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3.4　曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.(数学抽象、直观想象)
2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(数学抽象、直观想象)
3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
　　曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y2=x与y=表示同一条曲线. (　　)
(2)过点P(x0,y0)且斜率为k的直线的方程是=k. (　　)
(3)已知曲线C的方程是f(x,y)=0,若点P(x0,y0)在曲线C上,则有f(x0,y0)=0. (　　)
(4)以A(0,1),B(1,0),C(-1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线所在直线的方程是x=0. (　　)
2.已知直线l:x+y-3=0及曲线C:(x-3)2+(y-2)2=2,则点M(2,1)(　　).
A.在直线l上,但不在曲线C上
B.在直线l上,也在曲线C上
C.不在直线l上,也不在曲线C上
D.不在直线l上,但在曲线C上
3.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足·=3,则点P的轨迹方程为　　　　　.
4.已知动点M(x,y)到定点F(3,0)的距离与到定直线l:x=的距离之比是常数,求动点M的轨迹.
【合作探究】
探究1：曲线与方程的概念
情境设置
　　问题:如何用集合法判断曲线与方程的关系
新知生成
　　一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
新知运用
例1　如果坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么(　　).
A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0
B.凡坐标不满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不满足方程f(x,y)=0
D.不在曲线C上的点的坐标有些满足方程f(x,y)=0,有些不满足方程f(x,y)=0
方法指导　由于题中方程f(x,y)=0与曲线C不是一一对应的,因此曲线C上的点的坐标未必都满足方程f(x,y)=0.
【方法总结】判断方程是否是曲线的方程的两个关键点:一是检验点的坐标是否满足方程;二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.
巩固训练
　　判断下列命题的真假,并说明原因.
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x.
(2)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1.
探究2：曲线方程的判定与证明
情境设置
　　问题:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么
新知生成
　　若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x0,y0)在曲线C上 f(x0,y0)=0;点P(x0,y0)不在曲线C上 f(x0,y0)≠0.
新知运用
例2　方程(2x+3y-5)(-1)=0表示的几何图形是什么
【方法总结】按照曲线方程定义的两个方面证明方程为曲线的轨迹方程,第一步需要按照求曲线方程的一般步骤来解,即设点——写出动点适合的集合——用坐标表示——化简方程;第二步证明以方程的解为坐标的点都在该曲线上.
巩固训练
　　关于方程x(x2+y2-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0,下列说法正确的是(　　).
A.都表示一条直线和一个圆
B.都表示两点
C.前者表示一条直线和一个圆,后者表示两点
D.前者表示两点,后者表示一条直线和一个圆
探究3：利用直接法求轨迹
情境设置
　　问题:求曲线的方程和求轨迹一样吗
新知生成
　　(1)建系:建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
(2)写集合:写出符合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.
(3)列方程:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.
(5)说明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.
新知运用
例3　已知点M(-1,0),N(1,0),且点P满足·,·,·成公差为负数的等差数列,求点P的轨迹方程.
方法指导　结合数量积的运算将·,·,·用点P的坐标(x,y)表示出来,然后再整理化简即可,但要注意限制条件“成公差为负数的等差数列”.
【方法总结】直接法求轨迹方程的常见类型及解题方法
(1)题中给出等量关系,求轨迹方程,直接代入即可得出方程.
(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程,可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.
巩固训练
　　已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.
【随堂检测】
1.方程|y|-1=表示的曲线是(　　).　　　　　 　　　　　　　　　　　　
A.两个半圆 B.两个圆
C.抛物线 D.一个圆
2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条曲线的交点P在方程x2+y2=9表示的曲线上,则实数k=(　　).
A.±3 B.0
C.±2 D.一切实数
3.给出下列结论:
①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;
②到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=-2;
③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.
正确的结论的序号是　　　　.
4.已知动点M与距离为2a的两个定点A,B的连线的斜率之积等于-,求动点M的轨迹方程.
