.
新知生成
双曲线的离心率:双曲线的半焦距与实半轴长的比,叫作双曲线的离心率.
范围:双曲线的离心率e=>1.
新知运用
例3　(1)若双曲线 -=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知点A,B分别为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则双曲线E的离心率为(　　).
A. B.2 C. D.
方法指导　(1)渐近线经过点(3,-4) 渐近线的斜率 离心率;(2)由已知条件画图 点M的坐标 代入双曲线方程得离心率.
【答案】(1)D　(2)D
【解析】(1)由题意知=,则e2=1+=,所以e=.
　　
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图.|AB|=|BM|=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于点H,则∠MBH=60°,|BH|=a,|MH|=a,所以点M(2a,a).将点M的坐标代入双曲线方程-=1,得a=b,所以e=.故选D.
【方法总结】求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,则可直接利用e=求解,若已知a,b,则可利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,则可通过关系式b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的高次方程求解.
巩固训练
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,则C的离心率为(　　).
A. B.2 C. D.
【答案】B
【解析】由动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,可得点B在右支上,
令x=c,可得-=1,解得y=±b=±,即|BF|=,则a+c=,
即a(a+c)=b2=c2-a2=(c-a)(a+c),
可得a=c-a,即c=2a,所以e==2.
2.焦点在x轴上,离心率为,且过点(-5,3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】-=1
【解析】∵e==,∴c=a,b2=c2-a2=a2.
又∵焦点在x轴上,
∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0).
把点(-5,3)代入方程,解得a2=16.
∴双曲线的标准方程为-=1.
【随堂检测】
1.双曲线-y2=1的顶点坐标是(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
【答案】B
【解析】由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).
2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线渐近线方程,可得=,即=,即=,得=,所以该双曲线的离心率为.
3.两顶点间的距离是6,且两焦点的连线被两顶点和中心四等分的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】-=1或-=1
【解析】由双曲线两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分,可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
4.求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【解析】把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化为标准方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e===,顶点坐标为(-,0),(,0),渐近线的方程为y=± x=±x.
2

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