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3.2.2　课时2　双曲线简单几何性质的应用
【学习目标】
1.进一步掌握双曲线的方程及其几何性质的应用,会判断直线与双曲线的位置关系.(逻辑推理)
2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.前面我们学习了双曲线的方程、简单几何性质,你能写出双曲线的标准方程及性质吗
【答案】
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
性质 图形
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:(0,0)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长为2a. 虚轴:线段B1B2,长为2b. 实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率 e=∈(1,+∞)
渐近线 y=±x y=±x
2.若直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切.那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗
【答案】不能.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. (　　)
(2)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.(多选题)若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】CD
【解析】因为在双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,所以若直线x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2.
3.已知双曲线C:x2-4y2=1,经过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为(　　).
A.y=2x-1
B.y=-x+1
C.y=x-1或y=-x+1
D.y=2x-1或y=-x+1
【答案】C
【解析】由双曲线的几何性质可知,点P(2,0)在双曲线右顶点的右侧,当直线l与渐近线平行时,直线l与双曲线C有唯一公共点,
由于双曲线的渐近线为y=±x,
因此直线l的方程为y=(x-2)或y=-(x-2),即y=x-1或y=-x+1.
4.已知直线y=kx+1(k∈R)与双曲线3x2-y2=1,则当k为何值时,直线与双曲线有一个公共点
【解析】由
得(3-k2)x2-2kx-2=0,
因为直线与双曲线有一个公共点,
所以3-k2=0或
解得k=±或k=±.
【合作探究】
探究1：直线与双曲线的位置关系
情境设置
　　问题1:若直线和双曲线只有一个公共点,则直线和双曲线一定相切吗
【答案】可能相切,也可能相交,当直线和渐近线平行时,直线和双曲线相交且只有一个交点.
问题2:过点(0,2)且和双曲线-=1只有一个公共点的直线有几条
【答案】四条,其中有两条切线,两条和渐近线平行的直线.
问题3:判断直线与双曲线的位置关系要注意什么
【答案】(1)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.(2)直线与双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.
新知生成
直线与双曲线的位置关系
直线:Ax+By+C=0,双曲线:-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.
位置关系 公共点 判定方法
相交 1个或2个 m=0或
相切 1个 m≠0且Δ=0
相离 0个 m≠0且Δ<0
新知运用
例1　已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线满足下列关系:
(1)有两个公共点 (2)有一个公共点 (3)没有公共点
方法指导　要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程或一元一次方程,再对方程解的个数进行讨论.
【解析】由消去y,得(4-k2)x2-16=0.
当4-k2=0,即k=±2时,方程无解.
当4-k2≠0时,Δ=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2)≠0,
当Δ>0,即-2当Δ<0,即k<-2或k>2时,方程无解.
综上所述:
(1)当-2(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值;
(3)当k≤-2或k≥2时,直线与双曲线没有公共点.
【方法总结】讨论直线与双曲线的位置关系时,一般联立直线与双曲线的方程,将其化为关于x(或y)的一元二次方程,这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成关于x(或y)的一元一次方程;当二次项的系数不为0时,利用根的判别式,判断直线与双曲线的位置关系.
巩固训练
　　若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点,则k的取值范围为　　　　.
【答案】1,
【解析】联立方程组
得(1-k2)x2-4kx-10=0,　①
因为直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点,所以方程①有两个不相等的负根.
所以
解得1探究2：与双曲线有关的弦长及中点弦问题
情境设置
　　问题1:类比求椭圆弦长的方法,若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则如何求|AB|
【答案】同求椭圆弦长的方法,有|AB|=·|x1-x2|=|y1-y2|.
问题2:椭圆中点弦问题常用什么方法解决 双曲线中点弦问题能用这种方法吗
【答案】涉及椭圆中点弦问题常用点差法或根与系数的关系解决,此法也能用在双曲线中点弦问题中.
新知生成
解决与双曲线有关的中点弦问题的方法
第一种方法:联立消元法,即联立直线和双曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.
第二种方法:点差法,根据双曲线弦中点的性质,求出直线的斜率,再用点斜式得出直线方程.
特别提醒:中点弦问题中判断点的位置非常重要.
(1)若中点M在双曲线内(含焦点区域),则被点M平分的弦一般存在.
(2)若中点M在双曲线外,则被点M平分的弦可能不存在.检验所求的直线和双曲线是否相交.
新知运用
例2　已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,且双曲线C过点P(2,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线C交于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为-2,求线段AB的长.