23.4　曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.(数学抽象、直观想象)
2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(数学抽象、直观想象)
3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
　　曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么
【答案】如果(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y2=x与y=表示同一条曲线. (　　)
(2)过点P(x0,y0)且斜率为k的直线的方程是=k. (　　)
(3)已知曲线C的方程是f(x,y)=0,若点P(x0,y0)在曲线C上,则有f(x0,y0)=0. (　　)
(4)以A(0,1),B(1,0),C(-1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线所在直线的方程是x=0. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知直线l:x+y-3=0及曲线C:(x-3)2+(y-2)2=2,则点M(2,1)(　　).
A.在直线l上,但不在曲线C上
B.在直线l上,也在曲线C上
C.不在直线l上,也不在曲线C上
D.不在直线l上,但在曲线C上
【答案】B
【解析】将点M的坐标分别代入直线l和曲线C的方程,知点M在直线l上,也在曲线C上.
3.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足·=3,则点P的轨迹方程为　　　　　.
【答案】x-2y+3=0
【解析】由题意知,=(x,y),=(-1,2),则·=-x+2y.由·=3,得-x+2y=3,即点P的轨迹方程为x-2y+3=0.
4.已知动点M(x,y)到定点F(3,0)的距离与到定直线l:x=的距离之比是常数,求动点M的轨迹.
【解析】因为动点M(x,y)到定点F(3,0)和到定直线l:x=的距离之比是常数,
所以=,
两边平方并化简,得16x2+25y2=400,即+=1,
所以点M的轨迹是长轴长为10,短轴长为8的椭圆.
【合作探究】
探究1：曲线与方程的概念
情境设置
　　问题:如何用集合法判断曲线与方程的关系
【答案】若曲线是点集C,方程f(x,y)=0的解集为F,则曲线和方程概念中的两个条件可以表示为①C F;②F C.
所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是说明这两个集合相等,这是判断方程是否为所给曲线的方程,曲线是否为所给方程的曲线的标准.
新知生成
　　一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
新知运用
例1　如果坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么(　　).
A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0
B.凡坐标不满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不满足方程f(x,y)=0
D.不在曲线C上的点的坐标有些满足方程f(x,y)=0,有些不满足方程f(x,y)=0
方法指导　由于题中方程f(x,y)=0与曲线C不是一一对应的,因此曲线C上的点的坐标未必都满足方程f(x,y)=0.
【答案】C
【解析】满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,但曲线C上的点的坐标不一定都满足方程f(x,y)=0,故A不正确;坐标不满足方程f(x,y)=0的点,也可能在曲线C上,故B不正确;因为满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,所以不在曲线C上的点必不满足方程f(x,y)=0,故C正确,D不正确.
【方法总结】判断方程是否是曲线的方程的两个关键点:一是检验点的坐标是否满足方程;二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.
巩固训练
　　判断下列命题的真假,并说明原因.
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x.
(2)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1.
【解析】(1)假命题.因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线,即l1:y=x和l2:y=-x.
直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解,而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y=x的解.
这显然和曲线与方程关系中的条件“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”不相符.
(2)假命题.由题意可知,动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(除去A,B两点),
因此尽管动点C的坐标都满足方程x2+y2=1,但以方程x2+y2=1的解为坐标的点不一定都在动点C的轨迹上.
探究2：曲线方程的判定与证明
情境设置
　　问题:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么
【答案】若点P在曲线C上,则f(x0,y0)=0;若f(x0,y0)=0,则点P在曲线C上.所以点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
新知生成
　　若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x0,y0)在曲线C上 f(x0,y0)=0;点P(x0,y0)不在曲线C上 f(x0,y0)≠0.
新知运用
例2　方程(2x+3y-5)(-1)=0表示的几何图形是什么
方法指导　本例中两代数式的积为零包含2x+3y-5=0或-1=0,求解含根式的问题必须使根式有意义.
