资源简介

3.3.1　抛物线的标准方程
【学习目标】
1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.(数学抽象)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.(直观想象、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.观察教材第133页图3.3-1,将一直尺固定在画图板内直线l的位置上,取一个直角三角板,以它的一条直角边靠紧直尺的一边l.在另一条直角边上取定点A,设三角板的直角顶点为C,再取一条长度正好等于AC的细线.现将这条细线的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用大头针固定在点F处,用一支铅笔扣着细线,紧靠着三角板的这条直角边把细线绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔尖所在的点P就描出了一条曲线.
(1)点P的轨迹是什么形状
【答案】抛物线.
(2)|PC|与|PF|之间有什么关系
【答案】相等.
(3)抛物线上任意一点P到点F和直线l的距离都相等吗
【答案】都相等.
2.观察教材第134页图3.3-2,直线l的方程为x=-(p>0),定点F的坐标为,0,设P(x,y),根据抛物线的定义可知|PF|=|PC|,则点P的轨迹方程是什么
【答案】y2=2px(p>0).
3.抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么
【答案】p的几何意义是焦点到准线的距离.
4.抛物线方程有几种形式
【答案】抛物线方程有四种形式,即y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,其中p>0.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. (　　)
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p. (　　)
(3)抛物线y=4x2的焦点坐标为(1,0). (　　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.抛物线y2=-8x的焦点坐标是(　　).
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
【答案】B
【解析】抛物线y2=-8x的焦点在x轴的负半轴上,且=2,因此焦点坐标是(-2,0).
3.若抛物线y2=16x上一点P的横坐标为4,则点P到抛物线焦点F的距离|PF|=(　　).
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C
【解析】因为2p=16,所以=4,所以|PF|=4+=4+4=8.
4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=　　　　.
【答案】±4
【解析】由已知,可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由抛物线的定义得2+=4,∴p=4,∴x2=-8y.将点M(m,-2)的坐标代入x2=-8y,得m2=16,∴m=±4.
【合作探究】
探究1：抛物线的定义
情境设置
　　问题1:在抛物线的定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗
【答案】不一定是抛物线.当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线,l不经过定点F时,点的轨迹是抛物线.
问题2:到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么
【答案】根据抛物线的定义,可以判断该轨迹是抛物线.
新知生成
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.
新知运用
例1　如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过点P作圆A的切线l,当rr≥|AB|变化时,l与圆B的公共点的轨迹是(　　).
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
【答案】D
【解析】
设切线l与圆B的公共点为M,过点A作直线AB的垂线m,过点M作MN⊥m,垂足为N,连接MB,如图,
则|MB|=r,|MN|=|PA|=r,所以|MB|=|MN|,即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的距离,且定点B不在定直线m上,根据抛物线的定义知,动点M的轨迹是以B为焦点,m为准线的抛物线.故选D.
巩固训练
若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(　　).
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
【答案】D
【解析】依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.
探究2：抛物线的标准方程
情境设置
　　问题1:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,小明给出下列三种建立坐标系求抛物线方程的方法,你认为哪一种坐标系求出的方程最简单
【答案】通过建立等式,化简得出方程并比较可得,建立图(3)中的坐标系求出的方程最简单.
问题2:你能根据图(3),推导出抛物线的标准方程吗
【答案】设P(x,y),|FK|=p,则焦点F,0,准线l:x=-.
由抛物线的定义可得=x+,两边平方并整理,可得y2=2px(p>0),这就是所求的轨迹方程.
问题3:抛物线的标准方程有什么特点
【答案】等号的一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一个变量的一次项.
问题4:若抛物线的焦点坐标为(2,0),则它的标准方程是什么
【答案】因为焦点在x轴正半轴上,所以设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其焦点坐标为,0,则=2,解得p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x.
新知生成
抛物线的标准方程
图象 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) F,0 x=-
y2=-2px(p>0) F-,0 x=
x2=2py(p>0) F0, y=-
x2=-2py(p>0) F0,- y=
　　特别提醒:(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程对应的图象的结构特征:顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向:抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
新知运用
例2　根据下列条件,分别求出抛物线的标准方程.
(1)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离为5;
(2)经过点(-3,-1);
(3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
方法指导　(1)先确定方程的形式→求出p→写方程;
(2)写出抛物线的方程→代入点的坐标求参数→写方程;
(3)写出焦点坐标→分情况讨论焦点位置→写方程.
【解析】(1)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(2)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p·(-3),解得p=.
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p·(-1),解得p=,
所以抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
(3)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.
所以抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
【方法总结】求抛物线标准方程的两种方法:(1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程;(2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m或n的值,进而写出抛物线的标准方程.
巩固训练
求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程.
(1)过点(-1,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
【解析】(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),
∵抛物线过点(-1,2),∴4=-2p·(-1)或(-1)2=2p·2,∴p=2或p=.
故所求的抛物线方程为y2=-4x或x2=y,
对应的准线方程分别为x=1,y=-.
(2)令y=0,得x=4,令x=0,得y=-2,∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).
当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),由=4,得p=8,此时抛物线方程为y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由=|-2|,得p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.
故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2.
探究3：抛物线定义及方程的应用
情境设置
　　问题:抛物线的定义有什么应用
【答案】(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线的定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)利用抛物线的定义可以解决最值问题.
新知生成
1.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故二者可相互转化,这也是利用抛物线的定义解题的实质.
2.解决与抛物线焦点、准线的距离有关的最值、定值问题时,首先要注意应用抛物线的定义进行转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如,两点之间线段最短;三角形三边间的不等关系;点与直线上点的连线中,垂线段最短等.
