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3.5　圆锥曲线的应用
【学习目标】
1.了解圆锥曲线的发展和应用.(数学抽象)
2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现.(数学建模、数学运算)
【合作探究】
探究1：天体运动的轨道
例1　如图, “天宫三号”的运行轨道是以地心(地球的中心)F为其中一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距离地面n千米,并且F,A,B在同一条直线上,地球的半径为R千米,则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为(　　 )千米.
A.2mn B.
C.mn D.2
【方法总结】开普勒行星运动定律激发了人们更深入的思考.牛顿根据开普勒定律得出万有引力定律,人们按照万有引力定律可以推出,太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨
道上运行,而某些天体的运行速度若增大到某种程度,则它就将会沿抛物线或双曲线运行.
巩固训练
　　人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1,r2,则卫星轨道的离心率等于(　　 ).
A. B.
C. D.
探究2：斜抛物体的轨迹
例2　公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米,如果不计其他因素,那么为了使喷出的水流不致落到池外,水池的半径至少为(　　)米.
A.1　　　　B.2　　　　C.2.5　　　　D.4
【方法总结】运动场上推出的铅球、投出的篮球,都是斜抛物体,它们的运动轨迹近似于抛物线.喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体,水柱的形状也接近于抛物线.
巩固训练
　　跳水运动员在进行10 m跳台跳水比赛时,身体(看成一点)在空中的运动路线为经过原点O的一条抛物线(如图所示,图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 m,入水处距池边的距离为4 m,同时,运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m,问此次跳水会不会失误 并通过计算说明理由.
(3)要使此次跳水不至于失误,且该运动员按(1)中抛物线运行,则运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少
探究3：光学性质及其应用
例3　圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关.如:从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的对称轴.某市进行科技展览,其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于x轴对称,且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点,F1,F2,为椭圆C2的焦点,同时F1也为抛物线C1的焦点,其中椭圆C2的短轴长为2,在焦点F2处放置一个光源,其中一条光线经过椭圆C2两次反射后再次回到焦点F2,经过的路程为8.经过焦点F2照射的某些光线经椭圆C2反射后穿过小孔,再由抛物线C1反射之后不会被椭圆挡住.
(1)求抛物线C1的方程;
(2)若过焦点F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔,再经抛物线C1上的点Q反射后刚好与椭圆C2相切,求此时的线段QF1的长;
(3)在(2)的条件下,求线段PQ的长.
【方法总结】(1)椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面.以旋转椭球面做反射镜时,从它的一个焦点F1发射的光线,经过椭球面的反射后,都聚集在另一个焦点F2处.(2)双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面.从旋转双曲面的一个焦点F2发射的光线,经过旋转双曲面的反射,会使得光线散开,而且光线就好像是从另一个焦点F1发射出来的一样.(3)抛物线绕着它的对称轴旋转一周形成一个旋转抛物面,将光源放在焦点F 处,光源发出的光线,经过旋转抛物面反射后,成为一束平行于对称轴的光线.在根据光的可逆性,当旋转抛物面的轴与光线平行时,光线经反射后集中于焦点处.
巩固训练
　　圆锥曲线有良好的光学性质,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1);光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2).封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发,经过点F2,然后在曲线E内多次反射,反射点依次为P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,则光线从P0到P4所经过的路程为　　　　.
探究4：圆锥曲线在现代建筑中的体现
例4　第24届冬季奥林匹克运动会,已于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行.北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.根据安排,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”(离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”).如图2,由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,若两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为(　　 ).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【方法总结】圆锥曲线广泛存在于现实世界,它线型简洁美观而富有张力,同时还具有某些很好的力学性质,故而被建筑设计师们推崇并选用.如鸟巢、国家大剧院的设计等.
巩固训练
　　伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶,该赛车馆是数学与建筑完美结合所造就的艺术品,如图所示,若将双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C:-x2=1(a>0)上支的一部分,F是双曲线C的下焦点,P为双曲线C上支上的动点,则|PF|与点P到双曲线C的一条渐近线的距离之和的最小值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【随堂检测】
1.“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为“天河基地”.如图所示,这是“嫦娥四号”运行轨道示意图.圆形轨道距月球表面100 km,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15 km,则椭圆形轨道的焦距为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.85 km B.42.5 km C.50 km D.100 km
2.许多建筑融入数学元素后变得更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑如图1所示,其中截面最细附近处的部分图象如图2所示,上、下底面与地面平行.现测得下底直径|AB|=20米,上底直径CD=20 米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径长度等于|CD|,则最细部分处的直径为(　　).
A.10米 B.20米 C.10 米　 D.10 米
3.圆锥曲线有丰富的光学性质,从椭圆焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(3,1),由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
23.5　圆锥曲线的应用
【学习目标】
1.了解圆锥曲线的发展和应用.(数学抽象)
2.掌握圆锥曲线在天体运行轨道、斜抛物体轨迹、光学性质以及现代建筑中的应用与体现.(数学建模、数学运算)
【合作探究】
探究1：天体运动的轨道
例1　如图, “天宫三号”的运行轨道是以地心(地球的中心)F为其中一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距离地面n千米,并且F,A,B在同一条直线上,地球的半径为R千米,则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为(　　 )千米.
