资源简介

3.3.2　抛物线的简单几何性质
【学习目标】
1.掌握抛物线的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(直观想象)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(数学运算)
3.对通径、焦半径公式进行初步探索.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
　　预习教材,类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图形,说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质.
1.抛物线y2=2px(p>0)中,x,y的范围是什么
【答案】x≥0,y∈R.
2.抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么 是否存在对称中心
【答案】对称轴为x轴,不存在对称中心.
3.抛物线的顶点坐标有几个 顶点坐标是什么
【答案】只有一个顶点,顶点坐标为(0,0).
4.抛物线的离心率是多少
【答案】e=1.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称. (　　)
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　　)
(3)虽然抛物线的标准方程各不相同,但是抛物线的离心率都相同. (　　)
(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】A
【解析】已知|AB|=4及AB⊥x轴,不妨设点A的纵坐标为2,代入y2=4x得点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2.又y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为1.
3.(多选题)对于抛物线x2=y,下列描述正确的是(　　).
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向上,焦点为0,
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y=-4
【答案】AC
【解析】由抛物线x2=y,即x2=8y,可知抛物线的开口向上,焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为4,准线方程为y=-2.
4.过抛物线y2=2x的焦点且与对称轴垂直的弦长为　　　　　　.
【答案】2
【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,0,对称轴是x轴,故经过点F且垂直于x轴的直线l的方程为x=,
由得或
即直线l:x=与抛物线的交点为A,1,B,-1,则|AB|=2,即所求弦长为2.
【合作探究】
探究1：抛物线的简单几何性质
情境设置
　　问题1:观察图形,你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗 从“数”的角度,也就是从抛物线方程的角度,怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢
【答案】通过观察图形,学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围,即x≥0,y∈R.在方程y2=2px,p>0中,y并无限制,因此y∈R.因为2px=y2≥0,且p>0,所以x≥0.
问题2:从“数”的角度,怎样说明抛物线y2=2px,p>0关于x轴对称
【答案】要说明抛物线关于x轴对称,只需要在抛物线上任取一点P(x0,y0),然后说明P(x0,y0)关于x轴的对称点P'(x0,-y0)也在抛物线上即可.
问题3:从“数”的角度,如何从方程中得到抛物线的顶点
【答案】在抛物线的方程中,y2=2px,p>0,令x=0,得y=0,即抛物线的顶点为(0,0).
问题4:从“数”的角度,如何得到抛物线的离心率
【答案】根据抛物线离心率的定义可知e=1.
新知生成
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e=1
新知运用
例1　已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
【解析】(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).
(2)
如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.
因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.
因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,
所以M(3,0).
设A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24,所以m=2或m=-2(舍去),
所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周长为2+4.
【方法总结】抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是取值范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.另外,要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
巩固训练
已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,求抛物线的方程.
【解析】由已知得,抛物线的焦点可能在x轴的正半轴上,也可能在x轴的负半轴上,
故可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0).
设抛物线与圆x2+y2=4的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴点A与点B关于x轴对称,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2,∴|y1|=|y2|=,代入圆的方程x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1,)或A(±1,-),代入抛物线方程y2=ax(a≠0),得()2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线的方程是y2=3x或y2=-3x.
探究2：直线与抛物线的位置关系
情境设置
　　问题1:若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切吗
【答案】直线与抛物线相切时,只有一个公共点,但是只有一个公共点时,直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
问题2:如何判断点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系
【答案】(1)点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)内部 <2px0;
(2)点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上 =2px0;
(3)点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)外部 >2px0.
新知生成
直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数,即一元二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.
当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若Δ=0,则直线与抛物线有一个公共点;若Δ<0,则直线与抛物线没有公共点.
当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.
新知运用
例2　已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k分别为何值时,直线l与抛物线C:①只有一个公共点;②有两个公共点;③没有公共点.
【解析】联立消去y,
得k2x2+(2k-4)x+1=0.　(*)
当k=0时,(*)式只有一个解为x=,
∴直线l与抛物线C只有一个公共点为,1,
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,
Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①当Δ=0,即k=1时,直线l与抛物线C有一个公共点,此时直线l与抛物线C相切;
②当Δ>0,即k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交;
③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与抛物线C相离.
综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;
当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;
当k>1时,l与C没有公共点.
【方法总结】判断直线与抛物线的位置关系的方法:联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于0时,直线与抛物线相交于一点.
巩固训练
若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.
【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,
所以方程组有唯一一组实数解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,
整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.　①
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.
令Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0或a=-.
当a=0时,原方程组有唯一解
当a=-时,原方程组有唯一解
综上,实数a的取值集合是-1,-,0.
探究3：与抛物线有关的弦长问题
情境设置
　　问题1:连接抛物线上一点A与焦点F的线段叫作抛物线的焦半径.你能否得到抛物线y2=2px(p>0)的焦半径公式
【答案】设点A(x1,y1),则|AF|=x1+.
问题2:你能否总结出y2=-2px(p>0)、x2=2py(p>0)、x2=-2py(p>0)三种抛物线的焦半径公式
【答案】设点A(x1,y1),开口向左:|AF|=-x1+.开口向上:|AF|=y1+.开口向下:|AF|=-y1+.
问题3:有一种特殊的焦点弦,它垂直于抛物线的对称轴,这种焦点弦叫作通径.你能否根据焦半径公式求出通径的长度
【答案】通径|AB|=2p.
新知生成
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l与抛物线相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)则焦半径|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.(α是直线AF的倾斜角)
3.抛物线的焦点弦
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
①y1y2=-p2,x1x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
③+=.