【解析】(1)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
联立方程组消去y得(1-2k2)x2+4kx-4=0,
　　因为l与C有两个交点,所以1-2k2≠0,即k2≠,且Δ=16k2+16(1-2k2)=16-16k2>0,解得k2<1且k2≠,
所以-1由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=-,
又因为线段AB的中点的横坐标为-2,所以-=-4,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,　②
结合①②可知k=,
此时l:y=x-1,x1+x2=-=-4,x1x2=-=-8,
所以|AB|=|x1-x2|=·=×=2,
即线段AB的长为2.
【方法总结】中点弦问题:可以联立方程组消元后,用判别式和中点坐标公式求解;也可以用点差法和中点坐标公式求解.注意都需要检验.
巩固训练
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且P为AB的中点,求直线l的方程.
【解析】(1)∵e==,2b=2,∴c=a,b=1,
∵b2=c2-a2,∴1=a2-a2,解得a2=3,
∴双曲线C的标准方程为-y2=1.
(2)设以P(1,1)为中点的弦的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
可得x1+x2=2,y1+y2=2,
由点A,B在双曲线上,可得
两式相减可得以P(1,1)为中点的弦所在的直线的斜率k==,
则以P(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0,
联立方程组得6y2-12y+1=0,Δ=(-12)2-4×6×1=120>0,符合题意,
∴直线l的方程为x-3y+2=0.
探究3：双曲线性质的综合应用
情境设置
　　问题1:双曲线与椭圆有哪些不同点
【答案】双曲线与椭圆的六个不同点:
双曲线 椭圆
曲线 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实、虚轴 长、短轴
渐近线 有渐近线 无渐近线
离心率 e>1 0a,b,c的关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2
　　问题2:双曲线常与哪些知识结合命题
【答案】双曲线常与向量、直线等知识结合命题.
新知生成
与双曲线有关的综合问题
(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.
(2)当与直线知识结合时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后当二次项的系数不为0时,常常利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;当二次项系数为0时,直接分析求解.
新知运用
例3　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)交x轴于A,B两点,P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交y轴于点M,N,·=-4,且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线交于D,E两点,Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点,若|QD|=|QE|,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意及双曲线的对称性,知A(-a,0),B(a,0),设点P(x0,y0)(x0≠±a),
则lPA:y=(x+a) M0,,lPB:y=(x-a) N0,-,
故·=a,-·-a,=-a2-.
又-=1,所以a2=b2(-a2),代入得·=-a2-b2=-4,所以a2+b2=4,所以c2=4,
又e2==4,所以a2=1,b2=3,
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)由题意知,Q(0,),设点D(x1,y1),E(x2,y2)(x1≠x2),线段DE的中点坐标为G(x3,y3),
联立得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,
依题意得
即　①
又x1+x2=,
所以x3==,代入直线l的方程得y3=,
由|QD|=|QE|知,·=0,即,-·(1,k)=0,即km+3km-3k+k3=0(k≠0),
所以3-k2=m,　②
且k2=3-m>0,　③
由①②③式得m<-或0故实数m的取值范围是-∞,-∪0,.
【方法总结】解决与双曲线有关的综合问题,常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等,然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
巩固训练
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的右顶点A在圆O:x2+y2=2上,且·=-2.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,则△OMN(O为坐标原点)的面积是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.
【解析】(1)设双曲线C的半焦距为c,
由点A(a,0)在圆O:x2+y2=2上,可得a=,
由·=(-c-,0)·(c-,0)=2-c2=-2,解得c=2,
所以b2=c2-a2=2,
所以双曲线C的标准方程-=1.
(2)设直线l与x轴相交于点D,双曲线C的渐近线方程为y=±x.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±,则|OD|=,|MN|=2,
所以S△OMN=·|MN|·|OD|=2.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,则k≠0,D-,0,
把直线l的方程与双曲线C的方程联立可得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,
因为直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别相交,
所以直线l与双曲线的渐近线不平行,所以k2-1≠0且m≠0,
所以可得m2=2(k2-1)>0,解得k>1或k<-1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由解得y1=,
同理可得y2=,
所以S△OMN=·|OD|·|y1-y2|
=··-==2,
综上所述,△OMN的面积恒为定值2.
【随堂检测】
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与C的右支有且仅有一个交点,则C的离心率的取值范围为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,] D.(1,2]
【答案】A
【解析】由题意知,该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率,即≥1,
∴e2==≥2,解得e≥.
2.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得的弦长为(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将直线x+y=1的方程代入4x2-y2=1中,得3x2+2x-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
则x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|
=
=×
=.
3.已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引其中一条渐近线的垂线,垂足为点A,若△AFO的面积为,则双曲线C的标准方程为　　　　　　　.
【答案】-=1
【解析】因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,所以e2=1+=,即b=2a.
不妨设从C的右焦点F(c,0)引渐近线y=x的垂线,则|AF|==b,所以|AO|==a,
因为△AFO的面积为,所以解得所以双曲线C的标准方程为-=1.