A.2mn B.
C.mn D.2
【答案】D
【解析】由题设条件可得|FB|=n+R,|FA|=R+m,
设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,则a+c=n+R,a-c=R+m,
故短半轴长为b==,
所以短轴长为2.
【方法总结】开普勒行星运动定律激发了人们更深入的思考.牛顿根据开普勒定律得出万有引力定律,人们按照万有引力定律可以推出,太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在椭圆轨
道上运行,而某些天体的运行速度若增大到某种程度,则它就将会沿抛物线或双曲线运行.
巩固训练
　　人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1,r2,则卫星轨道的离心率等于(　　 ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为椭圆的离心率e=∈(0,1),
由题意结合图形可知,a=,c=|OF1|=-r1-R=,
所以e===.
探究2：斜抛物体的轨迹
例2　公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米,如果不计其他因素,那么为了使喷出的水流不致落到池外,水池的半径至少为(　　)米.
A.1　　　　B.2　　　　C.2.5　　　　D.4
【答案】C
【解析】如
图,以抛物线的顶点M为坐标原点,建立平面直角坐标系,水柱与水面的交点为B.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点A在抛物线上,由A(-1,-1),得(-1)2=-2p·(-1),解得p=,则抛物线方程为x2=-y.
设B(x0,-2.25),则=2.25,又x0>0,解得x0=1.5,
则水池半径为1+1.5=2.5米,
所以水池的半径至少为2.5米.
【方法总结】运动场上推出的铅球、投出的篮球,都是斜抛物体,它们的运动轨迹近似于抛物线.喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体,水柱的形状也接近于抛物线.
巩固训练
　　跳水运动员在进行10 m跳台跳水比赛时,身体(看成一点)在空中的运动路线为经过原点O的一条抛物线(如图所示,图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 m,入水处距池边的距离为4 m,同时,运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m,问此次跳水会不会失误 并通过计算说明理由.
(3)要使此次跳水不至于失误,且该运动员按(1)中抛物线运行,则运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少
【解析】(1)在给定的平面直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
由题意知,O,B两点的坐标分别为(0,0),(2,-10),且顶点A的纵坐标为,
则有
　　解得或
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴->0.
又抛物线的图象开口向下,
∴a<0,∴b>0,
∴a=-,b=,c=0.
∴抛物线的解析式为y=-x2+x.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 m,即x=-2=时,
y=-×2+×=-,
此时运动员距水面的高为10-= m<5 m.
因此,此次跳水会出现失误.
(3)当运动员在x轴上方,即y>0的区域内完成动作并做好入水姿势时,当然不会失误,但很难做到.
当y≤0,即x≥时,要使跳水不出现失误,则应有|y|≤10-5,得-y≤5,得x2-x≤5,解得≤x≤.
此时,运动员距池边的距离至多为2+= m.
探究3：光学性质及其应用
例3　圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关.如:从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的对称轴.某市进行科技展览,其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于x轴对称,且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点,F1,F2,为椭圆C2的焦点,同时F1也为抛物线C1的焦点,其中椭圆C2的短轴长为2,在焦点F2处放置一个光源,其中一条光线经过椭圆C2两次反射后再次回到焦点F2,经过的路程为8.经过焦点F2照射的某些光线经椭圆C2反射后穿过小孔,再由抛物线C1反射之后不会被椭圆挡住.
(1)求抛物线C1的方程;
(2)若过焦点F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔,再经抛物线C1上的点Q反射后刚好与椭圆C2相切,求此时的线段QF1的长;
(3)在(2)的条件下,求线段PQ的长.
【解析】(1)设椭圆C2的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
由题意可知,2b=2,4a=8,解得b=,a=2,则c==1,
故抛物线C1的焦点F1的坐标为(1, 0),即抛物线C1的方程为y2=4x.
(2)因为光线经过抛物线C1的焦点,所以光线经过抛物线C1反射后平行于x轴,所以点Q的纵坐标为,故设Q(x0,),代入抛物线C1的方程,解得x0=,即Q,,
又F1(1, 0),故|QF1|==.
(3)由(2)知==-4,即tan∠QF1F2=-4,
又∠QF1F2+∠PF1F2=π,所以tan∠PF1F2=4,
又∠PF1F2∈(0,π),所以cos∠PF1F2=.
设|PF1|=x,|PF2|=4-x,又|F1F2|=2,在△PF1F2中,由余弦定理知,
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2,
即(4-x)2=x2+4-2x·2×,解得x=.
故线段PQ的长为+=.
