资源简介

4.1　两个计数原理
【学习目标】
1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象)
2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象)
3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,此时能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法
【答案】能,是分类计数法和分步计数法.
2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求
【答案】使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准,每一种方法必须属于某一类方法,不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”.
3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求
【答案】使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事,单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事,是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步之间必须连续,只有按照这几步逐步去做,才能完成这件事,各步之间不能重复也不能遗漏.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. (　　)
(2)在分类加法原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. (　　)
(3)在分步乘法原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (　　)
(4)在分步乘法原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船.某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.26 B.60 C.18 D.1080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知,有5+12+3+6=26(种)不同走法.
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为　　　　.
【答案】12
【解析】要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件上衣中任选1件,有4种不同选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选1条,有3种不同选法.由分步乘法计数原理知,共有4×3=12(种)不同的配法.
4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有　　　　项.
【答案】10
【解析】多项式的展开式共有3×2+2×2=10(项).
【合作探究】
探究1：分类加法计数原理
情境设置
　　问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码
【答案】因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36(种)不同的号码.
问题2:在1,2,3,4四个数字中任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和有多少种
【答案】第一类,取两个数,则1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5种.
第二类,取三个数,则1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2种.
第三类,取四个数,则1+2+3+4=10,共1种.
故取出这些数得到不同的和有5+2+1=8(种).
问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗
【答案】解决以上问题的步骤如下:
(1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交;
(2)求每一类中的方法数;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
新知生成
1.分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,且每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法,我们把这叫作分类加法计数原理,简称为分类计数原理,或加法原理.
注意:完成这件事的若干种方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交.
2.使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,分别属于不同类的两种方法是不同的方法,满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.
新知运用
例1　(1)某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元,笔记本的单价为5元,且笔至少要买2支,笔记本至少要买2本,问不同的购买方案有多少种
(2)在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个
【解析】(1)设购买笔x支,笔记本y本,
则得
将y的取值分为三类:
①当y=2时,2≤x≤5,因为x为整数,
所以x可取2,3,4,5,共有4种方案.
②当y=3时,2≤x≤,因为x为整数,
所以x可取2,3,共有2种方案.
③当y=4时,2≤x≤,因为x为整数,
所以x只能取2,只有1种方案.
由分类加法计数原理得不同的购买方案有4+2+1=7(种).
(2)设个位数字为m,十位数字为n,且m当m=0时,n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,有9个;
当m=1时,n=2,3,4,5,6,7,8,9,有8个;
当m=2时,n=3,4,5,6,7,8,9,有7个;
…
当m=8时,n=9,有1个.
由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个).即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.
【变式探究】将本例(2)中的“小于”改为“大于”,其他条件不变,两位数共有多少个 若把“小于”改为“不大于”,怎样求解
【解析】当把“小于”改为“大于”时,设个位数字为m,十位数字为n,且m>n.当m=2时,n=1,有1个;当m=3时,n=2,1,有2个;当m=4时,n=3,2,1,有3个;…;当m=9时,n=8,7,6,5,4,3,2,1,有8个.所以这样的两位数共有1+2+3+…+8=36(个).
把“小于”改为“不大于”时,因为所有两位数共有90个,而个位数字大于十位数字的两位数有36个,所以个位数字不大于十位数字的两位数有90-36=54(个).
【方法总结】利用分类加法计数原理计数时的解题流程
警示:确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事.
巩固训练
　　设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈
{1,2,3,4,5},b∈,求满足上述条件的椭圆的个数.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以b>a,
则当a=1时,b可取2,3,4,5,6,7,有6种取法;
当a=2时,b可取3,4,5,6,7,有5种取法;
当a=3时,b可取4,5,6,7,有4种取法;
当a=4时,b可取5,6,7,有3种取法;
当a=5时,b可取6,7,有2种取法.
由分类加法计数原理知,共有6+5+4+3+2=20(个)满足条件的椭圆.
探究2：分步乘法计数原理
情境设置
　　如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动.
问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条
【答案】由题意可知,E→F共有6种走法.
问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条
【答案】由题意可知,E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18(种)走法.
新知生成
分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.我们把这叫作分步乘法计数原理,简称为分步计数原理,或乘法原理.
新知运用
例2　已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点
(2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点
(3)P(a,b)可表示多少个不在直线y=x上的点
方法指导　确定点P,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标,故用分步乘法计数原理求解.
　　【解析】(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种方法;第二步确定b的值,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,得到P(a,b)可表示平面上6×6=36(个)不同的点.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,因为a<0,所以有3种方法;第二步确定b,因为b>0,所以有2种方法.由分步乘法计数原理,得到P(a,b)可表示平面上3×2=6(个)第二象限的点.
(3)分两步:第一步确定a,有6种方法;第二步确定b,有5种方法.根据分步乘法计数原理,得到不在直线y=x上的点共有6×5=30(个).
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)将完成这件事的过程分成若干步;
(2)求出每一步中的方法数;
(3)将每一步中的方法数相乘得最终结果.
巩固训练
　　已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F这6个字母中的1个,数字可以是1,2,…,9这9个数字中的1个,那么共有多少种不同的编号
【解析】根据题意,分两步完成:
第一步,从6个英文字母中选1个,有6种方法;
第二步,从9个数字中选1个,有9种方法.
根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×9=54.
所以共有54种不同的编号.
探究3：两个计数原理的综合应用
情境设置
　　问题:如何区分“完成一件事”需要分类还是分步
【答案】区分“完成一件事”是需要分类还是分步,关键是看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
新知生成
　　两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事 针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事
新知运用
例3　通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成,第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中,序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌
【解析】由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.
