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4.2　课时1　排列与排列数公式
【学习目标】
1.理解排列和排列数的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.(逻辑推理)
2.能够用列举法、树状图求排列的方法种数.(直观想象)
3.理解排列数公式及简单应用.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.甲、乙、丙3名同学排成一行照相,共有多少种排法
【答案】根据分步乘法计数原理,3名同学排成一行照相,共有N=3×2×1=6(种)排法.
2.北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航,请列举岀所有机票(直达)的情况,并指出共有多少种机票情况.
【答案】由列举法列出,如图所示:
根据分步乘法计数原理,共有4×3=12(种)机票.
3.前面两个问题中的元素是如何排列的
【答案】这些问题都是对给定的n个元素或者其中的一些元素,按照一定的顺序进行排列.
4.若两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列吗
【答案】不是,因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺序也相同.
5.什么是排列数
【答案】从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
6.排列数公式有什么应用
【答案】排列数公式=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点,从n起连续写出m个数的乘积即可.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. (　　)
(2)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列. (　　)
(3)用a,b,c构成的所有不同排列的个数为3. (　　)
(4)89×90×91×…×100可以表示为. (　　)
　　【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知=132,则n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】∵=n(n-1)=132,∴n=12.
3.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人1本,则不同的送书方法的种数为(　　).
A.5 B.10 C.20 D.60
【答案】C
【解析】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有=20(种)不同的送书方法.
4.从-1,0,1,2,3五个数字中任取三个组成空间直角坐标系中一个点的坐标,试用画树形图的方法求这样的点有多少个
【解析】按“横”“纵”“竖”坐标的顺序确定点的坐标,画出横坐标为-1的点的坐标对应的树形图如图所示:
由图可知点的坐标为
(-1,0,1),(-1,0,2),(-1,0,3),
(-1,1,0),(-1,1,2),(-1,1,3),
(-1,2,0),(-1,2,1),(-1,2,3),
(-1,3,0),(-1,3,1),(-1,3,2),
共有4×3=12(个)点,
类比可知,横坐标为0,1,2,3的点也各有12个,所以共有5×12=60(个)点.
【合作探究】
探究1：排列的概念
情境设置
　　问题1:已知密码开关由四个元件构成,每个元件要五选一,也就是有625种可能.请问625是怎么得来的
【答案】开密码锁可以分为四个步骤,每一个步骤都有5种可能,总共四个步骤就有54=625(种)不同的可能.
问题2:宣城市与黄山市在地图上相邻,为了区分两者的地界,在红、黄、蓝三种颜料中取两种颜料,一种涂在黄山市地图上,一种涂在宣城市地图上,一共有多少种方法
【答案】完成涂色只需要分两个步骤,第一步先给黄山市涂色, 有三种颜色可供选择,第二步给宣城市涂色,这里还剩两种颜色可选择,由分步乘法计数原理可知共有3×2=6(种)方法.
问题3:某校庆祝建党百年朗诵活动中,A,B,C 三位朗诵员站成一排面向观众,一共有多少种不同的站法
【答案】完成站位这件事需要有三个步骤,第一步选出最左边站的朗诵员,有三种情况,第二步选出中间的朗诵员,有两种情况,第三步选出最右边的朗诵员,只有一种情况.由分步乘法计数原理可知共有3×2×1=6(种)不同的站法.
问题4:问题1,2,3的共同特征是什么
【答案】三道题目的共同特征就是从一些不同元素中,取出部分元素,再按照顺序排成一列.
新知生成
1.排列
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列的含义与相同排列
(1)排列的含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.
(2)排列相同:当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.
新知运用
一、排列概念的理解
例1　判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信.
【解析】(1)虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,存在顺序问题,属于排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在顺序问题,属于排列问题.
综上,(2)(5)(6)属于排列问题.
【方法总结】排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与元素的排列顺序也有关.这就说,在判断一个问题是否是排列问题时,可以考虑所取出的元素,任意交换两个,若结果变化,则是排列问题,否则,不是排列问题.
巩固训练
　　给出以下问题:
(1)从3,5,7,9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数,有多少个不同的值
(2)从0到9这十个数字中任取两个数,组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标
其中是排列问题的是　　　　.(填序号)
【答案】(1)(2)
【解析】(1)是.对数值与底数和真数的取值不同有关系,与顺序有关.同理,(2)也是排列问题.
二、写出简单的排列
例2　A,B,C,D四个人坐成一排照相有多少种坐法 将它们列出来.
【解析】先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理得,共有4×3×2×1=24(种)坐法.
画出树形图如图所示:
由树形图可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
【变式探究】对本例,若加上限制条件“D不能在‘排头’(即每个排列的最左端不是D)”,则这样的排列有几个
【解析】由例2的树形图可知这样的排列共有24-6=18(个).
巩固训练
　　从0,1,2,3这四个数字中,每次取出三个不同的数字组成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数 并写出这些三位数;
(2)若组成的这些三位数中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在个位,则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数.
【解析】(1)组成三位数分3个步骤:
第1步,选百位上的数字,0不能排在首位,故有3种不同的排法;
　　第2步,选十位上的数字,有3种不同的排法;
第3步,选个位上的数字,有2种不同的排法.
所以共有3×3×2=18个不同的三位数.
画出树形图如图所示:
由树形图知,所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)画出树形图如图所示:
由树形图知,符合条件的三位数有8个,分别为201,210,230,231,301,302,310,312.
探究2：排列数与排列数公式
情境设置
　　小明和小宁两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.
问题1:从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数
【答案】若从这4个数字中选出2个,则能构成=4×3=12(个)无重复数字的两位数;若选出3个,则能构成=4×3×2=24(个)无重复数字的三位数.