新知运用
例3　已知P是抛物线y2=-2x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线l的距离之和的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】如图,设点P在抛物线准线上的投影为点P',抛物线的焦点为F,则F-,0.
　　由抛物线的定义知,点P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|,
∴点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PM|≥|MF|==,故d的最小值为.
【方法总结】在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
巩固训练
1.已知F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=8,则线段MN的中点到准线的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.4 C.3 D.
【答案】B
【解析】∵F是抛物线y2=4x的焦点,∴F(1,0),准线方程为x=-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=8,解得x1+x2=6,∴线段MN的中点的横坐标为3,∴线段MN的中点到准线的距离为3+1=4.
2.已知F为抛物线y2=6x的焦点,P为抛物线y2=6x上的任意一点,点B(4,3),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】
如图,抛物线y2=6x的焦点为F,0,准线方程为l:x=-,作PN⊥l于点N,作BA⊥l于点A,∴|PB|+|PF|=|PB|+|PN|≥|AB|=4--=,当且仅当P为AB与抛物线的交点时取得等号,∴|PB|+|PF|的最小值为.
【随堂检测】
1.抛物线y2=2px(p>0)上的一点P(4,-8)到其焦点F的距离|PF|=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C
【解析】因为点P(4,-8)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以(-8)2=2p·4,解得p=8,所以该抛物线的方程为y2=16x,准线方程为x=-4,所以|PF|=4-(-4)=8.
2.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P(x0,3)到其焦点F的距离为5,则抛物线的标准方程为(　　).
A.x2=2y B.x2=6y
C.x2=4y D.x2=8y
【答案】D
【解析】由题意得,该抛物线的准线方程为y=-,∴点P到准线的距离为3+=5,解得p=4,∴抛物线的标准方程为x2=8y.
3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.
【答案】4
　　【解析】
过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,如图,
则|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
23.3.1　抛物线的标准方程
【学习目标】
1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.(数学抽象)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.(直观想象、数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.观察教材第133页图3.3-1,将一直尺固定在画图板内直线l的位置上,取一个直角三角板,以它的一条直角边靠紧直尺的一边l.在另一条直角边上取定点A,设三角板的直角顶点为C,再取一条长度正好等于AC的细线.现将这条细线的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用大头针固定在点F处,用一支铅笔扣着细线,紧靠着三角板的这条直角边把细线绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔尖所在的点P就描出了一条曲线.
(1)点P的轨迹是什么形状
(2)|PC|与|PF|之间有什么关系
(3)抛物线上任意一点P到点F和直线l的距离都相等吗
2.观察教材第134页图3.3-2,直线l的方程为x=-(p>0),定点F的坐标为,0,设P(x,y),根据抛物线的定义可知|PF|=|PC|,则点P的轨迹方程是什么
3.抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么
4.抛物线方程有几种形式
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. (　　)
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p. (　　)
(3)抛物线y=4x2的焦点坐标为(1,0). (　　)
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y. (　　)
2.抛物线y2=-8x的焦点坐标是(　　).
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
3.若抛物线y2=16x上一点P的横坐标为4,则点P到抛物线焦点F的距离|PF|=(　　).
A.12 B.10 C.8 D.6
4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=　　　　.
【合作探究】
探究1：抛物线的定义
情境设置
　　问题1:在抛物线的定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗
问题2:到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么
新知生成
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.
新知运用
例1　如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过点P作圆A的切线l,当rr≥|AB|变化时,l与圆B的公共点的轨迹是(　　).
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
巩固训练
若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(　　).
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
探究2：抛物线的标准方程
情境设置
　　问题1:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,小明给出下列三种建立坐标系求抛物线方程的方法,你认为哪一种坐标系求出的方程最简单
问题2:你能根据图(3),推导出抛物线的标准方程吗
问题3:抛物线的标准方程有什么特点
问题4:若抛物线的焦点坐标为(2,0),则它的标准方程是什么
新知生成
抛物线的标准方程
图象 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) F,0 x=-
y2=-2px(p>0) F-,0 x=
x2=2py(p>0) F0, y=-
x2=-2py(p>0) F0,- y=
　　特别提醒:(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程对应的图象的结构特征:顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向:抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
新知运用
例2　根据下列条件,分别求出抛物线的标准方程.
(1)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离为5;
(2)经过点(-3,-1);
(3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
方法指导　(1)先确定方程的形式→求出p→写方程;
(2)写出抛物线的方程→代入点的坐标求参数→写方程;
(3)写出焦点坐标→分情况讨论焦点位置→写方程.
【方法总结】求抛物线标准方程的两种方法:(1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程;(2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m或n的值,进而写出抛物线的标准方程.
巩固训练
求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程.
(1)过点(-1,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
探究3：抛物线定义及方程的应用
情境设置
　　问题:抛物线的定义有什么应用
新知生成
1.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,故二者可相互转化,这也是利用抛物线的定义解题的实质.
2.解决与抛物线焦点、准线的距离有关的最值、定值问题时,首先要注意应用抛物线的定义进行转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如,两点之间线段最短;三角形三边间的不等关系;点与直线上点的连线中,垂线段最短等.
新知运用
例3　已知P是抛物线y2=-2x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线l的距离之和的最小值为　　　　.
【方法总结】在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
巩固训练
1.已知F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=8,则线段MN的中点到准线的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.4 C.3 D.
2.已知F为抛物线y2=6x的焦点,P为抛物线y2=6x上的任意一点,点B(4,3),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.
【随堂检测】
1.抛物线y2=2px(p>0)上的一点P(4,-8)到其焦点F的距离|PF|=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P(x0,3)到其焦点F的距离为5,则抛物线的标准方程为(　　).
A.x2=2y B.x2=6y
C.x2=4y D.x2=8y
3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.
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