(1)当没有字母时,序号的每一位都是数字,确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,这类号牌的张数为10×10×10×10×10=100000.
(2)当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×10×10×10×10=240000.
　　同理,其余四个子类号牌也各有240000张.
根据分类加法计数原理,这类号牌的张数共有240000×5=1200000.
(3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位,各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×24×10×10×10=576000,同理,其余九个子类号牌也各有576000张.
根据分类加法计数原理,号牌的张数为576000×10=5760000.
综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理,这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为100000+1200000+5760000=7060000.
【方法总结】利用两个计数原理解题时的三个注意点:(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.(2)分类时标准要明确,应做到不重、不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.(3)混合问题一般是先分类再分步.
巩固训练
　　现有高二四个班的学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.若推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
【解析】分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.
所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
【随堂检测】
1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.16 C.13 D.10
【答案】C
【解析】分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理,共可以确定8+5=13(个)不同的平面.
2.有3名大学生志愿者,每人从2个不同的社区中选择1个进行服务,则不同的选择方法共有(　　).
A.12种 B.9种 C.8种 D.6种
【答案】C
【解析】每名大学生志愿者都有2种不同的选择方法,根据分步乘法计数原理可知,不同的选择方法共有23=8(种).
3.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有　　　　　种.
　　【答案】13
【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类:
第一类,脱落1个,有1,4,共2种;
第二类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;
第三类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;
第四类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.
根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的不同情况.
4.如图,提供4种不同的颜色给图中A,B,C,D 四块区域涂色,若相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有　　　　　 种.
【答案】48
【解析】先对B 区域涂色,共有4种不同的涂法,再对D 区域涂色,共有3种不同的涂法,再对A 区域涂色,共有2种不同的涂法,最后对C 区域涂色,共有2种不同的涂法.根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有4×3×2×2=48(种).
24.1　两个计数原理
【学习目标】
1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象)
2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象)
3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,此时能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法
2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求
3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. (　　)
(2)在分类加法原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. (　　)
(3)在分步乘法原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (　　)
(4)在分步乘法原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. (　　)
2.已知从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船.某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.26 B.60 C.18 D.1080
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为　　　　.
4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有　　　　项.
【合作探究】
探究1：分类加法计数原理
情境设置
　　问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码
问题2:在1,2,3,4四个数字中任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和有多少种
问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗
新知生成
1.分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,且每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法,我们把这叫作分类加法计数原理,简称为分类计数原理,或加法原理.
注意:完成这件事的若干种方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交.
2.使用分类加法计数原理计数的两个条件
(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,在这个标准下进行分类.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,分别属于不同类的两种方法是不同的方法,满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.
新知运用
例1　(1)某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元,笔记本的单价为5元,且笔至少要买2支,笔记本至少要买2本,问不同的购买方案有多少种
(2)在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个
【变式探究】将本例(2)中的“小于”改为“大于”,其他条件不变,两位数共有多少个 若把“小于”改为“不大于”,怎样求解
【方法总结】利用分类加法计数原理计数时的解题流程
警示:确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事.
巩固训练
　　设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈
{1,2,3,4,5},b∈,求满足上述条件的椭圆的个数.
探究2：分步乘法计数原理
情境设置
　　如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动.
问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条
问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条
新知生成
分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.我们把这叫作分步乘法计数原理,简称为分步计数原理,或乘法原理.
新知运用
例2　已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点
(2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点
(3)P(a,b)可表示多少个不在直线y=x上的点
方法指导　确定点P,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标,故用分步乘法计数原理求解.
　
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)将完成这件事的过程分成若干步;
(2)求出每一步中的方法数;
(3)将每一步中的方法数相乘得最终结果.
巩固训练
　　已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F这6个字母中的1个,数字可以是1,2,…,9这9个数字中的1个,那么共有多少种不同的编号
探究3：两个计数原理的综合应用
情境设置
　　问题:如何区分“完成一件事”需要分类还是分步
【答案】区分“完成一件事”是需要分类还是分步,关键是看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
新知生成
　　两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事 针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事
新知运用
例3　通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成,第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中,序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌
【方法总结】利用两个计数原理解题时的三个注意点:(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.(2)分类时标准要明确,应做到不重、不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.(3)混合问题一般是先分类再分步.
巩固训练
　　现有高二四个班的学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.若推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
【随堂检测】
1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.16 C.13 D.10
2.有3名大学生志愿者,每人从2个不同的社区中选择1个进行服务,则不同的选择方法共有(　　).
A.12种 B.9种 C.8种 D.6种
3.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有　　　　　种.
　
4.如图,提供4种不同的颜色给图中A,B,C,D 四块区域涂色,若相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有　　　　　 种.
2

展开更多......

收起↑