问题2:由问题1知=4×3=12,=4×3×2=24,你能否得出的意义和的值
【答案】的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n个元素a1,a2,…,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反过来,任何一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数.由分步乘法计数原理知,完成上述填空共有n(n-1)种填法,所以=n(n-1).
问题3:你能写出的值吗 有什么特征 若m=n呢
【答案】=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(m,n∈N+,m≤n).
(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数;
(2)当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列,即=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!.
问题4:排列与排列数有何区别
【答案】“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.
新知生成
1.排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.
2.排列数公式
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1),其中n,m∈N+,并且m≤n,这个公式叫作排列数公式.
3.全排列
从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n个元素的一个全排列,此时,=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1.
将右端简记为n!,叫作n的阶乘,表示1到n的连乘积.规定:0!=1.
4.排列数公式的阶乘形式
排列数公式的阶乘形式:=.
新知运用
例3　计算下列各题:
(1);
(2);
(3).
方法指导　对于(1)(2),直接用排列数的连乘形式公式计算;对于(3),可利用排列数阶乘形式的公式求解.
【解析】(1)=10×9×8=720.
(2)(法一)===.
(法二)====.
(3)=·(n-m)!·=1.
【方法总结】　排列数的计算方法:(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
巩固训练
　　(1)计算;
(2)解方程3=4.
【解析】(1)=12×11×10=1320.
(2)由3=4,得=,
化简得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.
又因为x≤8,且x-1≤9,所以原方程的解是x=6.
【随堂检测】
1.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
【答案】C
【解析】由排列的定义得,共有=6(种)不同的排列方法.
2.90×91×92×…×100可以表示为(　　).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由排列数公式得原式为,故选B.
3.已知=7,则n的值为　　　　.
【答案】7
【解析】由排列数公式,得n(n-1)=7(n-4)(n-5),n∈N+,
∴3n2-31n+70=0,解得n=7或n=(舍去).
24.2　课时1　排列与排列数公式
【学习目标】
1.理解排列和排列数的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.(逻辑推理)
2.能够用列举法、树状图求排列的方法种数.(直观想象)
3.理解排列数公式及简单应用.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.甲、乙、丙3名同学排成一行照相,共有多少种排法
2.北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航,请列举岀所有机票(直达)的情况,并指出共有多少种机票情况.
3.前面两个问题中的元素是如何排列的
4.若两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列吗
5.什么是排列数
6.排列数公式有什么应用
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. (　　)
(2)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列. (　　)
(3)用a,b,c构成的所有不同排列的个数为3. (　　)
(4)89×90×91×…×100可以表示为. (　　)
　
2.已知=132,则n=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12 C.13 D.14
3.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人1本,则不同的送书方法的种数为(　　).
A.5 B.10 C.20 D.60
4.从-1,0,1,2,3五个数字中任取三个组成空间直角坐标系中一个点的坐标,试用画树形图的方法求这样的点有多少个
【合作探究】
探究1：排列的概念
情境设置
　　问题1:已知密码开关由四个元件构成,每个元件要五选一,也就是有625种可能.请问625是怎么得来的
问题2:宣城市与黄山市在地图上相邻,为了区分两者的地界,在红、黄、蓝三种颜料中取两种颜料,一种涂在黄山市地图上,一种涂在宣城市地图上,一共有多少种方法
问题3:某校庆祝建党百年朗诵活动中,A,B,C 三位朗诵员站成一排面向观众,一共有多少种不同的站法
问题4:问题1,2,3的共同特征是什么
新知生成
1.排列
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列的含义与相同排列
(1)排列的含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.
(2)排列相同:当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.
新知运用
一、排列概念的理解
例1　判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信.
【方法总结】排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与元素的排列顺序也有关.这就说,在判断一个问题是否是排列问题时,可以考虑所取出的元素,任意交换两个,若结果变化,则是排列问题,否则,不是排列问题.
巩固训练
　　给出以下问题:
(1)从3,5,7,9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数,有多少个不同的值
(2)从0到9这十个数字中任取两个数,组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标
其中是排列问题的是　　　　.(填序号)
二、写出简单的排列
例2　A,B,C,D四个人坐成一排照相有多少种坐法 将它们列出来.
【
【变式探究】对本例,若加上限制条件“D不能在‘排头’(即每个排列的最左端不是D)”,则这样的排列有几个
巩固训练
　　从0,1,2,3这四个数字中,每次取出三个不同的数字组成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数 并写出这些三位数;
(2)若组成的这些三位数中,1不能在百位,2不能在十位,3不能在个位,则这样的三位数共有多少个 并写出这些三位数.
探究2：排列数与排列数公式
情境设置
　　小明和小宁两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.
问题1:从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数
问题2:由问题1知=4×3=12,=4×3×2=24,你能否得出的意义和的值
问题3:你能写出的值吗 有什么特征 若m=n呢
问题4:排列与排列数有何区别
新知生成
1.排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.
2.排列数公式
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1),其中n,m∈N+,并且m≤n,这个公式叫作排列数公式.
3.全排列
从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n个元素的一个全排列,此时,=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1.
将右端简记为n!,叫作n的阶乘,表示1到n的连乘积.规定:0!=1.
4.排列数公式的阶乘形式
排列数公式的阶乘形式:=.
新知运用
例3　计算下列各题:
(1);
(2);
(3).
方法指导　对于(1)(2),直接用排列数的连乘形式公式计算;对于(3),可利用排列数阶乘形式的公式求解.
【方法总结】　排列数的计算方法:(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
巩固训练
　　(1)计算;
(2)解方程3=4.
【随堂检测】
1.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
2.90×91×92×…×100可以表示为(　　).
A. B. C. D.
3.已知=7,则n的值为　　　　.
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