4.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2,记点C的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)设E与直线y=x-2交于M,N两点,求线段MN的长度.
【解析】(1)设C(x,y),则||CA|-|CB||=2,
所以点C的轨迹E为双曲线-=1(a>0,b>0),
且2a=2,2c=|AB|=2,则a=1,c=,b2=c2-a2=2,
所以轨迹E的方程为x2-=1.
(2)由得x2+4x-6=0,
因为Δ=40>0,所以该直线与E有两个交点.
设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2),
则x1+x2=-4,x1x2=-6,
故|MN|=
=·=4,
即线段MN的长度为4.
23.2.2　课时2　双曲线简单几何性质的应用
【学习目标】
1.进一步掌握双曲线的方程及其几何性质的应用,会判断直线与双曲线的位置关系.(逻辑推理)
2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.前面我们学习了双曲线的方程、简单几何性质,你能写出双曲线的标准方程及性质吗
2.若直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切.那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. (　　)
(2)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. (　　)
2.(多选题)若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知双曲线C:x2-4y2=1,经过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为(　　).
A.y=2x-1
B.y=-x+1
C.y=x-1或y=-x+1
D.y=2x-1或y=-x+1
4.已知直线y=kx+1(k∈R)与双曲线3x2-y2=1,则当k为何值时,直线与双曲线有一个公共点
【合作探究】
探究1：直线与双曲线的位置关系
情境设置
　　问题1:若直线和双曲线只有一个公共点,则直线和双曲线一定相切吗
问题2:过点(0,2)且和双曲线-=1只有一个公共点的直线有几条
问题3:判断直线与双曲线的位置关系要注意什么
新知生成
直线与双曲线的位置关系
直线:Ax+By+C=0,双曲线:-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.
位置关系 公共点 判定方法
相交 1个或2个 m=0或
相切 1个 m≠0且Δ=0
相离 0个 m≠0且Δ<0
新知运用
例1　已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线满足下列关系:
(1)有两个公共点 (2)有一个公共点 (3)没有公共点
方法指导　要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程或一元一次方程,再对方程解的个数进行讨论.
【方法总结】讨论直线与双曲线的位置关系时,一般联立直线与双曲线的方程,将其化为关于x(或y)的一元二次方程,这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成关于x(或y)的一元一次方程;当二次项的系数不为0时,利用根的判别式,判断直线与双曲线的位置关系.
巩固训练
　　若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点,则k的取值范围为　　　　.
探究2：与双曲线有关的弦长及中点弦问题
情境设置
　　问题1:类比求椭圆弦长的方法,若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则如何求|AB|
问题2:椭圆中点弦问题常用什么方法解决 双曲线中点弦问题能用这种方法吗
新知生成
解决与双曲线有关的中点弦问题的方法
第一种方法:联立消元法,即联立直线和双曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.
第二种方法:点差法,根据双曲线弦中点的性质,求出直线的斜率,再用点斜式得出直线方程.
特别提醒:中点弦问题中判断点的位置非常重要.
(1)若中点M在双曲线内(含焦点区域),则被点M平分的弦一般存在.
(2)若中点M在双曲线外,则被点M平分的弦可能不存在.检验所求的直线和双曲线是否相交.
新知运用
例2　已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,且双曲线C过点P(2,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线C交于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为-2,求线段AB的长.
【方法总结】中点弦问题:可以联立方程组消元后,用判别式和中点坐标公式求解;也可以用点差法和中点坐标公式求解.注意都需要检验.
巩固训练
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且P为AB的中点,求直线l的方程.
探究3：双曲线性质的综合应用
情境设置
　　问题1:双曲线与椭圆有哪些不同点
　　问题2:双曲线常与哪些知识结合命题
新知生成
与双曲线有关的综合问题
(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.
(2)当与直线知识结合时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后当二次项的系数不为0时,常常利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;当二次项系数为0时,直接分析求解.
新知运用
例3　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)交x轴于A,B两点,P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交y轴于点M,N,·=-4,且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线交于D,E两点,Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点,若|QD|=|QE|,求实数m的取值范围.
【方法总结】解决与双曲线有关的综合问题,常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等,然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
巩固训练
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的右顶点A在圆O:x2+y2=2上,且·=-2.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,则△OMN(O为坐标原点)的面积是否为定值 若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.
【随堂检测】
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与C的右支有且仅有一个交点,则C的离心率的取值范围为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,] D.(1,2]
2.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得的弦长为(　　).
A. B. C. D.
3.已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引其中一条渐近线的垂线,垂足为点A,若△AFO的面积为,则双曲线C的标准方程为　　　　　　　.
4.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2,记点C的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)设E与直线y=x-2交于M,N两点,求线段MN的长度.
2

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