【方法总结】(1)椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面.以旋转椭球面做反射镜时,从它的一个焦点F1发射的光线,经过椭球面的反射后,都聚集在另一个焦点F2处.(2)双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面.从旋转双曲面的一个焦点F2发射的光线,经过旋转双曲面的反射,会使得光线散开,而且光线就好像是从另一个焦点F1发射出来的一样.(3)抛物线绕着它的对称轴旋转一周形成一个旋转抛物面,将光源放在焦点F 处,光源发出的光线,经过旋转抛物面反射后,成为一束平行于对称轴的光线.在根据光的可逆性,当旋转抛物面的轴与光线平行时,光线经反射后集中于焦点处.
巩固训练
　　圆锥曲线有良好的光学性质,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1);光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2).封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发,经过点F2,然后在曲线E内多次反射,反射点依次为P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,则光线从P0到P4所经过的路程为　　　　.
【答案】4
【解析】设椭圆C1的长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1,双曲线C2的实半轴长为a2,虚半轴为b2,半焦距为c2,则a1=4,b1=2,c1=2,双曲线a2=3,b2=,c2=2,
所以椭圆C1和双曲线C2的焦点重合.
根据双曲线的定义有|P1F1|-|P1F2|=6,|P3F1|-|P3F2|=6,
所以|P1F1|-6=|P1F2|,　①
|P3F1|-6=|P3F2|,　②
根据椭圆的定义有|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|=8,|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|=8,
所以光线从P0到P4所经过的路程为|P0F2|+|P1F2|+|P1P2|+|P2F2|+|P3F2|+|P3P0|=|P0F2|+|P1F1|-6+|P1P2|+|P2F2|+|P3F1|-6+|P3P0|=(|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|)+(|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|)-12=8+8-12=4.
探究4：圆锥曲线在现代建筑中的体现
例4　第24届冬季奥林匹克运动会,已于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行.北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.根据安排,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示,内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”(离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”).如图2,由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,若两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为(　　 ).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设内层椭圆的方程为+=1(a>b>0),
因为内外层的椭圆的离心率相同,所以可设外层椭圆的方程为+=1(m>1),切线AC的方程为y=k1(x+ma).
联立方程组整理得(b2+a2)x2+2ma3x+m2a4-a2b2=0,
由Δ=(2ma3)2-4(b2+a2)(m2a4-a2b2)=0,整理得=·.
设切线BD的方程为y=k2x+mb,则同理可得=·(m2-1).
因为两切线斜率之积等于-,可得·=···(m2-1)==-2,
即=,所以离心率e===.故选C.
【方法总结】圆锥曲线广泛存在于现实世界,它线型简洁美观而富有张力,同时还具有某些很好的力学性质,故而被建筑设计师们推崇并选用.如鸟巢、国家大剧院的设计等.
巩固训练
　　伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶,该赛车馆是数学与建筑完美结合所造就的艺术品,如图所示,若将双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C:-x2=1(a>0)上支的一部分,F是双曲线C的下焦点,P为双曲线C上支上的动点,则|PF|与点P到双曲线C的一条渐近线的距离之和的最小值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】依题意,双曲线C:-x2=1(a>0)的离心率为,可得1+=,解得a=2,
则双曲线C的方程为-x2=1,
故下焦点为F(0,-),上焦点为F'(0,),渐近线方程为x=±y.
根据图形的对称性,如图所示,不妨取渐近线方程为l:x=y,即y=2x,
∵P为双曲线C上支上的动点,
∴|PF|=2a+|PF'|=4+|PF'|.
过点P作PQ⊥l,垂足为Q,过点F'作F'M⊥l,垂足为M,
则|PF|+|PQ|=4+|PF'|+|PQ|≥4+|F'M|=4+=4+1=5,
∴|PF|与点P到双曲线C的一条渐近线的距离之和的最小值为5.
故选D.
【随堂检测】
1.“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为“天河基地”.如图所示,这是“嫦娥四号”运行轨道示意图.圆形轨道距月球表面100 km,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15 km,则椭圆形轨道的焦距为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.85 km B.42.5 km C.50 km D.100 km
【答案】A
【解析】设长半轴长为a,半焦距为c,月球半径为r,则两式相减得2c=85,即椭圆形轨道的焦距为85 km.故选A.
2.许多建筑融入数学元素后变得更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑如图1所示,其中截面最细附近处的部分图象如图2所示,上、下底面与地面平行.现测得下底直径|AB|=20米,上底直径CD=20 米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径长度等于|CD|,则最细部分处的直径为(　　).
A.10米 B.20米 C.10 米　 D.10 米
【答案】B
【解析】取
DC的中点H,以GH的中点O为原点,建立平面直角坐标系,如图.
由题意可知C(10,20),B(10,-60).
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
将C,B两点的坐标代入得
解得
则|EF|=2a=20.
故选B.
3.圆锥曲线有丰富的光学性质,从椭圆焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(3,1),由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】+=1
【解析】依题意,抛物线C1:y2=16x的焦点为(4, 0),又光的反射具有可逆性,
则由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反射经过点(-4,0),因此,(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点,半焦距c=4,又点(3,1)在椭圆C上,于是得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
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