新知运用
例3　已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,
所以抛物线的方程是y2=8x.
(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
【方法总结】直线与抛物线相交的弦长问题:设直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式:|AB|=|x1-x2|.
　　(2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.
(3)“中点弦”问题的解题策略是点差法.
巩固训练
1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(法一)易知焦点F,0,
由题意可知,直线AB的方程为y=x-,
代入抛物线的方程可得4y2-12y-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=3,y1y2=-,
故S△OAB=××=.
(法二)易知抛物线中p=,焦点F,0,
直线AB的斜率k=,
故直线AB的方程为y=x-,
由抛物线的性质可得,弦长|AB|==12,
又点O到直线AB的距离d=·sin 30°=,
故S△OAB=|AB|·d=.
2.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线y=kx+2与抛物线C交于A,B两点,且|AF|·|BF|=25,则k的值为(　　).
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
【答案】A
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=kx+2代入x2=4y,
消去x得y2-(4+4k2)y+4=0,
所以y1+y2=4+4k2,y1y2=4,
抛物线C:x2=4y的准线方程为y=-1,
因为|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4+4k2+1=25,解得k=±2.
【随堂检测】
1.若过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,则这样的直线有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】B
【解析】因为点(2,4)在抛物线y2=8x上,所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=k(x+2)与抛物线C交于点A,B,其中点A的坐标为(1,2),则|FB|=(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】由点A(1,2)在抛物线C上得p=2,设B,t,由直线过定点(-2,0),得k==,解得t=4或t=2(舍去),即B(4,4),所以|FB|=4+=5.
3.已知抛物线y=ax2+1与直线y=x相切,则a=　　　　.
【答案】
　　【解析】由消去y,得ax2-x+1=0.
∵直线y=x与抛物线y=ax2+1相切,
∴方程ax2-x+1=0有两个相等的实根.
∴Δ=(-1)2-4a=0,∴a=.
4.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=　　　　.
【答案】3
【解析】(法一)设A为第一象限内的点,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,y1>0,
由题意可得F(2,0),|AF|=x1+2=6,
则x1=4,由=8x1,得y1=4,
所以kAB==2,
直线AB的方程为y=2(x-2),
将直线AB的方程代入y2=8x,化简得x2-5x+4=0,
解得x2=1,所以|BF|=x2+2=3.
(法二)由抛物线焦点弦的性质,可得+=,
所以=-=,可得BF=3.
23.3.2　抛物线的简单几何性质
【学习目标】
1.掌握抛物线的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(直观想象)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(数学运算)
3.对通径、焦半径公式进行初步探索.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
　　预习教材,类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图形,说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质.
1.抛物线y2=2px(p>0)中,x,y的范围是什么
2.抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么 是否存在对称中心
3.抛物线的顶点坐标有几个 顶点坐标是什么
4.抛物线的离心率是多少
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称. (　　)
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　　)
(3)虽然抛物线的标准方程各不相同,但是抛物线的离心率都相同. (　　)
(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　　)
2.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.5
3.(多选题)对于抛物线x2=y,下列描述正确的是(　　).
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向上,焦点为0,
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y=-4
4.过抛物线y2=2x的焦点且与对称轴垂直的弦长为　　　　　　.
【合作探究】
探究1：抛物线的简单几何性质
情境设置
　　问题1:观察图形,你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗 从“数”的角度,也就是从抛物线方程的角度,怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢
问题2:从“数”的角度,怎样说明抛物线y2=2px,p>0关于x轴对称
问题3:从“数”的角度,如何从方程中得到抛物线的顶点
问题4:从“数”的角度,如何得到抛物线的离心率
新知生成
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e=1
新知运用
例1　已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
【方法总结】抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是取值范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.另外,要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
巩固训练
已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,求抛物线的方程.
探究2：直线与抛物线的位置关系
情境设置
　　问题1:若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切吗
问题2:如何判断点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系
新知生成
直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数,即一元二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.
当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若Δ=0,则直线与抛物线有一个公共点;若Δ<0,则直线与抛物线没有公共点.
当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.
新知运用
例2　已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k分别为何值时,直线l与抛物线C:①只有一个公共点;②有两个公共点;③没有公共点.
【方法总结】判断直线与抛物线的位置关系的方法:联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于0时,直线与抛物线相交于一点.
巩固训练
若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.
探究3：与抛物线有关的弦长问题
情境设置
　　问题1:连接抛物线上一点A与焦点F的线段叫作抛物线的焦半径.你能否得到抛物线y2=2px(p>0)的焦半径公式
问题2:你能否总结出y2=-2px(p>0)、x2=2py(p>0)、x2=-2py(p>0)三种抛物线的焦半径公式
问题3:有一种特殊的焦点弦,它垂直于抛物线的对称轴,这种焦点弦叫作通径.你能否根据焦半径公式求出通径的长度
新知生成
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l与抛物线相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2)则焦半径|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.(α是直线AF的倾斜角)
3.抛物线的焦点弦
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
①y1y2=-p2,x1x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
③+=.
新知运用
例3　已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【方法总结】直线与抛物线相交的弦长问题:设直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式:|AB|=|x1-x2|.
　　(2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.
(3)“中点弦”问题的解题策略是点差法.
巩固训练
1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
2.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线y=kx+2与抛物线C交于A,B两点,且|AF|·|BF|=25,则k的值为(　　).
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
【随堂检测】
1.若过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,则这样的直线有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=k(x+2)与抛物线C交于点A,B,其中点A的坐标为(1,2),则|FB|=(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知抛物线y=ax2+1与直线y=x相切,则a=　　　　.
4.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=　　　　.
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