【解析】因为(2x+3y-5)(-1)=0,所以可得或-1=0,即2x+3y-5=0(x≥3)或x=4,故方程表示的几何图形为一条射线2x+3y-5=0(x≥3)和一条直线x=4.
【方法总结】按照曲线方程定义的两个方面证明方程为曲线的轨迹方程,第一步需要按照求曲线方程的一般步骤来解,即设点——写出动点适合的集合——用坐标表示——化简方程;第二步证明以方程的解为坐标的点都在该曲线上.
巩固训练
　　关于方程x(x2+y2-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0,下列说法正确的是(　　).
A.都表示一条直线和一个圆
B.都表示两点
C.前者表示一条直线和一个圆,后者表示两点
D.前者表示两点,后者表示一条直线和一个圆
【答案】C
【解析】x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2=1,则方程x(x2+y2-1)=0表示直线x=0和以(0,0)为圆心,1为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0 则方程x2+(x2+y2-1)2=0表示点(0,1),(0,-1).
探究3：利用直接法求轨迹
情境设置
　　问题:求曲线的方程和求轨迹一样吗
【答案】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置以及大小都需说明、讨论清楚.
新知生成
　　(1)建系:建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
(2)写集合:写出符合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.
(3)列方程:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.
(5)说明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.
新知运用
例3　已知点M(-1,0),N(1,0),且点P满足·,·,·成公差为负数的等差数列,求点P的轨迹方程.
方法指导　结合数量积的运算将·,·,·用点P的坐标(x,y)表示出来,然后再整理化简即可,但要注意限制条件“成公差为负数的等差数列”.
【解析】设点P(x,y),由M(-1,0),N(1,0),得=(x+1,y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(x-1,y),=(2,0),=(-2,0).
　　所以·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).
又因为·,·,·成公差为负数的等差数列,
所以x2+y2-1=[2(1+x)+2(1-x)],且2(1-x)-2(1+x)<0,
所以x2+y2=3(x>0).
故点P的轨迹方程为x2+y2=3(x>0).
【方法总结】直接法求轨迹方程的常见类型及解题方法
(1)题中给出等量关系,求轨迹方程,直接代入即可得出方程.
(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程,可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.
巩固训练
　　已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.
【解析】
如图,设动圆圆心O1的坐标为(x,y).由题意,得|O1A|=|O1M|.
当点O1不在y轴上时,过点O1作O1H⊥MN于点H,则H是MN的中点,
∴|O1M|2=|O1A|2=|O1H|2+|MH|2,即(x-4)2+y2=42+x2,
化简得y2=8x(x≠0).
当点O1在y轴上时,点O1与点O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
【随堂检测】
1.方程|y|-1=表示的曲线是(　　).　　　　　 　　　　　　　　　　　　
A.两个半圆 B.两个圆
C.抛物线 D.一个圆
【答案】A
【解析】当y≥1时,(x-1)2+(y-1)2=1,
当y≤-1时,(x-1)2+(y+1)2=1,
∴该方程表示的曲线为两个半圆.故选A.
2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条曲线的交点P在方程x2+y2=9表示的曲线上,则实数k=(　　).
A.±3 B.0
C.±2 D.一切实数
【答案】A
【解析】由得
∴交点P的坐标为(0,-k),
又交点P在方程x2+y2=9表示的曲线上,
∴k2=9,解得k=±3.故选A.
3.给出下列结论:
①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;
②到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=-2;
③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.
正确的结论的序号是　　　　.
【答案】③
【解析】方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线且除去点(2,0),故①错误;到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,故②错误;方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2),故③正确.
4.已知动点M与距离为2a的两个定点A,B的连线的斜率之积等于-,求动点M的轨迹方程.
【解析】
如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).
设M(x,y)为轨迹上任意一点,则kMA=,kMB=(x≠±a).
∵kMA·kMB=-,∴·=-,
化简得 x2+2y2=a2(x≠±a),
∴动点M的轨迹方程为x2+2y2=a2(x≠±a).
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